Als 1 + 1! = 2, dan 1 – 1! = 0, wat betekent dat de lading op de protonen in een kern niet langer de lading op de elektronen. Alle atomen krijgen dus een netto elektrische lading en alle macroscopische lichamen worden naar (van) elkaar aangetrokken (of afgestoten) met een ongelooflijke kracht – 36 ordes van grootte sterker dan de zwaartekracht. Dit zou het hele universum in een vrij korte volgorde tot een subatomaire pulp stampen …

Opmerkingen

• Zeker, maar dan zou het ook niet dat doen.
• Totale protonische omkering? Het oversteken van de streams is slecht, Ray.
• Dit is eigenlijk het enige antwoord dat ik ' heb gelezen dat een theorie presenteert over de " wat zou er gebeuren " deel van de vraag. Bravo, Oscar.
• " Als 1 + 1! = 2, dan 1 – 1! = 0 " Ik begrijp het niet '. Hoe wordt die conclusie getrokken?
• @CPHPython Dat kan gebeuren als 1 + 1 = 2 false is ( en als elektrische lading voldoet aan de regels van + ). Maar als het ' s weerlegd is, betekent dat gewoon dat de manier waarop we bewijzen maken, is verbroken.

Wat er zou gebeuren is conceptueel heel eenvoudig. Het artikel dat “¬1 + 1 = 2” bewijst, krijgt een nieuwe titel “ Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent ” en gepubliceerd.

Van daar wordt het moeilijker. Afhankelijk van hoe het bewijs werkt, zouden we moeten eindigen met een nieuwe, zwakkere set-stelling waardoor de consistentie wordt hersteld. Of iets ergers; de Peano Axiomas zou ongeldig kunnen zijn met de consequentie van, nou, ik weet het eerlijk gezegd niet. Een operatie die we gewend zijn, verdwijnt, maar het heeft gewonnen Het is geen toevoeging. Integer-optelling kan niet worden weerlegd in het eindige rijk (bedankt wetenschap!), dus wordt iets anders op het pad naar het tegenbewijs weggegooid. Misschien is de omgang met oneindigheid verkeerd in alle wiskunde. Misschien iets anders. Het spijt me als dit als speculatie klinkt. De speculatie zit in feite in de vraag. Het hangt er een beetje van af hoe groot een gat je wilt slaan.

Praktisch weten we al wat er gebeurt . 1 + 1 = 2 geldt nog steeds voor elk redelijk domein en elk redelijk gebruik, dus we zullen het blijven gebruiken. Na een tijdje zal de storingsmodus worden begrepen en zorgvuldig (of niet zo zorgvuldig) worden uitgesloten, zoals we in Computerwetenschappen doen voor nu overlopen.

Reacties

• " Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent " – of een nog betere titel, als het bewijs niet ' alle ZF-axiomas vereist.
• Pudlak theoretiseert dat als een tegenstrijdigheid werd gevonden in de Peano Axiomas, begonnen we het inductie-axioma te beperken tot " kleine " formules, voor een definitie van klein. Dit zou waarschijnlijk de consistentie herstellen.
• En dit soort dingen gebeurt al eenmaal bewerkt met Russel ' s Paradox. (Behalve dat ik niet ' weet dat de verzamelingenleer van Cantor ' in die tijd algemeen werd beschouwd als een goede basis voor alle wiskunde, zoals ZF [C] is nu.)

1 + 1 = 2 is een noodzakelijke waarheid — grofweg een bewering die in elke mogelijke wereld waar is. Uw vraag is dus om echte contrafeitelijke voorwaarden met onmogelijke antecedenten. Deze worden soms counterpossibles genoemd (bijv. Sectie 5.1 hier ).

De traditionele opvatting was dat al deze tegenmaatregelen zijn triviaal waar. Volgens deze opvatting zou “als één plus één geen twee zijn, dan q ” waar zijn voor willekeurige q . Meer recentelijk hebben verschillende filosofen betoogd dat het begrijpen van wetenschap en het alledaagse redeneren een semantiek voor tegenposities vereist die niet triviaal hun waarheid inhoudt. Zie verwijzingen naar dit debat in het laatste SEP-artikel waarnaar hierboven wordt verwezen.

Wees in ieder geval gerust, één plus één is noodzakelijkerwijs twee.

