Wat bedoelen we met de term “ Aantal dingen ”?

Het boek is heel oud: 2e druk 1903; 1e druk 1890.

Zoals je kunt zien in voetnoot pagina 131, worden Cantor en Dedekind genoemd als “interessante bijdragen aan de literatuur over het onderwerp” …

Je kunt dus niet verwacht dat de concepten die aan het begin zonder definitie zijn geïntroduceerd en die als primitief worden gebruikt om de volgende behandeling te verduidelijken, exact kunnen worden vertaald in moderne (iepost-1930) verzameltheoretische begrippen.

Ik denk dat:

group moet een eindige verzameling objecten betekenen (dingen)

en dat:

aantal dingen in een groep is “duidelijk” (uit de discussie) het equivalent van moderne kardinaliteit (beperkt tot eindige verzamelingen) en wordt een “eigenschap” van de verzameling (groep).

Mijn interpretatie is dat dingen “individueel”, concreet of abstract zijn (indien aanwezig). Het is natuurlijk gemakkelijk om ze als concrete objecten te beschouwen, zoals mensen in een zak of soldaat in een peloton.

Een peloton is een groep soldaten en de aantal dingen in het peloton is het aantal individuele soldaten die het vormen.

Deze interpretatie is ook logisch met betrekking tot de daaruit voortvloeiende definitie van toevoeging (zie CoolHandLouis “s antwoord).

Houd er rekening mee dat groep hier de” algemene “betekenis heeft van verzamelen of samenvoegen; het heeft niets te maken met de technische term” groep “van groepentheorie .

Wanneer we “abstraheren” van de “karakters” van de individuele dingen (dwz hun individuele eigenschappen vormen, zoals kleur, grootte, vorm voor een verzameling ballen) en uit de volgorde van de objecten in de collectie (hetzelfde voor het “moderne” set -concept: {A, B, C} is “dezelfde” set als {C, B, A} ) wat we verkrijgen is het “aantal” dingen in de groep (het aantal leden van de collectie).

Onthoud r de oorspronkelijke notatie van Cantor voor het weergeven van het kardinaalgetal van set A was een “dubbele bovenbalk” boven A:

het symbool voor een set geannoteerd met een enkele bovenbalk boven A gaf A aan, ontdaan van elke structuur behalve volgorde, vandaar dat het het ordertype van de set vertegenwoordigde. Een dubbele balk boven A gaf toen aan dat de bestelling uit de set werd verwijderd en gaf dus het hoofdnummer van de set aan.

Reacties

• Wat bedoelen we met de term Aantal dingen in het algemeen Engels?
• @Anupam – sorry, maar ik ‘ ben geen native Engelse spreker. Ik ‘ heb gezocht op Cambridge Dictionary online : er is geen directe parafrase: de meest gelijkende uitdrukking I ‘ ve gevonden is ” verschillende van een bepaald soort ding: ik besloot om niet te gaan, om een aantal redenen. ” We moeten Fine ‘ s locutie gebruiken als een primitieve ” technische term “.
• Ik denk dat ” group ” niet de ” set ” van onze moderne wiskunde. Een set is daarentegen een verzameling abstracte objecten ” group ” is een verzameling dingen (die niet abstract zijn). De verzamelingenleer heeft niets te maken met mijn vraag.
• Ik heb ‘ dit werk niet gelezen, maar als iemand met meer wiskundige achtergrond heeft de zin ” groep moet een eindige verzameling objecten (dingen) betekenen ” doet me ineenkrimpen.
• @JamesKingsbery – maar ” groep ” hier is niet bedoeld zoals in groepentheorie ; de betekenis is ” colelction ” of ” geaggregeerd ” van individuele objecten.

Voorwoord

Ik heb er twee gegeven antwoorden op deze vraag:

• Het andere antwoord is het betere antwoord en is mijn primaire antwoord. Het suggereert dat Mr. Fine verwijst naar naïeve verzamelingenleer.

• Ik heb dit antwoord gegeven omdat het OP stond erop te denken dat {A, A, A} “drie verschillende elementen bevat “en plaatste een premie. Anders was er absoluut geen overtuigend OP, dus waarom zou je het niet eens zijn en de premie krijgen? 🙂

  De twee antwoorden vullen elkaar eigenlijk aan, omdat ze laten zien hoe men dezelfde wiskundige verschijnselen kan beschrijven door axiomas, definities en regels op verschillende plaatsen te veranderen. Jij zegt TOE MAG TOE Ik zeg TOE MAH TOE. Het blijkt dit antwoord bevat een schattig” wiskundig bewijs “dat meneer Fine dacht dat {A, A, A} drie verschillende elementen vertegenwoordigt”. Maar voel je vrij om een ironische houding in deze antwoord.

Anupam,

Je hebt gelijk Mr. Fine beschouwt {A, A, A} = 3.

Ik dien een ander antwoord in omdat ik erachter kwam, maar ik wilde mijn oude antwoord achterlaten ter wille van de geschiedenis. Je hebt gelijk! Henry Burchard Fine bedoelde drie concrete dingen, dus {A, A, A} wordt als drie geteld. Zijn bewering mag geen vergissing zijn, want is zijn voornaamste uitgangspunt bij het onderbouwen van al zijn numerieke rekenkunde – de basis van zijn hele boek – te beginnen met de toevoeging:

Toevoeging: Als twee of meer groepen dingen samen worden gebracht om een enkele groep te vormen, wordt het cijfersymbool van deze groep de som van de getallen van de afzonderlijke groepen genoemd.

Als de som s is en de nummers van de afzonderlijke groepen abc enz. respectievelijk de relatie daartussen wordt symbolisch uitgedrukt door de vergelijking s = a + b + c + etc waarbij de somgroep wordt verondersteld te worden gevormd door samen te voegen met de tweede groep waartoe b behoort tot de eerst de derde groep waartoe c behoort tot de resulterende groep enzovoort

De bewerking van het vinden van s wanneer abc enz. bekend zijn, is optellen. Optellen is afgekort tellen.

