Ik probeer de tweede wet van Kepler te gebruiken om de duur van de baan van Venus te vinden. Ik ga uit van cirkelvormige banen (met de aarde en Venus, dus lage excentriciteit). Hier is mijn proces:
Ervan uitgaande dat de straal van de baan van de aarde 150 miljoen km is, dan is het geveegde gebied in één dag $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ approx 194 \ text {miljoen km} ^ 2 $ .
Venus moet hetzelfde gebied in dezelfde tijd vegen. Ervan uitgaande dat een orbitaal straal van 108 miljoen km voor Venus, en met $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ kunnen we de centrale hoek vinden voor de geveegde sector, dat wil zeggen de hoek afgelegd in een dag van de aarde:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ impliceert \ theta = 1.90 ^ {\ circ} $ per aardedag.
Daarom moet de omlooptijd $ \ frac {360} {1.90 } \ ongeveer 189 $ aardse dagen.
Natuurlijk is de omlooptijd van Venus $ 224,7 $ aardse dagen. Het verschil tussen 189 en 224.7 lijken veel verder te gaan dan de fout die is geïntroduceerd door mijn aanname van cirkelvormige banen.
Wat doe ik verkeerd?
Ik weet dat dit misschien een omslachtige manier is om deze berekening uit te voeren. Mijn doel is om een wiskundeoefening te schrijven die het gebied van sectoren op een zinvolle manier gebruikt.
Opmerkingen
Antwoord
Keplers wetten stellen dat een planeet gelijke gebieden in gelijke tijden veegt als het beweegt in zijn elliptische baan. Het zegt niet dat verschillende planeten hetzelfde gebied zullen vegen.
De gelijke gebieden-wet kan worden afgeleid uit de “behoud van impulsmoment”. In feite is dA / dt = L / (2m) (waarbij A het gebied is, L het impulsmoment en m de (gereduceerde) massa is).
Verschillende planeten zullen verschillende gebieden overspoelen. Om de periode te berekenen, gebruikte u de derde wet van Kepler: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = omlooptijd, a = semi-hoofdas). Als , neem je gemakshalve a in AU en T in aardse jaren, dan is de constante $ k = 1 $ .
Voor Venus geldt a = 0,72 . dus $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ of ongeveer 223 dagen.
Hyperphysics heeft een sectie over Keplers wetten
+1voor het tonen van al het werk en het stellen van een zeer duidelijke vraag!