Reacties

• " in elke mogelijke wereld ". Dit is discutabel. Er kan een wereld zijn die we ' niet kunnen begrijpen en zelfs niet kunnen voorstellen, aangezien de ' s logische wetten (en rekenkundig als ze daar zelfs bestaan) zijn totaal verschillend.
• @ rus9384 de consensus onder theoretici die aan dit onderwerp werken, is dat logische waarheden noodzakelijk zijn. Aangenomen dat het OP niet geïnteresseerd is in het betwisten van de waarheid van de Peano-axiomas, dan is 1 + 1 = 2, dat uit deze axiomas volgt, noodzakelijk. In de mogelijk-wereld-construatie van noodzakelijkheid, betekent noodzakelijk zijn gewoon waar zijn in elke mogelijke wereld. Omdat we, zoals u zegt, soms moeten redeneren over onmogelijke standen van zaken, werken sommige theorieën precies voor dit doel met het idee van onmogelijke wereld .
• Dus die wereld is onmogelijk, omdat we ' er niet aan kunnen denken? Blinde mensen kunnen ' niet zien, maar dat ' is niet het probleem. Er zijn kleuren die andere dieren waarnemen die we ' niet waarnemen (tenzij de technologie veel genoeg vooruitgaat). Het is alleen zo dat ons gevoel voor logica de waarneming van andere logische systemen niet toelaat. En we kunnen ' er niet zeker van zijn dat de axiomas van Peano echt werken in onze wereld. Zelfs 1 + 1 = 2 kan op kwantumniveau worden betwist.
• Nou, laat ' s dit zeggen: mogelijkheid is een nuttig begrip, in die zin dat niet elke put -gevormde zin in de indicatieve geeft een mogelijke stand van zaken weer. Neem een zin die een van die onmogelijke dingen uitdrukt. Hoe moeten we erover redeneren? Sommigen zeggen: door extra werelden te postuleren waarin per onmogelijke zulke dingen waar zijn.
• @ rus9384 Ik denk niet ' t 1+ 1 = 2 kan op elk niveau worden betwist. Wat je zou kunnen betwisten, is dat de Peano-axiomas de wereld goed modelleren op kwantumniveau. Dat maakt echter niet ' t 1 + 1 = 2 niet waar gezien de Peano-axiomas.

Het bewijs moet in een of ander formeel systeem zijn uitgevoerd, anders is het niet zozeer een bewijs als wel een overtuigend argument. We hebben dus een bewijs in een bepaald systeem van de bewering 1 + 1! = 2.

Filosofen op het gebied van logica, en wiskundigen, zouden de details van dit bewijs nauwkeurig bekijken. Aangezien alle formele systemen waarin iemand geïnteresseerd is, het tegendeel van deze bewering bewijzen, Bewijs ook dat deze verklaring aantoont dat welk systeem dan ook dat werd gebruikt, inconsistent is. Zodat dat systeem niet langer voor serieus werk kan worden gebruikt. Logici zouden daarom iets extreem belangrijk hebben geleerd over dat specifieke logische systeem, en ze zou willen weten welke andere systemen dezelfde techniek inconsequent zal blijken te zijn.

Het universum kan niet in chaos worden gegooid tenzij men gelooft in een soort van (durf ik een y it: magisch?) effect waardoor de beweging van sterren in het Andromeda-sterrenstelsel significant wordt beïnvloed door de markeringen die je op een stuk papier op aarde maakt. Een solipsist zou, veronderstel ik, kunnen geloven dat het universum uitsluitend wordt ondersteund door zijn persoonlijk geloof in logische consistentie, en dat het universum daarom fundamenteel zou worden veranderd door het lezen van dit bewijs. De meeste mensen hebben genoeg vertrouwen in het bestaan van een externe realiteit, niet om te geloven dat het universum enig belang heeft in wat bewijzen die mensen wel of niet produceren.

Ik verwacht dat filosofen niet geïnteresseerd zijn in logica en formeel bewijs systemen negeren meestal het resultaat, tenminste totdat de logici hun precies uitlegden onder welke omstandigheden zij (de niet-logici) feitelijk hetzelfde gebrekkige systeem gebruiken dat bewijst dat 1 + 1! = 2, en daarom welke redenering ze nodig hebben om te stoppen met gebruiken.

