Beschouw de volgende eenvoudige Atwood-machine met een ideale katrol en een ideale snaar
Volgens mijn leerboek is de spanning op de klem die de machine aan de muur houdt gelijk aan $ 2T $. Ik begrijp niet waarom dat zo is. De spanning in $ T $ in de string is in grootte gelijk aan $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, ervan uitgaande dat $ m_1 $ naar boven versnelt.
Ook , wordt de versnelling van massas in een atwood-machine gegeven door
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Dit in , krijgen we de spanning gelijk aan
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Dus volgens mijn leerboek zou de spanning op de katrolklem moeten zijn:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Maar zijn niet al deze krachten interne krachten? Als we de hele atwood-machine als het systeem beschouwen (exclusief de klem), zijn de enige krachten die erop inwerken de zwaartekracht $ (m_1 + m_2) g $ en de spanning in de klem $ T_c $. Aangezien het systeem in rust is
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Heb ik gelijk, of zit er een fout in mijn argument?
Reacties
- Je hebt $ T $ gevonden en het tekstboek heeft dezelfde vergelijking vermenigvuldigd met een factor 2. Er is hier geen probleem.
- Hint: het systeem is niet in rust.
- Nick ' s antwoord is compleet, maar ik vond je vraag leuk omdat het de moeite laat zien om het PRINCIPE onder berekeningen te begrijpen. Dus het ' is naar mijn mening belangrijk om te begrijpen waarom het systeem niet ' in rust is.
- Klopt, elke berekening moet niet alleen wiskundig kloppen, maar de fysische interpretatie is ook een heel erg belangrijk onderdeel! Dus over het punt van de vraag ' zeg ik goed werk en ga zo door met het goede werk!
- Als het helpt, kun je laten zien dat het centrum o fmass van de twee massas versnelt $ m_ {1} $ en $ m_ {2} $ naar beneden, en hoewel het lijkt alsof de steun het wiel stabiel houdt, laat het in feite het wiel / massasysteem daardoor naar beneden accelereren.
Antwoord
Je resultaat is geldig als de twee massas hetzelfde zijn, in dat geval $ a = 0 $ en dat zou je hebben:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Of:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
In het geval dat de massas niet hetzelfde zijn, versnellen beide massas, die op hun beurt een lagere kracht op het katrolsysteem (en op de klem) uitoefenen.
Dit kan gemakkelijk worden gecontroleerd met uw formule van de spanning!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Als ik waren om de totale massa te definiëren als: $ M = m_1 + m_2 $, dan zou ik $ T $ kunnen uitdrukken als:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Je kunt controleren of je $ T $ als een functie van $ m_1 $ hebt geplot, dat het bereikt een maximum in $ m_1 = M / 2 $, wat betekent dat de spanning maximaal wordt als de twee massas gelijk zijn, de spanning wordt dan:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
of zoals je dacht:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Voor de volledigheid de plot van de spanning in functie van de massa $ m_1 $ in termen van dimensieloze grootheden.
Op deze plot kun je gemakkelijk zien dat als $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ of $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, er “geen spanning zou zijn aangezien een van de twee massas vrij zou zijn vallen. In de tussenliggende gevallen zou er spanning zijn aangezien er een “” trek “” is aan beide zijden van de snaar, hoe meer de massas $ m_1 $ en $ m_2 $ gelijk zijn aan elkaar, hoe minder beweging er is en hoe meer trek er aan is de string.
Opmerkingen
- Dus als mijn argument onjuist was, kan het alleen maar betekenen dat het systeem niet in rust is. Maar hoe kun je zeggen dat het systeem niet in rust is?
- In het bovenstaande geval hebben we een wrijvingsloze katrol met een massaloze snaar. De enige manier waarop het systeem in rust kan zijn, is wanneer de twee massas gelijk zijn (in uw berekening is ' het enige geval waarin de versnelling gelijk is aan nul). Wanneer dit het geval is, trekken beide massas met gelijke kracht aan beide uiteinden van de snaar. Merk op dat dit niet ' impliceert dat het systeem in rust is, het kan ook met een constante snelheid bewegen!
- @Gerard Als je massa zou toevoegen aan de angel en / of wrijving naar de pully, dan kunnen er andere situaties zijn waarin het systeem in rust is / komt.
- Het ' is niet waar dat het blijft op dezelfde plaats.Het massamiddelpunt versnelt, want zelfs als m_1 omhoog gaat en m_2 omlaag, de massas verschillen, dus hebben ze een ander " gewicht " in de wereldwijde beweging. Dus als m_2 > m_1 en m_2 naar beneden versnellen, dan gaat het zwaartepunt naar beneden.
- @Gerard: Oké, merk op dat voor je doel (bijv. totale kracht die op het systeem inwerkt) rust of beweging is niet wat je ' echt zoekt. Ik ' ben slordig geweest door simpelweg te zeggen: " het systeem is niet in rust " . Wat ' s belangrijk is, is de totale versnelling en in dit geval is deze ' anders dan 0. Een beweging met constante snelheid heeft geen kracht nodig die inwerkt op het systeem. Ik ' zal hier stoppen omdat we ' de ruimte voor opmerkingen een beetje misbruiken.
Answer
Het systeem is niet in rust. Als je de massa en de katrol als één systeem beschouwt, kun je het gedrag van het systeem begrijpen aan de hand van het gedrag van zijn zwaartepunt. Tenzij de massas gelijk zijn, is het massamiddelpunt van het systeem niet in rust.
Het kan handig zijn om er op deze manier over na te denken – Binnen het systeem beweegt grensmassa $ m_1 $ zich over een afstand omlaag terwijl massa $ m_2 $ met dezelfde afstand omhoog beweegt. Dus het zwaartepunt is naar beneden verplaatst (of naar boven, afhankelijk van of $ m_1 > m_2 $).
De spanning wordt dus gegeven door de vergelijking:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Dat kun je verder uitwerken
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, waarbij a de waarde is van de versnelling van massa $ m_1 $ die je hebt genoemd.
Steek het in de vergelijking en je zult ontdekken dat:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Reacties
- Dit is hoe ik zal proberen dit probleem aan te leren. Dank je.
- Is er een kans dat jij of @Nick commentaar zouden kunnen leveren op de oplossing in de vorm 4g * mu? Ik weet dat het buiten het bereik valt van het probleem, maar als ik zulke verbanden zie, probeer ik ze te begrijpen.
Antwoord
Daar is inderdaad een fout in uw betoog. Kortom, de spanning op de katrolgesp is alleen nodig om de totale zwaartekracht op het systeem op te heffen wanneer alles in evenwicht is ibrium en er is geen versnelling. Als de massa echter uit balans is, zal een van hen vallen en de andere zal stijgen, en het is niet duidelijk dat dit de totale kracht op dezelfde waarde zal houden als de gebalanceerde behuizing.
In feite, je kunt controleren of wanneer de twee massas gelijk zijn de antwoorden samenvallen: de juiste spanning op de katrolgesp is $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$