Waarom is potentiële zwaartekrachtenergie negatief, en wat betekent dat?

Over negatieve energieën: ze stellen geen probleem:

In deze context hebben alleen energieverschillen betekenis. Negatieve energie verschijnt omdat wanneer je de integratie hebt gemaakt, je een punt hebt ingesteld waarop je je energie op 0. In dit geval heb je gekozen voor $ PE_1 = 0 $ voor $ r = \ infty $. Als je $ PE_1 = 1000 $ hebt ingesteld op $ r = \ infty $, was de energie positief voor sommige r .

Het minteken is echter belangrijk, omdat het aangeeft dat het testdeeltje potentiële energie verliest wanneer naar $ r = 0 $, dit is waar omdat het versnelt en een stijging van $ KE $ veroorzaakt:

laten we de $ \ Delta PE_1 $ berekenen voor een deeltje dat in de richting beweegt van $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ en $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

zoals verwacht: we verliezen $ PE $ en winnen $ KE $.

Tweede punt: ja, jij hebben gelijk. Het is echter alleen waar ALS het puntdeeltjes zijn: hebben ze normaal gesproken een bepaalde straal, dan botsen ze wanneer $ r = r_1 + r_2 $, wat een elastische of niet-elastische botsing veroorzaakt.

Derde opsommingsteken : je hebt gelijk met $ PE_2 = mgh $, maar nogmaals, je kiest een gegeven referentie: je gaat uit van $ PE_2 = 0 $ voor $ y = 0 $, wat volgens de vorige notatie betekent dat je $ instelde PE_1 = 0 $ voor $ r = r_ {earth} $.

De meeste i Een belangrijk verschil is nu dat u zegt dat een toename in h verder gaat in r (als u hoger bent, bent u verder van het centrum van de aarde).

Stel je voor dat je de $ \ Delta PE_2 $ wilt verkrijgen door de vergelijking te maken met het vorige probleem. In dit geval begint u bij $ h_i = 10 $ en wilt u naar $ h_f = 1 $ gaan (in de richting van het centrum van de aarde, zoals $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1 mg – 10 mg = -9 mg < 0 $.

Zoals verwacht, verliezen we $ PE omdat we vallen $ en $ KE $ winnen, heeft hetzelfde resultaat $ PE_1 $

Vierde punt: ze vertegenwoordigen allebei hetzelfde. Het verschil is dat $ gh $ de eerste term is in de Taylor-serie van de uitbreiding van $ PE_1 $ near $ r = r_ {Earth} $. Probeer als oefening $ PE_1 (r) $ uit te breiden in een taylor-serie en laat zien dat de lineaire term is:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

Ze berekenen $ numeriek Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (onthoud dat $ m = m_ {earth} $). Als je dit nog niet hebt gemaakt, denk ik dat je verrast zult zijn.

Dus, van wat ik begrijp je, je logica is volkomen correct, afgezien van twee belangrijke punten:

• energie wordt gedefinieerd los van een constante waarde.

• in th e $ PE_1 $, verhoging r betekent verlaging $ 1 / r $, wat betekent verhoging $ PE_2 = -Gm / r $. In $ PE_2 $ betekent verhoging h verhoging $ PE_2 = mgh $.

Reacties

• Ah, ik begrijp het, de truc is dat het ‘ is een relatieve waarde – ik blijf energie zien als iets absoluuts (hoewel ik vermoed dat zelfs kinetische energie verandert, afhankelijk van je referentiekader) . Ik veronderstel dat we ‘ d like om PE = 0 in te stellen wanneer r = 0, maar helaas zou het volgens de vergelijking oneindig veel energie kosten om de deeltjes te trekken deel! Dus ik denk dat PE = 0 wanneer r = ∞ de enige andere redelijke keuze is. Het is nu allemaal logisch – bedankt!
• Ook verandert de formule binnen een niet-puntmassa, dus de $ r \ tot 0 $ limiet is eindig.

Ik zal eerst (1) de verschillen tussen de definities van PE1 en PE2 samenvatten en daarna (2) de twee gelijkstellen.

(1) Ten eerste, als dit antwoord op “Waarom is gravitatie-energie negatief?” zegt , definieert PE1 de potentiële energie van een massa m in het zwaartekrachtveld van een massa M als de energie (werk) die nodig is om het van de huidige positie $ r $ tot in het oneindige. PE1 gaat ervan uit dat $ r = \ infty $ is $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2 wordt daarentegen gedefinieerd als het negatief van de werk gedaan door zwaartekracht om een massa m van het oppervlak van een planeet te tillen tot een hoogte h boven de planeet.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 heeft een ander referentiekader dan PE1 , aangezien het veronderstelt $ PE = 0 $ bij $ r = R $, of op het oppervlak van de planeet. Bovendien, en heel belangrijk, wordt PE2 alleen gebruikt als een -object zich dicht bij het oppervlak van een planeet bevindt , wanneer $ h < < < R $ (R is de straal van de planeet), en g kan als constant worden beschouwd:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, nu gaan we de twee gelijkstellen. Hoewel de referentiekaders voor PE1 en PE2 verschillend zijn, zou $ | \ Delta PE | $ tussen twee punten zeker hetzelfde moeten zijn. Laten we voor een voorbeeld zeggen dat de twee punten het oppervlak van de planeet zijn en de hoogte h boven de planeet.

PE1 zegt $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 zegt $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

en omdat $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

En dus vertegenwoordigen PE1 en PE2 beide dezelfde vorm van energie, maar we moeten de referentiekaders en de gebruiksvoorwaarden in gedachten houden wanneer we ze gebruiken.

Hoop dat dit helpt !!