Natuurlijk hangt het ook tot op zekere hoogte af van wat je bedoelt door dat 1 + 1 = 2 te weerleggen. Men zou zich eerder een “fysiek bewijs” kunnen voorstellen dan een formeel logisch bewijs. Als je bedoelt dat iemand heeft bewezen dat hij een sinaasappel in een lege kom kan doen, en dan een andere sinaasappel in dezelfde kom, en dat er geen andere sinaasappels zijn toegevoegd of verwijderd, en dat de kom nu een aantal andere sinaasappels bevat dan 2, zou je kunnen zeggen dat ze “1 + 1! = 2 hebben bewezen. Maar iedereen verwacht dat er in feite een soort voorheen onbekend fysiek proces met sinaasappels bij betrokken is. Dus hoewel je “iets hebt ontdekt dat onze opvattingen over de aard van de werkelijkheid echt verandert, is dat niet omdat de” meest fundamentele vergelijking “ logisch verkeerd is, maar omdat sinaasappels (of fysieke objecten in het algemeen) gehoorzamen blijkbaar niet meer aan rekenkunde, en daarom is de vergelijking niet langer op hen van toepassing. Dit zou natuurlijk buitengewoon verontrustend zijn, omdat mensen er voortdurend op vertrouwen dat ze dingen kunnen tellen, en dus zou de menselijke samenleving in chaos kunnen worden gestort.

Misschien relevant voor de discussie is Inconsistente wiskunde :

het is de studie van alledaagse wiskundige objecten, zoals verzamelingen, getallen en functies, waarbij sommige [ nadruk toegevoegd ] tegenstrijdigheden zijn toegestaan.

En zie de discussie over Rekenkunde :

Een inconsistente rekenkunde kan worden beschouwd als een alternatief of een variant op de standaardtheorie, zoals een niet-euclidische meetkunde.

De standaardaxiomas van de rekenkunde zijn Peanos, en hun consequenties – de standaardtheorie van de rekenkunde – wordt PA . Het standaardmodel voor rekenen is N = {0, 1, 2, …} , zero en zijn opvolgers.

De consistente niet-standaard modellen zijn allemaal ex spanningen van het standaardmodel, modellen met extra objecten. Inconsistente rekenkundige modellen zijn het natuurlijke duale, waarbij het standaardmodel zelf een uitbreiding is van een meer basale structuur, die ook alle juiste zinnen waar maakt.

Inconsistente rekenkunde werd voor het eerst onderzocht door Robert Meyer in de jaren 70 Daar nam hij de paraconsistente logica R en voegde er axiomas aan toe die de opvolger, optelling, vermenigvuldiging en inductie regelen, waardoor het systeem R # werd gegeven.

In 1975 bewees Meyer dat zijn rekenkunde niet triviaal is, omdat R # modellen heeft. Het meest opvallende is dat R # eindige modellen heeft met een domein met twee elementen {0, 1} , met de opvolgerfunctie beweegt in een zeer nauwe cirkel over de elementen.

Dergelijke modellen maken alle stellingen van R # waar, maar behouden vergelijkingen zoals 0 = 1 gewoon onwaar.

Dus wat? Misschien kunnen we overleven tot een (beperkte?) hoeveelheid inconsistentie .

Maar overweeg dit idee h-experiment, gebaseerd op een intuïtief voorbeeld afgeleid van Graham Priest analyse van de algemene structuur van modellen van inconsistente rekenkunde:

stel je het standaard rekenmodel voor, tot een inconsistent element

n = n + 1 .

Deze n is vermoedelijk een zeer , zeer groot aantal [ nadruk toegevoegd ], " zonder fysieke realiteit of psychologische betekenis. " Afhankelijk van uw smaak is dit het grootste eindige aantal of het minst inconsistente aantal. We stellen ons verder voor dat we voor j, k > n j = k .

Indien in het klassieke model j ≠ k , dan is dit ook waar; daarom hebben we een inconsistentie, j = k en j ≠ k . Alle feiten die waar zijn voor getallen groter dan n zijn waar voor n ook, want na n zijn alle nummers identiek aan n .

Er gaan geen feiten uit het consistente model verloren.

Maar bedenk nu het geval dat n heel erg groot is, maar niet " zonder psychologische betekenis " en stel je voor dat je bankrekening bijdraagt aan een bedrag van n USD (of GBP of wat dan ook).