6 Optellen If twee of meer groepen van dingen worden samengebracht om een enkele groep te vormen het numerieke symbool van deze groep wordt de som van de getallen van de afzonderlijke groepen genoemd Als de som respectievelijk s is en de getallen van de afzonderlijke groepen abc enz. is de relatie daartussen symbolisch uitgedrukt door de vergelijking sab c + etc waarbij de somgroep wordt verondersteld te worden gevormd door het samenvoegen van de tweede groep waartoe b behoort tot de eerste de derde groep waartoe c behoort tot de resulterende groep enzovoort De bewerking van het vinden van s wanneer abc etc zijn bekend is toevoeging Optellen wordt afgekort tellen

• Gegeven a, b, c zijn “groepen / sets”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Laat d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Som (d) = Som (a) + Som (b) + Som (c)

• Definieer nu de groepen / sets als volgt:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Som (d ) = Som (a) + Som (b) + Som (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Daarom moet de “vakbondsoperator” van dhr. Fine d = {A, A, A} en sum ({A, A, A}) = 3 creëren.

• Als Mr. Fine “s” union operator “een normale set notatie was, dan d = {A} en er is geen manier om daar” 3 “uit te halen.

Daarom beschouwt dhr. Fine {A, A, A} = 3.

Dit is het geval wanneer A verschillende concrete objecten vertegenwoordigt, zoals 3 munten in een zak.

Opmerkingen

• Ik denk niet dat dit de juiste conclusie is ‘. Ik denk dat Fine er gewoon van uitgaat dat wanneer ” de groepen ” samenbrengt met het oog op sommatie, de ” groepen ” zijn onsamenhangend.
• Gaat u uit van de letter $ A $ als ” abstract object ” of ” concreet object “. Als $ A $ wordt aangenomen als een ” abstract object “, dan hebben $ a $, $ b $ en $ c $ allemaal $ 1 , 1,1 $ aantal dingen erin, maar $ d $ zal geen $ 3 $ aantal dingen bevatten omdat de term Aantal dingen alleen is gedefinieerd voor ” groepen ” met verschillende dingen. Als u $ ” A ” $ aanneemt als een ” concreet object ” dan is alles in orde.
• +1 op je opmerking hierboven Anupam!Anupam, dat is waarschijnlijk de beste vraag die je ‘ hebt gesteld in reacties! Bravo en +1 op die vraag! Dit hele antwoord van mij hangt af van wat ik bedoelde! Dus dat betekent dat je niet zeker weet of dit correct is of niet, tenzij ik je vertel of ik ” abstract ” of ” concreet “. Uitstekend! Ik vind het geweldig! Ik denk dat dit parallel loopt met de oorspronkelijke vraag over de bedoeling van wat meneer Fine bedoelde.
• ” A ” is een concreet object.

Het werk dat eerst in me opkomt is Edmund Husserls Philosophy of Arithmetic . Hij gaat in detail in op de voor de hand liggende moeilijkheid met getallen: dat het tellen van de getelde dingen beide verschillend moet zijn (er kunnen er dus meer dan één zijn) en hetzelfde (je telt bepaalde dingen). Als ik zeg drie appels zijn ze allemaal in zekere zin hetzelfde (het zijn appels) en ze zijn allemaal verschillend in een andere (er zijn er drie, onderscheiden zich door hun ruimtelijke relatie als niets anders)

Er is gelijktijdige “veelheid” en “eenheid”. Dit leidt tot de vraag “hetzelfde op welke manier en verschillend op welke manier”.

Wat ik me het meest herinner uit dit boek is de discussie over verschil en onderscheid. Het is de moeite waard om over te praten. Er zijn twee termen die met elkaar kunnen worden vergeleken, “verschillend”, “onderscheiden”.

• Om onderscheid te maken tussen twee dingen moeten we een oordeel
• Anders is een noodzakelijke maar niet voldoende voorwaarde om dingen te onderscheiden.

In de wiskunde wordt alles wat anders is onderscheiden en beschouwt men een geheel van verschillende dingen. Dit vermijdt het lastige deel: menselijk oordeel.

Dit oordeel is vaak gemakkelijk voor ons. Het is duidelijk dat we veel dingen als verschillend waarnemen en dat de wereld “uitkristalliseert” in objecten. Hoewel deze waarneming niet altijd is alles wat nodig is om onderscheid te maken tussen dingen, is in de meeste dagelijkse situaties voldoende. Alleen in randgevallen moeten we verder gaan dan het uiterlijk van objecten die in de ruimte zijn gescheiden, en een andere manier van beoordelen gebruiken.

Het vermogen om onderscheid te maken tussen dingen is het belangrijkste onderwerp van het wetenschappelijke veld van de psychofysica, en dat is eigenlijk zo begon rond de jaren 1890 en gaat door tot op de dag van vandaag. Er zijn veel filosofische geschriften over deze menselijke capaciteit, in feite ben ik van mening dat dit de belangrijkste vraag van de filosofie is (anderen zijn het daar misschien niet mee eens).

Om uw vraag direct te beantwoorden: wiskunde sluit menselijk oordeel uit, dus bij het construeren van een formeel systeem moeten we beginnen nadat het oordeel is gevormd – we doen dit door aan te nemen dat de objecten ervan allemaal van elkaar te onderscheiden zijn. Als objecten in de wiskunde niet te onderscheiden zijn, worden ze als hetzelfde beschouwd. Dit geldt niet voor echte dingen, die kunnen verschillen maar niet onderscheiden.

Opmerking: De details van hoe rekenkunde wordt geabstraheerd van menselijke oordelen worden behandeld in de rest van Husserls boek. Ik “kan het hier niet echt onder woorden brengen. Ik denk dat er problemen mee kunnen zijn in het licht van recent wetenschappelijk onderzoek ” manyity “. Ik” niet zeker weten.

