Wat is een fasor precies?

Denk aan een combinatie van het complexe vlak en gewone vectoren.

Een phasor is een complex getal dat een sinusoïdale functie vertegenwoordigt waarvan de amplitude (A), hoekfrequentie (ω) en beginfase (θ) zijn tijdsinvariant.

Afbeelding en tekst van Phasors Wikipedia

Stel dat je een netwerk hebt dat is samengesteld uit meerdere sinusoïden (golven). Ze hebben allemaal dezelfde frequentie, maar met verschillende amplitudes en fasen. Het enige verschil in hun analytische representaties is de complexe amplitude (phasor). Een lineaire combinatie van dergelijke functies kan worden verwerkt in het product van een lineaire combinatie van fasoren (bekend als fasor-rekenkunde) en de tijd / frequentie-afhankelijke factor die ze allemaal gemeen hebben.

Wanneer de functie $ {\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}} $ wordt weergegeven in het complexe vlak, de vector die wordt gevormd door zijn denkbeeldige en reële delen roteert rond de oorsprong. De omvang is $ A $, en hij voltooit elke $ 2π / ω $ seconden een cyclus. $ θ $ is de hoek die het vormt met de reële as op $ t = n • 2π / ω $, voor gehele waarden van n.

Opmerkingen

• Ter verduidelijking: phasor is een complex getal en geen vector. Dus elke fysieke grootheid kan geen fasor zijn, maar kan worden weergegeven als een fasor. (Toch?)
• Wiskundig gezien kun je complexe getallen beschouwen als vectoren die voldoen aan de vectorwetten van optellen en aftrekken, rekening houdend met de reële en imaginaire delen . Met betrekking tot vermenigvuldiging met reële getallen en de wetten voor optellen / aftrekken van vectoren, vormen complexe getallen een vectorruimte die equivalent is aan de ruimte van vertaalvectoren in het echte 2D-vlak

Alle vectoren volgen de wetten voor vectoroptelling en vermenigvuldiging. Dus als je twee fasoren optelt, worden ze als vectoren opgeteld, maar als je ze vermenigvuldigt, worden ze vermenigvuldigd als eenvoudige getallen. Daarom zijn fasors als vectoren, maar niet als vectoren. Net als de gebiedsvectoren die worden vermenigvuldigd als vectoren maar als getallen worden opgeteld.

Fasoren zijn complexe grootheden die worden gebruikt om gedeeltelijk werkelijke hoeveelheden die sinusoïdaal variëren in tijd en misschien in ruimte. Alle fasoren zijn tijdonafhankelijk. Ze vertegenwoordigen gedeeltelijk de werkelijke hoeveelheid, en niet volledig, omdat ze geen informatie over de frequentie hebben.

Zeggen dat fasors als vectoren zijn, wil zeggen dat complexe getallen als vectoren zijn, wat niet klopt. . Allereerst zijn de overeenkomsten alleen voor tweedimensionale vectoren. Ja, optellen en aftrekken van twee 2D-vectoren is analoog aan optellen en aftrekken van twee complexe getallen; en vermenigvuldiging van een 2D-vector met een scalair is analoog aan vermenigvuldiging van een complex getal met een reëel getal.Maar de deling van twee vectoren is niet eens gedefinieerd, maar de deling van twee complexe getallen is wel gedefinieerd; je kunt ook t gewoon twee 2D-vectoren vermenigvuldigen, je moet specificeren of het een puntproduct of een kruisproduct is. kan “slechts” twee complexe getallen vermenigvuldigen.

Voor elektrische circuits is een phasorspanning $ \ tilde V $ een complexe constante en vertegenwoordigt de amplitude en fase van het signaal, maar niet de frequentie. Het signaal $ v (t) $ is een reële waarde van één reële variabele (één tijdelijk, $ t $ ), en het vertegenwoordigt de werkelijke momentane waarde van het signaal. De sinor $ v_c (t) $ is een complexe functie van één reële variabele (één tijdelijk, $ t $ ), en het vertegenwoordigt de complexe momentane waarde van het signaal. Enkele relaties:

$ v (t) = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} = \ Re [\ tilde V e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V = V_m e ^ { j \ phi} = V_m \ cos {(\ phi)} + j V_m \ sin {(\ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j (\ omega t + \ phi) } = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} + j V_m \ sin {(\ omega t + \ phi)} \ tag * {} $

Opmerking: $ v (t) = \ Re [\ tilde V] $ alleen wanneer $ \ omega t = \ ldots, -4 \ pi, -2 \ pi, 0, 2 \ pi, 4 \ pi, \ ldots $ ; met andere woorden, alleen wanneer $ \ omega t = 2 \ pi k $ , waarbij $ k $ is elk geheel getal.

Voor lange transmissielijnen (elektrische circuits met gedistribueerde in plaats van geconcentreerde parameters), een phasorspanning $ \ tilde V (x) $ is een functie met complexe waarden van één reële variabele (één ruimtelijk, $ x $ ). Het signaal $ v (x, t) $ is een reële functie van twee reële variabelen (één ruimtelijk, $ x $ ; en één tijdelijk, $ t $ ), en het vertegenwoordigt de werkelijke momentane waarde. De sinor $ v_c (x, t) $ is een functie met complexe waarden van twee reële variabelen (één ruimtelijk, $ x $ ; en één tijdelijk, $ t $ ), en het vertegenwoordigt de complexe momentane waarde. Enkele relaties:

$ v (x, t) = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} = \ Re [\ tilde V (x) e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (x, t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V (x) = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ beta x + \ phi)} = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (x, t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ omega t + \ beta x + \ phi)} = V_m e ^ { ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

Voor algemene elektromagnetische theorie zijn fasoren complex-gewaardeerde functies van drie reële variabelen (drie ruimtelijke, $ x $ , $ y $ , $ z $ ). Voor de instantane elektrische veldvector $ \ mathbf E (x, y, z, t) $ , is de phasor $ \ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) $ , en de relatie $ \ mathbf E (x, y, z, t) = \ Re [\ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) e ^ {j \ omega t}] $ is tevreden.