Vanaf dat moment groeit de bankrekening niet meer, zonder enige " verstoring " in de gebruikelijke rekenkundige wetten.

Mogen we het beschouwen als een geval van " het universum wordt in chaos gegooid " ?

Gödels stelling zegt grofweg dat elk voldoende bruikbaar wiskundig systeem ofwel onvolledig of tegenstrijdig is, dat wil zeggen dat er beweringen zijn die niet bewezen of weerlegd kunnen worden, ofwel dat er beweringen zijn die zowel waar als onwaar kunnen worden bewezen.

Er zijn veel uitspraken die we “niet waar of onwaar hebben kunnen bewijzen (maar dat kan zijn omdat we niet slim genoeg waren), en er is geen tegenstrijdigheid bewezen (maar dat kan ook zijn omdat we waren niet slim genoeg), dus het is niet ondenkbaar dat “1 + 1 ≠ 2” bewezen zou kunnen worden. 1 + 1 = 2 zou dan gelijktijdig waar en onwaar zijn.

Wat zou er gebeuren?Er zou veel gescheld worden onder wiskundigen. Er zouden veel discussies gaande zijn over hoe we dit feit kunnen negeren en nuttige wiskunde kunnen overhouden. Het universum zou niet veranderen.

Gezien de vraag: “1 + 1 = 2” kan en zal nooit worden weerlegd (wat betekent dat het bewijs, dat niet veel meer is dan een simpele toepassing van axiomas, Wat op afstand mogelijk is, is dat er naast het bewijs dat het waar is, ook een bewijs kan zijn dat het niet waar is.

Wiskunde en / of wetenschap zouden verbeteren.

Wiskundigen zoeken en gebruiken patronen om nieuwe vermoedens te formuleren; ze lossen de waarheid of onwaarheid van vermoedens op met wiskundig bewijs ( van wikipedia ). We zouden kunnen beweren dat 1 + 1 = 2 afkomstig is van de definitie en niet van het bewijs dat de vraag onduidelijk of slecht gevormd maakt. Maar uw vraag is nog steeds geldig in bredere zin. Een wiskundig bewijs kan onjuist zijn. Het is al gebeurd. Deze mathoverflow-vraag staat vol met historische bewijzen en conjetures die niet correct zijn. Als een dergelijke fout wordt ontdekt, nee ding dat het universum vernietigt, gebeurt. We houden gewoon op met ongelijk te hebben en krijgen gelijk, we hebben onze kennis van wiskunde verbeterd.

Laten we dus zeggen dat we werken met axiomas die niet 1 + 1 = 2 bevatten. En dat we door wiskundig redeneren tot 1 + 1 = 2 komen en daar een wiskundig bewijs voor vestigen. En laten we zeggen, ter wille van de discussie, we later ontdekken dat dergelijk bewijs onjuist is, eigenlijk 1 + 1 = 3. Nee, dat zou het universum niet in chaos brengen. Het universum was wat het was voordat de mens het concept van 1 + 1 = 2 (of dat neem ik aan, ik was er niet echt om het te observeren, maar we hebben veel goede bewijzen die ons helpen te weten hoe het was). En elke keer dat een wiskundig bewijs onjuist is gebleken, heeft het universum niet in chaos gegooid. Wat veranderde was ons begrip van wiskunde. Het is redelijk om aan te nemen dat het hetzelfde zou zijn voor 1 + 1 = 3.

Er is één ding dat in chaos terecht zou komen. Wiskundigen . Nu we weten dat 1 + 1 = 2 onwaar is, is elk bewijs dat ervan afhangt gebrekkig. Gebrekkig, niet helemaal verkeerd. De verklaringen die worden gevalideerd door bewijzen die afhangen van 1 + 1 = 2 kunnen nog steeds waar zijn, maar de oude bewijzen zou niet dienen om die waarheid te bevestigen. Veel materiaal zou moeten worden herzien en herschreven, er zou veel discussie volgen. Maar we zouden er wijzer uit komen bij chaos.