Reacties

• Het probleem van ” Een-over-veel ” dateert uit Plato; zie Derde man argument maar het geeft ons weinig inzicht in wat getallen zijn en hoe ze het ” menselijke proces ondersteunen ” van tellen. Wiskunde kan getallen als primitief noemen of proberen ” ” expliciet te maken door middel van verzamelingenleer, met behulp van de concepten van correspondentie (hoofdtelwoorden) en volgorde (rangtelwoorden). Maar het probleem is er nog steeds: wat zijn getallen en waarom kunnen we ” ze ” toepassen op de externe realiteit?
• @MauroALLEGRANZA Ja, het is ‘ oud, het is ‘ de belangrijkste vraag;) De rest van Husserl ‘ s boek gaat over de relatie tussen abstract rekenen en de wereld, en daarom ‘ noem ik het eerder dan iets anders. Ik heb het ‘ t niet gedetailleerd omdat het 1) nogal technisch is (belangrijkste reden) 2) mogelijk verkeerd, en 3) niet nodig was om uit te leggen ” Waarom meneer Fine deze term alleen heeft beperkt tot die groepen die alle verschillende elementen hebben. ”
• I ‘ Ik zeg niet dat Husserl ongelijk had … Mijn persoonlijke begrip is dat Fine (1890!) probeerde ” ” het concept van getallen op te helderen ” platonist ” flavour, ik vermijd alle verwijzingen naar ” abstracte ” objecten. Ik ‘ ben er niet van overtuigd dat Plato gelijk had … maar ik ‘ ben ervan overtuigd dat tot nu toe nee er is een correct argument gevonden voor ” waarin ” wordt uitgelegd welke getallen zijn, waardoor alle verwijzingen naar ” abstract ” objecten of concepten.
• @MauroALLEGRANZA Ik bedoelde niet ‘ te zeggen dat je het was. Husserl is nogal kritisch over het idee dat getallen moeten worden beperkt tot fysieke objecten (met name Mill), zegt hij ” De simpele toespeling op psychische handelingen of toestanden, die zeker net zo goed kan worden geteld als fysieke inhoud, weerlegt [this] “. Als men abstracte objecten kan tellen, zou een theorie die verwijzing naar abstracte objecten weglaat, onvolledig zijn. Maar misschien begrijp ik ‘ je niet helemaal.
• Nogmaals, ik ben het met je eens; Ik ” hou van ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” The Foundations of Arithmetic: A logico-mathematical research into the concept of number “), Breslau, 1884 waar hij ” gesloopt ” Mill ‘ s empiristische getaltheorie. Er waren verbindingen (en contacten) tussen H en F; zie door Claire Ortiz Hill, Husserl of Frege? Betekenis, objectiviteit en wiskunde .

Voorwoord

Ik heb twee antwoorden op deze vraag gegeven:

• Dit antwoord is het betere antwoord en het suggereert dat dhr. Fine verwijst naar naïeve verzamelingenleer. Ook is er hier geen grote poging tot strengheid, en meneer Fine springt gewoon vooruit naar zijn onderwerp van interesse. Dit antwoord is mijn primaire antwoord.

• Ik heb nog een antwoord in dezelfde thread omdat het OP erop stond bij het denken aan {A, A, A} als bevattende “drie verschillende elementen” en plaatste een premie. Anders was er absoluut geen overtuigend OP, dus waarom zou je het niet eens zijn en de premie krijgen? 🙂

  De twee antwoorden vullen elkaar eigenlijk aan, omdat ze laten zien hoe men dezelfde wiskundige verschijnselen kan beschrijven door axiomas, definities en regels op verschillende plaatsen te veranderen. Jij zegt TOE MAG TOE Ik zeg TOE MAH TOE. Het blijkt dat het andere antwoord een schattig “wiskundig bewijs” bevat dat De heer Fine dacht dat {A, A, A} drie verschillende elementen vertegenwoordigt. Het kan interessant zijn om te zien hoe ik een dergelijk voorstel verdedigde.

1. Het boek verwijst naar de naïeve verzameltheorie

De volgende link naar Google Boeken is gemakkelijker te raadplegen: Het getallensysteem van de algebra: theoretisch en historisch behandeld “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Gepubliceerd 1907). Het volgende is het betreffende fragment uit dit boek uit 1907:

I. DE POSITIEVE INTEGER EN DE WETTEN DIE DE TOEVOEGING EN VERMENIGING VAN POSITIEVE INTEGERS REGELEN

1 Getal. We zeggen van bepaalde verschillende dingen dat ze een groep vormen (met groep bedoelen we een eindige groep die niet in één op één overeenkomst kan worden gebracht 2 met een deel van zichzelf) als we ze collectief tot een enkel object van onze aandacht maken.

Het aantal dingen in een groep is die eigenschap van de groep die onveranderd blijft tijdens elke verandering in de groep die wel vernietig de afgescheidenen niet s van de dingen van elkaar of hun gemeenschappelijke gescheidenheid van alle andere dingen.

Dergelijke veranderingen kunnen veranderingen zijn in de kenmerken van de dingen of in hun rangschikking binnen de groep. Wederom kunnen wijzigingen in de rangschikking wijzigingen zijn in de volgorde van de dingen of in de manier waarop ze in kleinere groepen met elkaar worden geassocieerd.

We kunnen daarom zeggen: Het aantal dingen in elke groep van verschillende dingen is onafhankelijk van de kenmerken van deze dingen in de volgorde waarin ze in de groep kunnen zijn gerangschikt en van de manier waarop ze in kleinere groepen met elkaar kunnen worden geassocieerd.

2 Numerieke gelijkheid. Het aantal dingen in twee groepen verschillende dingen is hetzelfde als er voor elk ding in de eerste groep er een is in de tweede en omgekeerd voor elk ding in de tweede groep een in de eerste. Dus het aantal letters in de twee groepen A, B, C; D, E, F, is hetzelfde … [Mr. Fine blijft praten over 1-op-1 correspondentie – CoolHandLouis] …

Dat is het is voor iedereen die een beginnerscursus “Set Theory 101” volgt duidelijk dat dit boek de basis van de verzamelingenleer beschrijft. We kunnen vol vertrouwen zeggen dat de verwijzingen van dhr. Fine naar een “groep” precies en precies zijn wat nu bekend staat als een “set”, en naar “elementen” toen hij “verschillende dingen” beschreef. (Terzijde, dit het hele bericht verwijst eigenlijk naar wat “Naive Set Theory” wordt genoemd, maar dat is niet van belang voor deze vraag / antwoord.)

Aangezien Mr. Fine verwijst naar Set Theory, en zijn boek werd geschreven in 1907 , mijn eerste suggestie is dat je Mr. Fine helemaal vergeet en google voor een aantal goede referenties voor beginner” verzamelingenleer “ en bekijk ook enkele van de korte videos over hetzelfde onderwerp.

De voetnoot van Mr. Fine” Met groep bedoelen we de eindige groep die is er een die niet in één op één correspondentie met enig deel van zichzelf kan worden gebracht is een zeer sterk bewijs dat hij het heeft over (naïeve) verzamelingenleer. Hij vermijdt duidelijk oneindige verzamelingen, en gebaseerd op de geschiedenis van de verzamelingenleer, dat misschien voor pol itische redenen. Er is geen reden voor hem om op dat punt in zijn carrière omstreden te zijn, en alle reden om op zeker te spelen, vooral met dit boek.

