Waarom is het elektrische veld nul waar equipotentiaalvlakken elkaar snijden?

Laten we eerst en vooral de lucht zuiveren met een eenvoudig voorbeeld dat het gewenste gedrag laat zien (en dat in wezen isomorf is voor de meeste niet-triviale gevallen). in het bijzonder de volgende bewering:

De potentiële $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ is een perfect geldig elektrostatisch potentieel, en het kan heel natuurlijk worden gezien als twee equipotentiaalvlakken (het $ yz $ -vlak en het $ xz $ -vlak) die elkaar snijden langs een lijn.

Dat voorbeeld kan schokkend zijn voor de gebruikelijke intuïtie dat equipotentiaaloppervlakken, zoals veldlijnen, nooit kruisen, maar het klopt perfect – en het is consistent met de bewering van je professor dat het elektrische veld, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes op de kruising $ x = y = 0 $.

(Voor degenen die de envelop wat verder willen uitbreiden: dit generaliseert natuurlijk naar de kruising van een willekeurig aantal $ n $ equipotentiaalvlakken langs een regel, door simpelweg naar de $ n $ -polaire potentiaal $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Dus, wat is er aan de hand, of hoe geven we echt wiskundig vlees aan de betreffende uitspraak?

Laten we beginnen met het definiëren van equipotentiaaloppervlakken: een oppervlak $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ is een equipotentiaal van de elektrostatische potentiaal $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ is constant voor alle $ (u, v) \ in D $. Bovendien weten we dat op elk moment $ \ mathbf r = S (u, v) $ aan de oppervlakte, het elektrische veld $ \ mathbf E = – \ nabla V $ heeft een inproduct van nul met een willekeurige vector die binnen het raakvlak $ TS_ \ mathbf r $ aan de oppervlakte op $ \ mathbf r $, als gevolg van het nemen van curven $ \ gamma: (a, b) \ naar D $ en het differentiëren van de constantheidsrelatie $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ met respect naar de parameter $ t $, met $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ voor alle vectoren $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Aangezien dat vlak tweedimensionaal is en ruimte driedimensionaal, concluderen we dat er een unieke normaalrichting is $ \ hat {\ mathbf n} $ naar het oppervlak en dat $ \ mathbf E $ moet parallel zijn aan dat normaal (of mogelijk nul), maar het belangrijkste resultaat is dat de component van $ \ mathbf E $ in elke richting binnen het raakvlak moet verdwijnen.

OK, dus laten we de lat hoger leggen en twee verschillende oppervlakken beschouwen $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, die op een bepaald punt $ \ mathbf r_0 $ kruisen, en laten we ook bepalen dat beide oppervlakken equipotentialen zijn van $ V $.

We kunnen direct concluderen dat het potentieel op alle punten op beide oppervlakken gelijk moet zijn aan dezelfde constante, omdat $ V = V (\ mathbf r) $ een (enkele waarde ) functie. Als het gelijk is aan $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ voor $ \ mathbf r_0 \ in S_1 $, dan moet het gelijk zijn aan $ V_1 $ in $ S_1 $ – maar $ \ mathbf r_0 $ zit ook in $ S_2 $, dus $ V $ moet ook gelijk zijn aan $ V_1 $ gedurende $ S_2 $. Dit is waarschijnlijk waar uw professor het over had in de bewering dat u rapporteert als

Hij beweerde ook dat twee equipotentiële oppervlakken elkaar niet kunnen kruisen, omdat dat twee verschillende potentialen zou opleveren op hetzelfde punt,

maar dat waarschijnlijk veel dichter bij

lag

twee equipotentiaaloppervlakken met een verschillende potentiaal kunnen elkaar niet snijden, aangezien dat twee verschillende potentialen op hetzelfde punt zou opleveren.

Dat is het makkelijke deel.Laten we nu iets niet triviaal zeggen: hoe zit het met het elektrische veld op de kruising?

Laten we echter eerst beginnen met het gemakkelijke geval en aannemen dat de equipotentialen een juiste dimensie-één kruising hebben langs een curve, wat inhoudt dat, op elk punt $ \ mathbf r $ langs het snijpunt, de raakvlakken aan de twee oppervlakken elkaar snijden op een lijn, en elk van hen zal een aparte, lineair onafhankelijke richting hebben die niet tot de andere behoort vlak.

Hierdoor kunnen we de tools gebruiken die we eerder hebben ontwikkeld: we weten dat $ \ mathbf E $ een verdwijnend inproduct moet hebben met elke vector die binnen een van beide raakvlakken ligt, behalve dat we nu hebben drie lineair onafhankelijke vectoren $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $, en $ \ mathbf e_3 $ om tegen te verdwijnen, één langs het snijpunt en één andere onafhankelijke vector langs elk vlak. De enige manier waarop een vector $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ kan voldoen aan $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ voor lineair onafhankelijk $ \ mathbf e_i, $ is voor $ \ mathbf v = 0 $ . Dit is waar de bewering van uw professor vandaan komt.