Hoe zit het met wetenschappelijke theorieën die afhankelijk zijn van 1 + 1 = 2 ?. Zoals wat wordt beschreven in een ander antwoord op deze vraag. Nee, dit zou niet het hele universum in een vrij korte tijd tot een subatomaire pulp stampen. Het universum was wat het was voordat we 1 + 1 = 3 ontdekten en dat zou ook zo blijven (ik neem aan aangezien dat is gebeurd voor andere weerlegde bewijzen). Omdat we zouden hebben ontdekt dat de oude wetenschappelijke theorieën het universum niet goed verklaren, zouden er betere modellen worden ontwikkeld.

Als zulke elementaire dingen worden in twijfel getrokken, dus a fortiori zijn het veel minder elementaire dingen, zoals de redeneringsstappen die nodig zijn om te bewijzen dat één en één niet bij twee optellen. Het zou dus redelijk zijn om aan een dergelijk bewijs te twijfelen. In feite zou ik het bewijs negeren – samen met de tientallen andere ongelooflijke beweringen die ik elke dag tegenkom – zoals (ik vermoed) dat de meeste andere mensen zouden doen.

Als resultaat zou ik verwachten dat het bewijs hebben evenveel effect op de wereld als een nieuwe demonstratie van Euclidische hoekdriehoek (zoals al vele malen eerder is ingediend). Dat wil zeggen, het zou tijdelijk de relatief weinige mensen bezetten die ervoor kozen om ernaar te kijken.

Kort antwoord: Ja. Als je zou kunnen bewijzen dat zon elementaire en schijnbaar voor de hand liggende bewering onjuist is, dan zou dat een groot deel van wat we denken te weten over wiskunde in twijfel trekken, en waarschijnlijk nog veel andere dingen over het universum.

En wat dan nog? Tenzij u enig bewijs heeft dat deze bewering onjuist is, is het “een zinloze hypothetische. Ik heb inderdaad veel gesprekken gehad waarin iemand mij een hypothetisch over een complex onderwerp voorlegde, zoals:” Wat als bewezen werd dat dit politieke beleid die u steunt, werkt niet “werkt niet?”, of “Wat als God u beveelt iets slechts te doen?”, enz. En mijn reactie is over het algemeen: “Ik denk niet dat die hypothetische situatie die u beschrijft waarschijnlijk zal gebeuren. Wat als iemand zou bewijzen dat 1 + 1 = 2 onwaar is? “

In strikt wiskundige zin zie ik niet hoe je 1 + 1 = 2 onwaar zou kunnen bewijzen, omdat het per definitie waar is. definitie van “2” is “1 + 1”. Dat is tenminste wat ik heb geleerd tijdens de getaltheorie. Gezien de complexiteit van de moderne wiskunde zijn er waarschijnlijk andere definities in andere branches. Maar je kunt niet bewijzen dat een definitie onjuist is. Het is waar per … definitie.

Er zou niets gebeuren met de realiteit – het zou blijven zoals het is. We zouden dan echter een verandering in onze teltheorie nodig hebben, die zou weerklinken in andere wiskundige theorieën die op tellen zijn gebaseerd. Aangezien deze rekenkundige vergelijking in feite een definitie van twee is (zie bijv. Het bouwen van rekenen in wiskundige axioma-systemen), zou een bewijs dat deze vergelijking onjuist is, betekenen dat we niet geldig één en één ( of beter gezegd, elk axioma-systeem dat ons in staat stelt om er een toe te voegen, is logisch inconsistent). Dat vereist dat we alternatieve wiskundige axiomasystemen formuleren die de inconsistentie vermijden. De realiteit zou net zo normaal blijven kletsen terwijl we dat probeerden uit te zoeken.

Je kunt een axioma niet weerleggen , en Peano “s axiomas stellen dat 1 + 1 = 2.

Contextomschakeling, in booleaanse logica betekent + iets anders en 1 + 1 = 1.

Reacties

• Ik ' ben er vrij zeker van dat ' s circulaire logica. je zei in wezen dat het ' een axioma is omdat het ' in een lijst met axiomas voorkomt.
• @ Ruadhan2300 De Peano-axiomas zijn de gebruikelijke axiomas van de logica. Je zou het als dogmatisch kunnen beschouwen, maar het is net zo triviaal als " Elk nummer heeft een opvolger. "
• Niet ontkennen dat de Peano-axiomas beslist een zeer geloofwaardige bron zijn, maar " het ' is waar omdat het ' s true " is nog steeds een raar argument om te maken.