Wat is een padintegraal? [gesloten]

Wiskundig gezien is een padintegraal een generalisatie van een multidimensionale integraal. In gebruikelijke $ N $ -dimensionale integralen integreert men $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ over een deelruimte van $ {\ mathbb R} ^ N $, een $ N $ -dimensionale integraal. Een padintegraal is een oneindig dimensionale integraal $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ over alle mogelijke functies $ f (y) $ van een variabele $ y $, die een reëel getal of een vector kan zijn. De waarden van de functies $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ etc. spelen dezelfde rol als de variabelen $ x_1 $, $ x_2 $ etc. in de gebruikelijke multidimensionale integraal .

Omdat de index $ i $ van $ x_i $ waarden aannam in de eindige set $ 1,2, \ dots N $, en nu wordt vervangen door de continue variabele $ y $, is de padintegraal een oneindig-dimensionale integraal.

Rigoureuze wiskundigen zien veel problemen die iemand ervan weerhouden de oneindig-dimensionale padintegraal te definiëren met behulp van de maattheorie. Maar natuurkundigen weten dat soortgelijke integralen kunnen worden aangepakt. Er zijn enkele “ultraviolette divergenties” enz. Die men ervaart wanneer men ze probeert te berekenen, maar ze kunnen worden aangepakt. In wezen wil men alle natuurlijke regels gebruiken die van toepassing zijn op de eindig-dimensionale integralen. De (pad) integralen van een som van twee functies zijn bijvoorbeeld de som van twee (pad) integralen, enzovoort.

Twee belangrijkste toepassingen van padintegralen in de natuurkunde zijn in de benadering van Feynman tot kwantummechanica, in het bijzonder kwantumveldentheorie en statistische mechanica.

In (klassieke) statistische mechanica wil men de partitiesom berekenen $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ over alle configuraties $ c $ van het fysieke systeem. Maar omdat de configuraties vaak worden gelabeld door hele functies $ f (y) $ – oneindig veel waarden bij alle toegestane waarden van het argument $ y $ – is de som niet “t echt een” som”. Het is niet eens een eindig-dimensionale integraal. Het is een padintegraal.

In de kwantummechanica worden de complexe waarschijnlijkheidsamplitudes enz. Berekend als $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ dwz als de padintegraal over alle configuraties van de variabelen $ \ phi (y) $ etc. De integrand is een fase – een getal waarvan de absolute waarde één is – en de fasehoek hangt af van de klassieke actie geëvalueerd op basis van de mogelijke geschiedenis $ \ phi (y) $. De begin- en eindtoestanden $ i, f $ worden opgenomen door over die configuraties in de ‘tussentijden’ die voldoen aan de toepasselijke randvoorwaarden.

Bijna alle kwantumveldentheorie kan worden uitgedrukt als een berekening van enkele padintegralen. Dus in die zin: alles leren over een padintegraal staat gelijk aan het leren van bijna alle kwantummechanica en kwantumveldentheorie, waarvoor mogelijk tussen een semester en 10 jaar intensieve studie nodig is, afhankelijk van hoe diep je wilt komen. Het kan zeker “niet worden gedekt in een antwoord met een toegestane grootte op deze server.

De berekening van de padintegralen met de Gaussische, dwz $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, misschien met polynoom prefactoren in de integratievariabelen, is misschien wel het belangrijkste of eenvoudigste voorbeeld van een niet-triviale padintegraal die we eigenlijk nodig hebben in de natuurkunde.

In de kwantummechanica vertegenwoordigt de padintegraal de expliciete eindformule voor elke waarschijnlijkheidsamplitude. De amplitude voor elke overgang van de toestand $ | i \ rangle $ naar de toestand $ | f \ rangle $ kan direct worden uitgedrukt als een padintegraal, en de waarschijnlijkheid is de absolute waarde van de waarschijnlijkheidsamplitude in het kwadraat. Alles wat De kwantummechanica maakt het mogelijk om het totaal op deze waarschijnlijkheden te berekenen – dus de padintegraal vertegenwoordigt “alles” in de kwantummechanica. (Deze paragraaf was oorspronkelijk gepost als een commentaar van mij, en de gebruiker die deze bewerking voorstelde, had daar een goede reden voor.)

Reacties

• +1, maar ik zou ' de waarden van de functies niet zeggen, $ f (0), f (1) $, enzovoort spelen de rol van $ x_1, x_2 $ etc. Aangezien de functie volledige functies toewijst aan getallen, is het ' een volledige functie $ f $ die de rol van een waarde van $ x_1, x_2, $ etc. vervangt.
• Ik begrijp ' niet, @JamalS, wat een zeer diplomatieke manier om te zeggen dat ik denk dat je het niet ' begrijpt. 😉 Er is maar één volledige functie $ f $ maar er zijn veel variabelen $ x_1, x_2 $. De functie bevat zelfs meer (oneindig veel meer) informatie dan verschillende getallen $ x_1, \ dots, x_N $. Wat is in uw laatste zin de combinatie tussen $ x_1, x_2 $? Als het ' " of " is, dan is het ' is fout omdat men alle waarden van alle $ x_i $ moet specificeren om over de integrand te praten. Als het ' " en " is, dan is OK, maar dan probeer je gewoon om het feit te verdoezelen dat het pad in. een multidimensionaal pad is.
• Mijn bezwaar is alleen tegen de analogie die je noemt tussen het eindig dimensionale geval en de padintegraal. Zoals je het ' hebt geschreven, ' zeg je de waarden van de functie $ f $ op verschillende punten " spelen dezelfde rol als de variabelen $ x_1, x_2 $ etc. " Nu, daar ben ik het mee eens, ' s slechts één functie $ f $, en we tellen alle mogelijke functies op. Dus mijn punt is dat het ' de verschillende functies zijn die analoog zijn aan het optellen van verschillende waarden van een scalaire variabele, $ x $. Ik ' zie niet hoe je ' hebt kunnen extrapoleren. Ik denk dat alleen soepele functies bijdragen van mijn enkele opmerking …
• Ik schreef alleen dat $ \ int D \ phi (y) $ kan worden gedefinieerd als de continuümlimiet van de meerdimensionale integraal $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0.01) d \ phi (0.02) \ dots $ voor $ 0,01 $ verzonden naar nul. Ik geloof niet dat ' er iets controversieel aan kan zijn over deze bewering. Het ' is echt de essentie van het antwoord. Als je alleen zegt dat " het een integraal is over alle waarden van een functie overal ", ga je niet verder met een epsilon om te beantwoorden de vraag van het OP en uitleggen wat een " integraal over functies " eigenlijk is. Een integraal, in de pre-pad-integraal zin, is altijd eindig-dim.
• Beste @TAbraham, het vertegenwoordigt de expliciete eindformule voor elke waarschijnlijkheidsamplitude. De amplitude voor elke overgang van de staat " i " naar de staat " f " kan direct worden uitgedrukt als een padintegraal, en de waarschijnlijkheid is de absolute waarde van de waarschijnlijkheidsamplitude in het kwadraat. Alles wat met de kwantummechanica kan worden berekend, komt neer op deze kansen – dus de padintegraal vertegenwoordigt " alles " in de kwantummechanica.