Maar dat is een meta-antwoord. Hier is een echt antwoord:

2. Antwoord op vraag – intro

Laten we eerst de rest van de taal van dit bericht standaardiseren naar de 21e eeuw: Een set is een verzameling verschillende elementen. Laten we het dus niet meer hebben over “dingen” of “groepen”. En het maakt niet uit of ze zijn concreet of abstract, echt of ingebeeld.

Het wijzigen van de namen voor deze termen betekent niet in verander op een of andere manier de problemen die u tegenkomt. De nieuwe woorden verwijzen naar precies hetzelfde wat meneer Fine zei. Het is allemaal een kwestie van definitie, en ik zal alles definiëren terwijl we verder gaan om u het verschil te laten zien dat veroorzaakt verwarring.

3. Hoe je kijkt naar “Onderscheidend” en “Tellen”

Ten eerste heb je in zekere zin gelijk. Binnen je eigen persoonlijke begrip / geloofssysteem / definities van “onderscheiden”, “verzameling”, “verzameling van dingen” en “groep”, en hoe je daarmee omgaat, je bent “con ng “dat” je gelijk hebt “. En noch ik, noch enige wiskundige kan in deze zin bezwaar maken tegen uw “juistheid”. Gebaseerd op je definities en denkmethoden, heb je volkomen gelijk. Maar dat is nog maar een begin; dat lost de verwarring niet op.

Laten we een systeem verzinnen / uitvinden waarin je “gelijk” hebt. (Onthoud dat we net zo goed “groepen” en “dingen” kunnen zeggen, maar ik “standaardiseer” naar “sets” en “elementen”. De gebruikte woorden maken geen enkel verschil zolang we ze definiëren.)

Niet-standaard set theorieregels volgens originele poster

• Een set is een verzameling elementen.
• Elk element wordt vertegenwoordigd door een of meer symbolen (alfanumeriek).
• De grootte van de set is het totale aantal elementen.
• OP “s Definition of Distinct: Elk element wordt als” onderscheiden “beschouwd als het op een andere positie voorkomt, dus {A , A} bevat twee verschillende elementen omdat ze zich op verschillende posities bevinden (positie één en positie twee).

Vraag: hoeveel elementen zijn er in {A, A, A} volgens de boven niet-standaard regels door Ori ginal Poster? Antwoord: 3.

4. Hoe Math Set Theory (Mr. Fines boek) “Onderscheidend” en “Tellen” definieert

Laten we dit nu eens meer bekijken vanuit de standaard wiskundige definitie.

Standard Mathematical Set Theory Rules

• Een set is een verzameling van verschillende elementen.
• Elk element wordt vertegenwoordigd door een of meer symbolen.
• De grootte van een set is het totale aantal elementen.
• Set Theory Definition of Distinct: Elk element wordt als “apart” beschouwd als kan worden vastgesteld dat het anders is dan alle andere elementen. Wanneer ze worden vertegenwoordigd door letters en woorden, hebben de alleen betrekking op , want onderscheid is of elementen al dan niet verschillende namen hebben. In geschreven wiskunde, onderscheiden = verschillende namen.

In het kader van dit antwoord is iets met de naam hetzelfde niet verschillend – het verwijst naar hetzelfde. Dus {A, A} is hetzelfde als zeggen, {India, India}. Het verwijst slechts naar één land, niet naar twee landen. Het verwijst twee keer naar hetzelfde land. Dus wat is de telling? Het ene land, of de twee keer dat het wordt genoemd? In de verzamelingenleer is het het eerste.

“Maar waarom?” zou je kunnen vragen. In zekere zin kun je dit als volkomen willekeurig beschouwen. “Het is per definitie.” (Maar het is zo om een goede reden; het zorgt ervoor dat veel andere dingen in de verzamelingenleer goed uitpakken, maar dat gaat buiten deze discussie). Dus je moet het gewoon accepteren , net als we moeten accepteren dat u gelijk heeft met uw definitie.

Vraag: hoeveel verschillende landen zijn er in {Frankrijk, Frankrijk, Frankrijk, Frankrijk, India, India, India, Brazilië, Brazilië}? Antwoord: 3 omdat de set slechts verwijst naar drie verschillende plaatsen = {Frankrijk, India, Brazilië}.

5. Munten in je zak

Dat is om deze reden en voor de eenvoud voegen we gewoon nog een regel toe aan de Set Theory:

• Geen duplicaten zijn toegestaan in sets.

Waarom? Omdat een set is zoiets als een “zak met dingen” (concreet of abstract). Laten we bijvoorbeeld eens kijken naar vier munten in je linkerzak op maandag. Laten we zeggen dat we niet weten wat ze zijn. Dus we noemen ze C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Gezien dit idee, maakt het het heeft geen zin om hiernaar te verwijzen als {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Waarom drie keer naar de eerste munt verwijzen? Het zit al in je zak. Je hoeft er maar één keer naar te verwijzen. Laten we nu wat attributen aan de munten toekennen:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Gewicht = 2,4993399494 g; Conditie = Nieuwstaat
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Datum = 1999; Gewicht = 2,4990044384 g; Conditie = Goed
• C3 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Datum = 2002; Gewicht = 5.0002292833 g; Conditie = Zeer goed
• C4 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Datum = 2003; Gewicht = 5,0010022229 g; Conditie = Zeer goed

Nu we weten dat twee ervan penningen zijn, is de set munten in uw zak nog steeds hetzelfde:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Maar nu kunnen we vragen hoeveel verschillende (verschillende) soorten munten er in uw zak zitten:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Laten we de munten C2, C3 en C4 dinsdag naar uw rechterzak verplaatsen. Wat zit er woensdag in uw zakken?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Reacties

• Na bestudering van het concept van type-token Ik betwijfel de logische nauwkeurigheid van het boek van Fine ‘ s. Ik ben een nieuwe vraag aan het samenstellen met betrekking tot de voetnoot gegeven op ” group $ {} ^ 1 $ “.
• Nee, wacht alstublieft voor iedereen ‘ sake … wacht even. geen andere vraag, dit is zo ongeveer vastgespijkerd. Geef antwoordenden wat tijd om op mijn antwoord en uw zorgen te reageren. ” Groep ” in Fine ‘ s boek is exact de set van moderne wiskunde. U ‘ zult volledig op een andere raaklijn gaan als u dit naar een andere vraag overbrengt.
• ” Groep ” in het fijne ‘ s boek is precies niet de set in moderne wiskunde. Deze keer heb ik gelijk.
• Ok wat is uw bewijs daarvoor. Ik heb veel tijd besteed aan dit antwoord, dus blijf hier alsjeblieft een beetje bij, oké?
• Mijn persoonlijke mening is dat vraagstellers, gezien de gratis service van een beantwoorder, alle antwoorden die geef enige waarde, zelfs als het ‘ niet het juiste antwoord is. Het ‘ is een manier om te zeggen: ” Bedankt voor je bijdrage aan het proces om het antwoord te vinden. ” Evenzo ben ik van mening dat iedereen die een vraag beantwoordt, de vraag moet stemmen; als ze tijd besteedden aan het beantwoorden, moet het zeker enige waarde hebben. Wees genereus met stemmen. Het zijn gratis, abstracte tekenen van waardering / waarde. Laat anderen omhoog / omlaag stemmen over hogere verdiensten. Het is ‘ jouw keuze, maar ik zou niet ‘ t benedenstemmen op zon technisch aspect.

