Ik studeer zelf elektrodynamica en wil weten wat wordt bedoeld met een potentieel . Ik begrijp het concept van potentiële energie , maar wat wordt bedoeld met een potentieel? Is het hetzelfde als een veld, zoals zwaartekracht of elektromagnetisch?
Answer
Elektrisch potentieel en elektrische potentiële energie zijn twee verschillende concepten, maar ze zijn nauw met elkaar verbonden. Overweeg een elektrische lading $ q_1 $ op een bepaald punt $ P $ bijna $ q_2 $ (neem aan dat de ladingen tegengestelde tekens hebben).
Als we charge $ q_1 $ vrijgeven voor $ P $, begint het te bewegen naar laad $ q_2 $ op en heeft dus kinetische energie. Energie kan niet door magie verschijnen (er is geen gratis lunch), dus waar komt het vandaan? Het komt van de elektrische potentiële energie $ U $ die geassocieerd wordt met de aantrekkelijke “conservatieve” elektrische kracht tussen de twee kanalen. Om rekening te houden met de potentiële energie $ U $, definiëren we een elektrisch potentieel $ V_2 $ dat is ingesteld op punt $ P $ door kosten $ q_2 $.
Het elektrische potentieel bestaat ongeacht of $ q_1 $ op punt $ P $ staat. Als we ervoor kiezen om daar $ q_1 $ aan te rekenen, is de potentiële energie van de twee ladingen het gevolg van $ q_1 $ en dat reeds bestaande elektrische potentieel $ V_2 $, zodat:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Je kunt hetzelfde argument gebruiken als je chage $ q_2 $ beschouwt, in dat geval is de potentiële energie hetzelfde en wordt gegeven door: $$ U = q_2V_1 $$
Answer
In de taal van vectorcalculus:
Het woord potentieel wordt over het algemeen gebruikt om een functie aan te duiden die, wanneer op een speciale manier gedifferentieerd, een vectorveld oplevert. Deze vectorvelden die voortkomen uit potentialen worden conservatief genoemd. Gegeven een vectorveld $ \ vec F $, zijn de volgende voorwaarden equivalent:
- $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
- $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
- $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ voor elke gesloten lus $ C $ (vandaar de naam “conservatief”)
De functie $ \ phi $ die in $ (2) $ verschijnt, wordt het potentieel van $ \ vec F. $ genoemd. Dus elk irrotationeel vectorveld kan worden geschreven als het verloop van een potentiële functie.
Specifiek voor elektromagnetisme zegt de wet van Faraday ons dat $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partiële \ vec B} {\ partiële t} $. Voor magnetische velden die dat niet doen variëren met de tijd (elektrostatica) krijgen we dat $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ en dus $ \ vec E = – \ nabla V $ waar $ V $ het potentieel is van $ \ vec E $. Dit is precies wat we noemen het elektrisch potentieel of “spanning” als je een niet-fysicus bent. In het elektrodynamische geval waarin $ \ frac {\ partiële \ vec B} {\ partiële t} \ neq 0 $ nog steeds een idee van elektrisch potentieel bestaat, omdat we het elektrische veld kunnen opdelen in de som van een rotatieveld en een solenoïdaal veld (dit wordt de Helmholtz-stelling genoemd). We kunnen dan de vergelijkingen van Maxwell gebruiken om $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partiële \ vec A} {\ partiële t} $ te krijgen, waarbij $ V $ hetzelfde elektrische potentieel is en $ \ vec A $ is een vectorveld dat we het vectorpotentiaal noemen.
Het geval van zwaartekracht is analoog. Als $ \ vec g $ een niet-roterend zwaartekrachtveld is (wat altijd het geval is in Newtoniaanse zwaartekracht) dan $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ waarbij $ \ phi $ het zwaartekrachtpotentieel is. Dit is nauw verwant aan potentiële zwaartekrachtenergie doordat een massa $ m $ in het zwaartekrachtveld $ \ vec g $ heeft potentiële energie $ U = m \ phi $.
Reacties
- +1 voor het gedetailleerde antwoord. Echter, voorwaarden 1. en 3 . zijn in het algemeen niet equivalent. Het is mogelijk om een vectorveld zo te hebben dat $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ en $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Zie voor instantie Waarom is dit vectorveld krulvrij? .
- @Diracology Goed punt. We moeten eisen dat $ \ vec F $ n iet divergeren in een gebied dat wordt begrensd door $ C $. In het algemeen, aangenomen dat 1. waar is, hebben we dat $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ waarbij $ S $ een oppervlak is met grens $ C $ en de eerste gelijkheid is door Stoke ' s stelling. Het is duidelijk dat als $ \ vec F $ afwijkt in $ S $, we enkele problemen zullen tegenkomen met deze gelijkheden.