Het volgende is een interviewvraag van Mark Joshi et al. Kwantitatief sollicitatiegesprek.
Vraag: waarom is Brownse beweging nuttig in financiën?
Ik heb een Pure Maths PhD-achtergrond (functionele analyse, in het bijzonder Banach Space Theory). Ik zou me graag wagen aan de kwantitatieve financiële sector na mijn promotie.
Dus ik heb geen idee hoe ik de bovenstaande vraag moet beantwoorden, aangezien het lijkt alsof de meeste stochastische calculusboeken het hebben over Brownse beweging, maar geef nooit motivaties.
Opmerkingen
- Hallo: een reden is dat het ' een martingaal is en sommigen zijn oké om logboekprijzen als een martingaal te bekijken. BW kan daarom een redelijk proces zijn om te gebruiken voor het modelleren van wijzigingen in logboekprijzen. In feite is het hele zwarte scholes-raamwerk gebaseerd op die aanname.
- standaard Brownse beweging, of geometrische Brownse beweging?
- Ik denk dat ik beide kan beantwoorden?
- Het belangrijkste nut van BM en Ito Calculus in tegenstelling tot zaken als discrete willekeurige wandelingen is de mogelijkheid dat een derivatenportefeuille in een dergelijk universum continu wordt afgedekt.
Antwoord
Brownse beweging is gewoon de limiet van een geschaalde (discrete-tijd) willekeurige wandeling en dus een natuurlijke kandidaat om te gebruiken. Het is zeer intuïtief en misschien wel een van de eenvoudigste en best begrepen tijdcontinue stochastische processen. Vergeet ook niet dat je veel meer stochastische processen verkrijgt als functies van een (in de tijd veranderde) Brownse beweging. In veel boeken over stochastische calculus definieer je eerst de Ito-integraal met betrekking tot een Brownse beweging voordat je deze uitbreidt tot algemene semimartingales. Ervan uitgaande dat log-returns een Brownse beweging volgen (met drift), kunt u gemakkelijk gesloten oplossingen voor optieprijzen afleiden. De Brownse beweging is bovendien Markoviaans en een martingaal die belangrijke eigenschappen in de financiële wereld vertegenwoordigen.
De Brownse beweging werd voor het eerst geïntroduceerd door Bachelier in 1900. Samuelson gebruikte toen de exponentiële van een Brownse beweging (geometrische Brownse beweging) om negativiteit te vermijden voor een aandelenkoersmodel. Op basis van dit werk vonden Black en Scholes hun beroemde formule in 1973.
Reacties
- Dit lijkt op het antwoord dat ze willen dat je geeft in een interview. Een waarschuwing aangezien je een pure wiskundige achtergrond hebt. Al deze modellen ga ervan uit dat er verschillende grootheden zijn e Gaussiaans normaal verdeeld. Gegevens uit het echte leven zijn dat niet. Of de modellen nog steeds bruikbaar zijn of niet, is precies de vraag waarvoor ze een zuivere wiskunde-doctoraat zouden willen inhuren.
- Maar waarom is een willekeurige wandeling een natuurlijke kandidaat voor het modelleren van activa? Het antwoord is een economische vraag in plaats van een wiskundige vraag (als het rendement " voorspeld " zou kunnen zijn, dan zou de handel zo plaatsvinden dat het rendement zou niet langer " voorspelbaar ")
Antwoord
Fysieke objecten bewegen volgens eenvoudige vloeiende curven die kunnen worden weergegeven door polynomen van lage orde: een rechte lijn, een parabool, een ellips, enz.
Financiële marktprijzen bewegen op een heel andere manier, zoals te zien is door naar een grafiek van aandelenkoersen, rentetarieven enz. in een krant te kijken: er zijn constante, grillige fluctuaties, soms in de ene richting, soms in de andere, soms klein en soms groot, die de curve een ruw, willekeurig uiterlijk geven. De Brownian Motion is een geschikt model voor dit soort bogen.