V1: Aangezien $ A $ en $ A $ niet verschillend zijn, zijn alleen $ A $ en $ B $ zijn verschillend (tenzij je rabulistisch bent en onderscheid maakt tussen “de eerste klodder inkt die een $ A $ vormt” en “de tweede klodder inkt die een $ A $ vormt”, maar dat maakt het onmogelijk om te vermelden correct een van deze $ A $ s als de concrete letter (klodder inkt) $ A $ die wordt gebruikt om een specifieke letter (klodder inkt) te noemen $ A $ verschilt automatisch van die klodder inkt, in tegenstelling tot de bedoeling. in al deze gevallen spreken we van het “idee” van $ A $, dwz elke instantie van “$ A $” in de tekst verwijst naar hetzelfde object, dat zelf buiten de tekst moet worden gedacht (om het mogelijk te maken in de eerste plaats om “$ A $” te gebruiken om over $ A $ te praten). Alleen in die zin $ A = A $ (voor als betonnen klodders inkt op het papier hebben ze verschillende posities, waardoor ze verschillend zijn) en de twee $ A $ s in “$ A, B, A $” missen duidelijkheid. Uw groep is dus dezelfde als die met elementen $ A, B $ (of $ B, A $ als u wilt), dat wil zeggen het aantal is $ 2 $.

V2: Ze zijn nog steeds niet identiek als objecten. Bijv. U kunt de eerste aantrekken en de tweede in uw kast leggen terwijl u de derde warm strijkt; je zou het ongetwijfeld opmerken als je in feite het hetzelfde shirt warm strijkt als het shirt dat je draagt. De overhemden zijn niet te onderscheiden door de eigenschap “kleur” (zoals ze daarvoor al niet te onderscheiden waren bijvoorbeeld door de eigenschap “maat”, neem ik aan), maar ze zijn nog steeds te onderscheiden door de eigenschap “ruimtelijke positie”. Interessant genoeg laat dit ons achter met het probleem dat we moeilijkheden ondervinden bij het identificeren van de shirts van vandaag met die van gisteren. Je moet een tijdje nadenken over wat ‘onderscheiden’ (in tegenstelling tot ‘te onderscheiden’) en ‘hetzelfde’ betekenen.

Q3: Onderscheidbaarheid van elementen (die identiek gekleurde overhemden mogelijk maken) is essentieel, aangezien je hetzelfde object niet opnieuw wilt tellen (als je dat doet, zou je een rijk man worden met slechts één munt op zak). Een totaal (?) Andere benadering is om “aantal” te definiëren als de equivalentieklasse van sets (en het lijkt erop dat Fine “s” groep “is wat we vandaag” set “zouden noemen) onder” gelijkwaardigheid “(dwz bestaan van een bijectie op deze manier komt het concept van 2 of Two-heid overeen met (of is in feite) de klasse van alle sets $ X $ zodat er een bijectie van $ X $ bestaat voor elke specifieke set van (wat we noemen ) twee elementen, zoals $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Als je een hekel hebt aan (juiste) klassen, kan het opvallen dat elk van deze equivalentieklassen een speciale “eenvoudige” set bevat, een ordinaal (althans in het eindige geval, en in het algemeen onder de aanname van het axioma van keuze).

Opmerkingen

• Wat bedoelen we met aantal dingen ? waarom zeggen we in Q1 dat groep G: {A, A, B} twee dingen heeft, waarom niet 3 zoals het zou moeten zijn, want er zijn drie dingen in groep G , zelfs de twee dingen in groep G zijn hetzelfde, maar ze bestaan en we moeten ze tellen O. Gebruiken we de term aantal dingen anders in wiskunde dan in het gewone leven. het primitieve concept van tellen maakt zich niet druk om het onderscheid tussen verschillende dingen in een groep terwijl het aantal dingen in een groep wordt berekend. Waarom hebben we in de wiskunde dit soort ongebruikelijke definitie van de term nee gemaakt. van dingen .
• Meneer, ik heb mijn vraag aangepast om directer te zijn. Kunt u op zijn minst uitleggen wat we bedoelen met Aantal dingen .

“Aantal dingen” in algemeen Engels: er is niet genoeg informatie in de term alleen om één antwoord te geven.

Het probleem is de term “dingen”. In het algemeen Engels zou dit verwijzen naar enkele arrangement al gedefinieerd, bijvoorbeeld aantal items van dezelfde kleur of aantal eieren in een doos, of aantal cijfers “3” in een telefoonnummer.

Zonder dat de betekenis van “nummer van dingen “is veelvoudig – het” is het aantal objecten in een container van elke soort / grootte, geclassificeerd volgens elke methode die je je maar wilt voorstellen.

Reacties

• Stel dat er een groep {A, A, A} is. Ik vraag hoeveel letters zitten er in deze groep ? Wat zou het antwoord moeten zijn.
• Raadpleeg Typen en tokens
• @MauroALLEGRANZA de link die je hebt gegeven is best interessant. Ze lijken te suggereren dat ” Type ” = ” Abstract object ” en ” Token ” = ” Concrete “. In het boek zegt Me.Fine at the outsaet: ” We zeggen over bepaalde dingen dat ze een groep vormen ” ” Thing ” = ” concreet ” = ” Token ” heb ik gelijk?
• @Mauro, Sorry maar jullie hebben het achterstevoren. Het woord ” ding ” leidt het niet af ‘ s betekenis van ” Type / token-filosofie “. De definitie van google.com/search?q=definition+thing omvat ” een abstracte entiteit of concept: ‘ rouw en depressie zijn niet hetzelfde ‘. synoniemen: kenmerk, kwaliteit, kenmerk, eigenschap, eigenschap, kenmerk, punt, aspect, facet, eigenaardigheid …
• @Mauro, ook, ” een eindig collection ” impliceert geen concrete zaken. Hier zijn een aantal eindige verzamelingen van abstracte dingen / elementen: {1,2,3,4,5}, {liefde, oorlog, vrede}. Meer dan waarschijnlijk vermeed hij oneindige sets omdat ze destijds zeer controversieel waren: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Ik raad je aan om de definitie van Fine te vergelijken met het volgende discussie, van RL Goodstein, Recursieve getaltheorie (1957) :

De vraag “Wat is de aard van een wiskundige entiteit?” is een vraag die al meer dan tweeduizend jaar geïnteresseerd is in denkers en die zeer moeilijk te beantwoorden is gebleken. Zelfs de eerste en belangrijkste van deze entiteiten, de natuurlijke getal, heeft de ongrijpbaarheid van een dwaallicht wanneer we het proberen te definiëren.