Het is omdat de zwaartekracht aantrekkelijk is en het werk wordt gedaan door de zwaartekracht zelf. Als het systeem zelf werkt, is energie wordt als negatief beschouwd en als er door een externe instantie aan systeemenergie wordt gewerkt, wordt dit als positief beschouwd.

Ik denk dat het slechts een voorkeur is.

We zouden potentiële zwaartekrachtenergie als positief kunnen beschouwen , wat staat voor de energie die is geïnvesteerd in onze positie ten opzichte van een enorm object. We kunnen die energie terugwinnen (kinetische energie verhogen) door dichter naar het object te gaan, op welk punt we de hoeveelheid energie hebben verlaagd die we konden winnen door te bewegen verder.Dus de potentiële energie neemt af naarmate we dichterbij komen (nul energie nadert op nul afstand), neemt toe naarmate we verder weggaan, en de som van PE en KE is constant.

Maar welke waarde is de constante? Als we heel erg ver verwijderd zijn van het massieve object, zouden we een zeer grote potentiële energie moeten hebben. Maar zelfs als we “vrij dicht bij het massieve object zijn”, zijn we heel erg ver verwijderd van elk ander massief object in het universum, en daarom zouden we zeer grote potentiële zwaartekrachtenergieën moeten hebben in verhouding tot al die objecten. We kunnen ongeveer een waarde voor KE + PE berekenen door alleen de meest relevante objecten (de dichtstbijzijnde en / of grootste) te beschouwen, maar onze geschatte waarde groeit en groeit en groeit naarmate we proberen om nauwkeurigere benaderingen te krijgen door kleinere en meer op te nemen -verre objecten in onze categorie van “relevante” objecten. Onze KE + PE-constante is dus een onmogelijk grote waarde die we nooit echt kunnen berekenen of schatten als een specifieke waarde. In sommige opzichten maakt het niet uit dat we nooit een waarde kunnen claimen, aangezien verschillen van energieën alles is waarmee we echt moeten werken, en we nog steeds kunnen berekenen die (door aan te nemen dat onze PE ten opzichte van al het andere in het universum slechts verwaarloosbaar is veranderd wanneer we ons in de buurt van het massieve object bewegen dat we overwegen). Maar het lijkt onbevredigend.

Aan de andere kant, in plaats daarvan door PE te beschouwen als een positieve hoeveelheid energie die in onze positie is geïnvesteerd (energie die we al hebben uitgegeven als we weg zouden gaan van het massieve object, wat we zouden kunnen winnen door dichterbij te komen), kunnen we het in plaats daarvan beschouwen als een negatieve hoeveelheid energie die we verschuldigd zijn vanwege onze positie (energie die we gratis hebben gewonnen als we dichter bij het object zouden komen vanuit de oneindigheid, die we zouden moeten uitgeven om weer naar het oneindige te ontsnappen).

Alle berekeningen van energieverschillen verschillen werken hoe dan ook hetzelfde. Maar nu gaat onze PE ten opzichte van een object naar nul, omdat we heel ver weg zijn van het object. Dit betekent dat, aangezien we een benadering van onze KE + PE-constante kunnen berekenen door alleen de meest relevante objecten te beschouwen, en omdat we proberen betere benaderingen te krijgen door kleinere en verder verwijderde objecten in onze berekening op te nemen, de effecten van die extra objecten dichterbij komen. en dichter bij nul. Dus we komen met een werkelijk getal waarvan we met recht kunnen zeggen dat dit de waarde is voor onze KE + PE-constante.

De feit dat de gravitatie potentiële energie zoals bij alle potentiële energieën van attarctieve krachten negatief is, is gebaseerd op het feit dat we willen aannemen dat wanneer de deeltjes oneindig zijn ten opzichte van elkaar en in rust, het systeem geen totale energie heeft. Stel je voor dat als dit niet het geval was en een systeem van twee deeltjes met een oneindige scheiding in rust een netto-energie zou hebben, dan zou er enige verwarring ontstaan over de energie die geassocieerd is met de rustmassa. De totale energie van het systeem zou dan niet $ E = Mc.c $ zijn, waar $ M $ de som is van twee massas. Waar zou deze extra energie dan vandaan komen?

Het is verkeerd om potentiële zwaartekrachtenergie als negatief te beschouwen. vaak.

De grote fout is bij het toewijzen van de PE op oneindig = 0. Dit is duidelijk verkeerd – P.E. is duidelijk 0 bij 0 scheiding, en groot bij grote scheidingen. De P.E. van objecten die ver van elkaar verwijderd zijn, zou de optelling moeten zijn van de P.E. voor de eerste zeg 100 “scheiding plus de P.E. voor de tweede 100” scheiding plus — de P.E. voor elke 100 “totdat de volledige scheiding was verantwoord. (ik zal dit als een integraal uitdrukken nadat ik mijn calculus heb opgeschoond.) Dat wil zeggen, PE INCEASES als de scheiding toeneemt – beginnend bij 0 zonder scheiding.

Veel mensen maken een grote fout door potentiële zwaartekrachtenergie als negatief te beschouwen!

Opmerkingen

• Met het veld van een puntbron gehoorzamen aan het omgekeerde -square wet, de kracht is evenredig met $ r ^ {- 2} $ en het potentieel (en de potentiële energie) is daarom evenredig met $ r ^ {- 1} $. De lineaire $ P = mgh $ is slechts een benadering voor kleine veranderingen in afstand.
• @ HDE226868 Wilde u reageren op een ander antwoord?
• @diracula Nee – ik had mezelf duidelijker moeten maken. Ik liet wiskundig zien waarom het potentieel energie verdwijnt in het oneindige in plaats van te groeien tot in het oneindige; aangezien $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ naar $ 0 $ gaat.