Laten we tot slot het iets meer pathologische geval bespreken dat u aan het einde van uw vraag noemt:

Waarom kunnen” er niet gewoon twee verschillende equipotentiaalvlakken zijn met hetzelfde potentieel die […] elkaar raken?

Dit is geen slechte vraag, en het antwoord is in wezen dat dit kan gebeuren, maar de omstandigheden waarin het gebeurt, zijn zo pathologisch dat we meestal klaar zijn om die baby weg te gooien met de badwater. Als we zeggen twee oppervlakken kruisen elkaar, bedoelen we normaal gesproken dat ze een kruising van dimensie één hebben langs een bocht; als we willen dat de oppervlakken elkaar raken, of als we een soortgelijk pathologisch gedrag vertonen, dan merken we expliciet op dat . (Wiskundigen zijn wat voorzichtiger met hun taalgebruik, maar aan de andere kant doen natuurkundigen interessantere dingen en je kunt geen tijd verspillen aan het rommelen met kleine details.)

Hoe dan ook, als je een potentieel wilt met twee equipotentialen die raak op een enkel punt, het schoonste voorbeeld dat ik kan bedenken is $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ waarbij de equipotentialen $ V (\ mathbf r) = 0 $ zijn twee cirkelvormige paraboloïden die elkaar raken aan hun top. Dit is geen oplossing van de Laplace-vergelijking, wat betekent dat het geen redelijk potentieel is in de vrije ruimte, maar jij kan gewoon de ladingsdichtheid $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $ instellen, en je krijgt een redelijke verdeling. Als je daarop wilt bezuinigen, kun je beter $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ kiezen waarvoor de ladingsdichtheid $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ is buitengewoon redelijk, en dat verwisselt een van de paraboloïden voor het $ z = 0 $ -vlak.

Nu, voor beide voorbeelden, hebben een vrij hoge-orde polynoom als uw potentieel, en het elektrische veld verdwijnt op het snijpunt van de equipotentialen. Als je iets wilt hebben met aanrakende equipotentialen en een niet-nul elektrisch veld daar, is het beste dat ik op een zuivere manier bedenk door de twee bovenstaande voorbeelden te combineren, waarbij je drie equipotentialen (de twee paraboloïden en het $ xy $ -vlak) ontmoet op een gegeven moment, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ met een $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ afhankelijkheid langs de $ z $ -as, en om dat vervolgens te ontbinden door een kubuswortel te nemen, geeft $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ dat dezelfde aanrakingsequipotentialen heeft als hierboven, maar nu heeft het een constant elektrisch veld $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ op alle punten $ (0,0, z) $ met $ z \ neq 0 $. Helaas kun je “t echt concluderen dat het elektrische veld daar niet nul is, omdat de limieten voor $ \ mathbf r \ to0 $ langs de $ z $ -as en langs het $ xy $ -vlak niet “t pendelen – en, inderdaad, $ \ nabla V $ divergeert overal op het $ xy $ -vlak.

Ik” zal hier het equipotentiële landschap tekenen wanneer ik langs het $ xz $ -vlak snijd, om een idee te geven van het type pathologische structuur waarnaar u “gepusht zult worden door dit soort gevallen te overwegen:

^{Bron: Import [“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

De scherpe rotswanden bij de equipotentialen in de 3D-weergave van $ V (x, 0, z) $ zijn duidelijke markeringen van het feit dat het elektrische veld overal oneindig is bij de $ V = 0 $ equipotentialen, met als enige uitzondering de oorsprong wanneer benaderd vanaf de $ z $ as. / p>

Hoe dan ook, dat is het soort prijs dat u moet betalen om hav De equipotentialen die elkaar raken zonder dat er een elektrisch veld van nul nodig is op het aanraakpunt om alles mooi en soepel te houden. Over het algemeen gooi je die gevallen echter gewoon bij decreet weg door een regelmatig kruispunt te vereisen.

Elektrisch veld is gedefinieerd als de (negatieve) gradiënt van elektrostatisch potentieel.Er mag daarom geen elektrisch veld zijn langs de lijn / het oppervlak gedefinieerd door een equipotentiaal.

Dat betekent dat het enige toegestane elektrische veld op een punt op een equipotentiaal loodrecht op de equipotentiaal oppervlak, anders zou het een niet-nulcomponent langs het oppervlak hebben.

Als er twee verschillende elkaar snijdende equipotentiaals zijn, dan is het enige geldige elektrische veld nul, aangezien elk niet-nulveld een niet-nul -zero component langs ten minste één van de equipotentialen.

Een uitzondering lijkt te zijn wanneer de equipotentiaaloppervlakken evenwijdig zijn op hun snijpunt.