Een van de bronnen van de moeilijkheid om te zeggen wat getallen zijn, is dat er niets is waarop we kunnen wijzen in de wereld om ons heen als we op zoek zijn naar een definitie van getal. Het getal zeven, is niet een bepaalde verzameling van zeven objecten, want als dat zo was, zou van geen enkele andere verzameling kunnen worden gezegd dat ze zeven leden heeft; want als we de eigenschap van zeven identificeren met de eigenschap een bepaalde verzameling te zijn, dan is zeven zijn een eigenschap die geen enkele andere verzameling kan hebben. Een redelijkere poging om het getal zeven te definiëren zou zijn te zeggen dat de eigenschap om zeven te zijn de eigenschap is die alle verzamelingen van zeven objecten gemeen hebben. De moeilijkheid van deze definitie is echter om te zeggen wat het is dat alle verzamelingen van zeven objecten werkelijk gemeen hebben (zelfs als we net doen alsof we ooit kennis kunnen maken met alle verzamelingen van zeven objecten). Het nummer van een collectie is er zeker geen eigendom van in die zin dat de kleur van een deur een eigenschap is van de deur, want we kunnen de kleur van een deur veranderen, maar we kunnen het nummer van een collectie niet veranderen zonder de collectie te veranderen. zelf. Het is volkomen logisch om te zeggen dat een deur die vroeger rood was en nu groen is, dezelfde deur is, maar het is onzin om van een verzameling van zeven kralen te zeggen dat het dezelfde verzameling is als een verzameling van acht kralen. Als het nummer van een collectie een eigenschap is van een collectie, dan is het een bepalende eigenschap van de collectie, een essentieel kenmerk.

Dit brengt ons echter niet dichter bij een antwoord op onze vraag “Wat hebben alle verzamelingen van zeven objecten gemeen?” Een goede manier om met een dergelijke vraag vooruitgang te boeken, is ons af te vragen “Hoe weten we dat een collectie zeven leden heeft?” omdat het antwoord op deze vraag zeker iets aan het licht moet brengen dat verzamelingen van zeven objecten gemeen hebben. Een voor de hand liggend antwoord is dat we het nummer van een collectie te weten komen door de collectie te tellen, maar dit antwoord lijkt ons niet te helpen, omdat we, wanneer we een collectie tellen, niet meer lijken te doen dan elk lid van de collectie te labelen met een getal. (Denk aan een rij soldaten die eraf nummeren.) Het geeft duidelijk geen definitie van nummer om te zeggen dat nummer een eigenschap is van een verzameling die wordt gevonden door nummers toe te kennen aan de leden van de verzameling.

Elk lid van een verzameling een nummer geven, zoals we lijken te doen bij het tellen, is in feite het opzetten van een correspondentie tussen de leden van twee collecties, de te tellen objecten en de natuurlijke getallen . Bij het tellen van bijvoorbeeld een verzameling van zeven objecten hebben we een overeenkomst tot stand gebracht tussen de getelde objecten en de getallen van één tot zeven. Elk object krijgt een uniek nummer toegewezen en elk nummer (van één tot zeven) wordt toegewezen aan een object uit de collectie. Als we zeggen dat twee verzamelingen vergelijkbaar zijn wanneer elk een unieke partner in de andere heeft, dan kan worden gezegd dat het tellen van een verzameling een verzameling getallen bepaalt die vergelijkbaar zijn met de getelde verzameling.

De zwakte van de definitie ligt in deze notie van correspondentie. Hoe weten we of twee elementen overeenkomen?De kopjes en schotels in een verzameling kopjes die in hun schotels staan, hebben een duidelijke overeenkomst, maar wat is de overeenkomst tussen bijvoorbeeld de planeten en de Muzen? Het heeft geen zin te zeggen dat zelfs als er geen duidelijke correspondentie is tussen de planeten en de Muzen, we er gemakkelijk een kunnen vaststellen, want hoe weten we dit, en wat is belangrijker, wat voor soort correspondentie staan we toe? Bij het definiëren van getal in termen van gelijkenis hebben we slechts het ongrijpbare concept van getal vervangen door het even ongrijpbare concept van correspondentie.

Sommige wiskundigen hebben geprobeerd te ontsnappen aan de moeilijkheid om getallen te definiëren, door getallen te identificeren met getallen. Het nummer één wordt geïdentificeerd met het cijfer 1, het cijfer twee met het cijfer 11, het cijfer drie met 111, enzovoort. Maar deze poging mislukt zodra men merkt dat de eigenschappen van cijfers niet de eigenschappen van cijfers zijn. Cijfers kunnen blauw of rood zijn, gedrukt of met de hand geschreven, verloren en gevonden, maar het heeft geen zin om deze eigenschappen aan getallen toe te schrijven, en omgekeerd kunnen getallen even of oneven, prime of samengesteld zijn, maar dit zijn geen eigenschappen van cijfers.

De antithese van “getal” en “getal” is er een die gebruikelijk is in de taal, en misschien is de meest bekende instantie ervan te vinden in het paar termen “propositie” en “zin”. De zin is een fysieke weergave van de propositie, maar kan niet met de propositie worden geïdentificeerd, aangezien verschillende zinnen (bijvoorbeeld in verschillende talen) dezelfde propositie kunnen uitdrukken. [zie typen en tokens ]

Het schaakspel, zoals vaak is opgemerkt, biedt een uitstekende parallel met wiskunde (of, wat dat betreft, met de taal zelf). Met de cijfers komen de schaakstukken overeen, en met de rekenkundige bewerkingen de zetten van het spel.

