Ik deed deze vraag over het berekenen van het elektrische veld op een bepaald punt in een bol (lengte $ r $ weg van het midden), waar de ladingsdichtheid wordt gegeven door een vergelijking. Toen ik de oplossing voor deze vraag controleerde, zei het om de elementaire lading $ dQ $ te berekenen voor het elementaire volume van de bol $ dV $, met behulp van de ladingsdichtheidsvergelijking. Het zegt dat het volume tussen twee concentrische schalen binnen de bol, op afstanden $ r $ en $ r + dr $ is
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Waarom is dit nu gelijk aan $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
Opmerkingen
- De heuristiek die in deze berekening wordt gebruikt, is dat , aangezien $ dr $ erg klein is, vierkant of blokjes maakt, is het veel kleiner. Daarom zijn de termen $ 3rdr ^ 2 $ en $ dr ^ 3 $ verwaarloosbaar en kunnen ze gewoon worden geschrapt.
- Dit heeft absoluut niets met natuurkunde te maken! Vraag op een wiskundige q & een website. Eigenlijk gaf @sourisse je het juiste antwoord.
- Ik denk dat dit eigenlijk best relevant is voor de natuurkunde, het is een benadering / methode / tool die veel wordt gebruikt in de natuurkunde, bijv. elektrostatica, gravitatie, solid state etc etc etc
- Je kunt trouwens ook denken aan $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ als het volume van een bolvormige schaal met straal $ r $ en dikte $ dr $ – gewoon aan de oppervlakte oppervlakte vermenigvuldigd met dikte
- @FraSchelle Ik denk dat als je dit op math.stackexchange zou vragen, je hierheen zou worden geleid …
Antwoord
Sourisse “s commentaar beantwoordt je vraag, maar voor de goede orde zal ik het hier” uitbreiden als een Wiki-antwoord. Merk op dat dit het antwoord van een natuurkundige is – alle aanwezige wiskundigen zouden er verstandig aan doen hun blik nu af te wenden.
Onthoud dat wanneer we zeggen dat het volume-element is:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
We hebben het over de limiet waarin $ dr \ rightarrow 0 $. Als $ dr $ extreem klein is, dan is $ dr ^ 2 $ is extreem extreem klein en $ dr ^ 3 $ is extreem extreem klein. Dus in de limiet van $ dr \ rightarrow 0 $ kunnen we simpelweg de hogere machten negeren en je volledige vergelijking verandert in vergelijking (1).
Reacties
- Meneer, dit is hetzelfde wat ons is geleerd, maar is er een manier om de termen $ (dr) ^ 2 $ of hoger te gebruiken kracht in berekening of integratie? Heel erg bedankt!
Antwoord
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differentiëren met betrekking tot $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Reacties
- direct aan! dit is het soort elem entary " trick " te vaak vergeten. Jammer dat u ' de $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ -factor op deze manier niet van $ 4 \ pi $ kunt krijgen.