Opmerkingen

• Ik ‘ heb geprobeerd, en tot dusverre, niet om een potentiaal te produceren met equipotentialen die elkaar op een enkel punt raken met parallelle normalen en die niettemin een niet-nul elektrische veld daar. Kun je die doorzien?
• @ Rob kras dat, ik vond een voorbeeld – maar het ‘ is niet bepaald de eenvoudigste functie die ik ‘ ooit gezien. Ik vermoed dat men kan aantonen dat het aanraken van equipotentialen met een niet-nul elektrisch veld dat soort pathologisch gedrag vereist, maar ik ‘ zie niet helemaal hoe u ‘ d bewijzen dat (of, inderdaad, waarom het je ‘ genoeg kan schelen om er veel tijd aan te besteden).

Twee equipotentiaalvlakken kunnen “niet snijden. De richting van het elektrische veld op elk punt op een equipotentiaaloppervlak staat loodrecht op het oppervlak op dat punt. Als twee equipotentiaalvlakken elkaar zouden snijden, dan zou het elektrische veld op de snijpunten loodrecht staan op zowel het eerste oppervlak als het tweede oppervlak op die punten … met andere woorden, als twee equipotentiaalvlakken elkaar zouden kunnen snijden, je zou het elektrische veld in twee richtingen laten wijzen op elk snijpunt … het ene loodrecht op het eerste oppervlak, het andere loodrecht op het tweede oppervlak. Dit is onmogelijk.

Opmerkingen

• Tenzij het veld nul is op het snijpunt?
• De potentiële $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ is een volkomen geldig elektrostatisch potentieel, en het kan heel natuurlijk worden gezien als twee equipotentiaalvlakken (het $ yz $ vlak en het $ xz $ vlak) die elkaar snijden langs een lijn.
• Zeer interessant … ik ‘ m zal Griffith ‘ s boek tijdens het weekend eruit moeten halen en doe een beetje recenseren … Haven ‘ t studeerde elektrostatica sinds ik in mei afstudeerde.

Omdat als ze elkaar zouden kruisen, de richting van het elektrische veld dubbelzinnig is, dus het is niet mogelijk.

Opmerkingen

• Eenduidig ? Waarom is dat een probleem?
• Ja, het is dubbelzinnig niet ondubbelzinnig zoals je antwoord zegt.

Hij beweerde ook dat twee equipotentiaalvlakken elkaar niet kunnen snijden, omdat dat twee verschillende potentialen tegelijkertijd zou opleveren point.

Beschouw het elektrische veld en de equipotentiaaloppervlakken van een elektrische dipool

Afbeeldingscredit

Geen van de equipotentiaalvlakken snijdt elkaar. Ook is de dichtheid van de oppervlakken het grootst langs de lijn tussen en door de twee ladingen.

Beschouw nu die equipotentiaaloppervlakken in de limiet van een ideale elektrische dipool.

Beeldtegoed

Voor een constant dipoolmoment moet de (plus / minus) lading toenemen naarmate de scheidingsafstand afneemt, de dichtheid van de equipotentiaalvlakken langs de lijn door de het oppervlak moet in de limiet uiteenlopen; het lijkt erop dat alle equipotentiaalvlakken elkaar moeten snijden op de locatie van de ideale dipool en dat het elektrische veld daar singulier is.

Opmerkingen

• Ik begrijp je punt, aangezien de sferen niet equipotentiaal zijn, is het niet duidelijk dat er oneindig veel equipotentiële golven door het contactpunt gaan … ik weet het niet …
• @ValterMoretti, OK, dus twee niet-geleidende bollen, elk met een vaste, uniforme ladingsdichtheid van tegengesteld teken en identieke stralen en symmetrisch boven en onder het xy-vlak langs de z-as geplaatst, maar het vlak niet raken. Dit ruikt naar een probleem met het type afbeelding en zo ja, dan is het x-y-vlak het nulpotentiaaloppervlak?Vervolgens omringen de positieve (negatieve) equipotentiaalvlakken de positief (negatief) geladen bol en, naarmate de bollen dichterbij worden gebracht, worden die oppervlakken ‘ samengedrukt ‘ samen langs de lijn door het midden van de bollen die elkaar uiteindelijk raken?
• Welnu, nu denk ik dat equipotentiaaloppervlakken die verschillen van het scheidingsvlak de (niet-geleidende) bollen binnenkomen en mijn voorbeeld niet werk: wanneer bollen elkaar raken, is er slechts één equipotentiaal surafce via het contactpunt. Dus mijn voorbeeld werkt niet.
• @ValterMoretti, ik vroeg me alleen af of de equipotentialen de sferen konden binnendringen en ik begon door Jackson te kijken toen je commentaar binnenkwam.
• Ja, de equipotentiaalvlakken moeten de bollen binnendringen: neem een willekeurig punt binnen de linker bol, daar verdwijnt het elektrische veld als gevolg van de bol zelf. Het elektrische veld binnen het linker bolveld is dus volledig te wijten aan de rechter bol en is hetzelfde als dat van een puntlading gecentreerd buiten de linker bol. Het is duidelijk dat de equipotentiaalvlakken op deze manier de linkerbollen binnenkomen. Ik dacht hier aan oppervlakkig geladen bollen! Zit de lading in het volume? Ik weet het niet