Hier vinden we eindelijk het antwoord op het probleem van de aard van getallen. We zien ten eerste dat we voor een begrip van de betekenis van getallen moeten kijken naar het “spel” dat getallen spelen, dat wil zeggen naar rekenen. De getallen, een, twee, drie, enzovoort, zijn karakters in het rekenkundig spel, de stukken die deze karakters spelen zijn de cijfers en wat een teken maakt, het cijfer van een bepaald getal is het deel dat het speelt, of zoals we kunnen zeggen in een vorm van woorden die meer geschikt is voor de context, wat een teken, het teken van een bepaald getal, vormt, zijn de transformatieregels van het teken. Hieruit volgt dat het object van onze studie is, NIET ZELF NUMMER, MAAR DE TRANSFORMATIEREGELS VAN DE AANTAL TEKENS .

Wisselend, maar discutabel …

Meer dan 60 jaar eerder bekritiseerde Frege alredy deze visie; zie Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), nieuwe Engelse vertaling door Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, pagina xiii:

[er is een] wijdverspreide neiging om alleen te accepteren wat kan worden waargenomen als zijnde. […] Nu zijn de objecten van de rekenkunde, de getallen, onmerkbaar; hoe kom je hiermee om? Erg makkelijk! Verklaar dat de cijferborden de cijfers zijn. […] Af en toe lijkt het erop dat de nummerborden worden beschouwd als schaakstukken, en de zogenaamde definities als spelregels. In dat geval duidt het teken niets aan, maar is het eerder het ding zelf. Bij dit alles wordt natuurlijk een klein detail over het hoofd gezien; namelijk dat een gedachte wordt uitgedrukt door middel van “3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, terwijl een configuratie van schaakstukken niets zegt.

Opmerkingen

• Ik herinner me de opwinding die ik voelde toen ik de inleiding van Goodstein ‘ voor het eerst las. Hij ‘ heeft geen Frege, maar het ‘ is geweldig om een duidelijke verklaring van een mening te krijgen, zodat je het kunt zeg precies waarmee.

Om de definitie van Fine van aantal dingen “, dat nogal verschilt van het ” moderne ” set-theoretische benadering, denk ik dat het nuttig kan zijn om het te verwijzen naar de filosofische traditie van de negentiende-eeuwse Britse empirie.

In het bijzonder de filosoof John Stuart Mill wijdde een deel van zijn werk A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) aan de bespreking van de grondslagen van de rekenkunde.

Hier enkele passages die – naar ik hoop – de definitie van Fine kunnen verduidelijken:

Drie kiezelstenen in twee afzonderlijke percelen, en drie kiezelstenen in een pakket, maak niet dezelfde indruk op onze zintuigen, – en de bewering dat dezelfde kiezelstenen door een verandering van plaats en opstelling kunnen worden gemaakt om de ene reeks gewaarwordingen of de andere te produceren, hoewel een zeer vertrouwde stelling, is niet identiek. […]

De fundamentele waarheden van die wetenschap [de wetenschap van getallen] berusten allemaal op het bewijs van zingeving, – ze worden bewezen door aan onze ogen te laten zien en onze vingers dat een willekeurig aantal objecten, bijvoorbeeld tien ballen, door scheiding en herschikking voor onze zintuigen alle verschillende sets getallen kunnen vertonen waarvan de som gelijk is aan tien. ( CW VII, 256-57)

Dus als we zeggen dat de kubus van 12 1782 is, bevestigen we dit: dat als we een voldoende aantal kiezelstenen of andere objecten hebben, we ze samenvoegen tot th het specifieke soort pakketten of aggregaten genaamd twaalf; en voeg deze zelf samen in soortgelijke verzamelingen, – en maak ten slotte twaalf van deze grootste percelen: het aldus gevormde aggregaat zal er een zijn die we 1728 noemen; namelijk dat wat (om de meest bekende vorm van vorming te beschouwen) gemaakt kan worden door het pakket genaamd duizend kiezelstenen samen te voegen, het pakket genaamd zevenhonderd kiezelstenen, het pakket genaamd twintig kiezelstenen, en het pakket genaamd acht kiezelstenen. ( CW VII: 611-12)

Mills naturalistische benadering van de grondslagen van rekenkunde is gebaseerd op de ” basis ” processen van samenvoegen en scheiden die aanleiding geven tot en ontleden ” aggregaten ” van fysieke objecten.

De empirische visie van Mill werd scherp bekritiseerd door Gottlob Frege in zijn fundamentele Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Voor een uiteenzetting van Mills filosofie van de wiskunde, zie Philip Kitcher, Mill, wiskunde en de naturalistische traditie , in John Skorupski (redacteur), The Cambridge Companion to Mill (1998), pagina 57-later.

Reacties

• Mijnheer, bedankt voor dit weer een zeer nuttig antwoord . Het zal even duren voordat ik zoveel gerelateerde teksten lees (ik ben momenteel de boeken aan het onderzoeken die u en anderen eerder noemden). Is er een definitief boek dat volledig gewijd is aan de geschiedenis van de rekenkunde ? Een boek dat dingen zou kunnen uitleggen, te beginnen bij de geschiedenis en dan uiteindelijk om uit te leggen hoe de moderne rekenkunde tot stand kwam. Een boek dat alle gerelateerde zaken zou uitleggen, d.w.z. wie, hoe, wanneer, waarom van rekenen. Over een maand zal ik twee zeer filosofische (en technische) vragen stellen over rekenen. Zal ik je pingen.
• Over de geschiedenis van ” modern ” rekenfilosofie , vanaf Kant (maar JSMill wordt niet besproken) zie je Michael Potter, Reden ‘ s Dichtstbijzijnde Kin: Philosophies of Arithmetic van Kant tot Carnap (2002).

In het boek is het “aantal dingen” in feite verschillend van hun representatie. Stel dat u gasten heeft die u voor een feest wilt uitnodigen. Wat is het aantal gasten-dingen dat u uitnodigt?

Als u 5 vrienden uitnodigt, noemen we ze John, Fred, Mary, Jill en Barney. Er zijn 5 gastvrienden. dingen die je uitnodigt voor het feest.

Maar nu, wat als het feest een gemaskerd bal is en ze allemaal in vermomming zijn? John is verkleed als geest, Fred als goblin, Mary als heks, Jill als pompoen en Barney als dinosaurus. Alleen omdat ze nu spook, goblin, heks, pompoen en dinosaurus zijn, verandert niets aan het aantal gast-vriend-dingen die je hebt uitgenodigd voor het feest. Hun kenmerken zijn veranderd – ze zien er niet langer uit als je vrienden, ze zien eruit zoals hun vermommingen.

Wat als ze allemaal verkleed zijn als niet te onderscheiden geesten. Betekent dit dat we zeggen dat er maar één geest naar je gezelschap is gekomen? Nee, omdat ze nog steeds kunnen worden onderscheiden door hun ruimtelijke plaats, tijd van aankomst, lengte, gewicht, kleur van het vel, enz.

Wat als ze exact hetzelfde kostuum droegen en je er nooit meer dan één tegelijk zag – zodat er geen onderscheidende kenmerken waren vriend van een ander. Je weet misschien niet zeker hoeveel gast-vriend-dingen je op je feest had. DEZE transformatie heeft het onderscheidend vermogen vernietigd dat hen daarvoor scheidde, dus het is geen geldige transformatie om het aantal dingen op te sommen.

Het idee van “aantal dingen” met betrekking tot uw uitnodigingen is specifiek het eigendom van de groep, zodat eventuele wijzigingen (opnieuw inschakelen, hernummeren, herordenen, maar NIET dupliceren, elimineren , of het tellen van subsets) die de onderscheidbaarheid van de elementen behouden, behoudt die eigenschap. Het gaat er niet om of de waarde van dat eigendom 1, 5 of een miljoen miljard is, alleen dat het “aantal dingen” een eindige waarde is die deze eigenschap behoudt.

Met betrekking tot in gewoon Engels is het aantal dingen gewoon … het aantal interessante items. Eenvoudiger kan het niet worden, en omdat het zon eenvoudig concept is, is het erg moeilijk om een precieze definitie te schrijven die geen problemen veroorzaakt bij mogelijke spreektaal.

Deze vraag (en veel van de antwoorden trouwens) gaat voorbij aan het doel van de wiskundige theorie, namelijk axiomas behandelen als iets gegeven. We nemen aan dat we hebben een idee van (bijvoorbeeld) onderscheidbaarheid, en onderzoeken vervolgens de gevolgen van het hebben van dit idee.

Met andere woorden, het is onmogelijk om de vraag te stellen “Hoeveel elementen zitten er in de set $ \ { A, A, B \} $? “Zonder eerst axiomas te geven over $ A $ en $ B $. Volgens de standaard wiskundige syntaxis zouden we deze vraag eigenlijk pas moeten stellen nadat we opnieuw zijn gelabeld met $ \ {A, A”, B \} $ om verwarring te voorkomen, maar dit is een kwestie van communicatie en bruikbaarheid, geen dogma en zeker niet een soort waarheid over sets.

Wiskunde, in de woorden van Roberto Unger, is een “visionaire verkenningvan een simulacrum van de wereld “. Als je het niet eens bent met de visie van iemand anders, is dat prima. Maar als je denkt dat je een probleem hebt met de wiskunde zelf, dan is de kans groot dat je je eigen tegenstrijdigheden genereert door taalmisbruik. Als je duidelijk weet welke eigenschappen jouw begrip van onderscheidbaarheid zou moeten hebben, dan is verzamelingenleer van toepassing , het is alleen de vraag hoe. Het schrijft geen bepaalde vorm van onderscheid voor, maar onderzoekt eerder de overeenkomsten tussen alle vormen van onderscheid.

Het lijkt erop dat dat het antwoord op uw vraag sterk verweven is met wat “een ding” is. Je weet misschien dat, hoe abstract een vraag ook mag zijn, deze herhaaldelijk is gesteld in de natuurkundige gemeenschap in de context van de kwantumveldentheorie en de grondslagen van de kwantummechanica (zie bijvoorbeeld Paul Teller en Chris Isham). Een van de conclusies is dat het concept van een ding als een essentie waaraan eigenschappen hechten, moet worden verworpen. Dit is wat Teller beschrijft als het probleem met het “gelabelde tensorproduct Hilbertruimteformalisme”, aangezien het onverenigbaar is met het fysieke gedrag dat feitelijk wordt waargenomen. Dus als je een universele definitie wilt van aantal dingen, kun je deze overwegingen niet vermijden over wat een ding is en wat onderscheidbaarheid is vanuit een fysiek oogpunt. (Tenzij je een definitie wilt die van toepassing is op een universum dat is niet van ons).

Om je een voorbeeld te geven, laten we zeggen dat je een foton in je rechterhand en een in je linkerhand hebt. U kunt ze onderscheiden door te verwijzen naar de hand waarin ze zich bevinden. Het “aantal manieren om ze in uw zak te steken” is dus 2 (eerst die in uw linkerhand, dan die in uw rechterhand of andersom) . Eenmaal in de broekzak worden ze echter fysiek niet meer van elkaar te onderscheiden en is “het aantal manieren om ze uit te schakelen” 1 (de ene komt de ene, de andere dan de andere).

Opmerkingen

• In de fotonen in een zakvoorbeeld die je geeft, lijkt de ‘ re twee fotonen te zijn. Hun identiteit (links / rechts) is verloren (de een, wie weet welke, is de eerste, de andere tweede). Er ‘ zijn er nog steeds twee, zelfs als je ‘ wat informatie hebt verloren. De gegevens die verloren gaan, zijn van de ” en bevinden zich in de linker- / rechter ” -eigenschap, die niet ta eigenschap van fotonen in het algemeen. U lijkt te zeggen dat alle eigendommen op een vergelijkbare manier overbodig zijn, maar ik kan ‘ er niet achter komen als u zegt dat dit een onoverkomelijk probleem is voor een ” universele definitie van ‘ aantal dingen ‘ “. Of zijn dingen hoe dan ook telbaar?
• Oh ja, er zijn altijd 2 fotonen in de buurt. Ik ‘ m heb het over de consequentie van identiteitsverlies op ons vermogen om te tellen, en dit is een gevolg van de aard van ‘ een ding ‘ als een foton. Het tegenovergestelde gedrag gebeurt voor fermionen, die altijd herkenbaar moeten zijn en dit voorkomt dat je er teveel op dezelfde plek propt (wat het Pauli-uitsluitingsprincipe is).Dingen tellen door (zoals in het voorbeeld) de manieren te tellen waarop u ze kunt herschikken, werkt niet ‘ t altijd. Ik weet niet ‘ of dit een onoverkomelijk probleem is, maar een universele definitie kan er zeker niet omheen.