Zijn cijfers echt?

Beschouw de volgende analogie. Wat is een kip? Zijn kippen echt?

Er was een tijd (in ieder geval op de meeste plaatsen in Europa) dat dit een nog dommer vraag zou hebben geleken dan nu het geval is. Iedereen wist precies wat een kip was. Zelfs een rijke edelman hoefde maar een kwartier te lopen en naar een voorbeeld van een kip te wijzen. Het was een levendig en opmerkelijk onderdeel van ieders dagelijkse ervaring. Zo ook onze ervaring met cijfers. Dat (wijs op een doos met zes eieren) is zes. Dat (wijs een appel aan en een andere appel die in tweeën is gesneden en een van de helften is verwijderd) is drie helften. Enzovoort.

Het feit dat je niet alleen naar een verzameling van iets en zeg “ er is min-drie “, “ er is vierkantswortel-van-vijf “, of “ er is zes plus drie -i “zijn de reden waarom sommige mensen die gefrustreerd zijn door die ideeën het gerechtvaardigd vinden om te zeggen dat het” geen werkelijke cijfers zijn. Het is in feite een terechte kritiek, en wijst erop dat we nooit gaan zitten en praat over wat cijfers eigenlijk moeten zijn. Tegenwoordig kan iemand natuurlijk ook zijn hele leven geen kip zien, en ze accepteren dat er een dier is dat vaag betrokken is bij het maken van de eieren die ze soms als ontbijt eten. Zeker, voor degenen onder ons die niet zijn opgegroeid op of nabij een boerderij of een dierentuin met kippen, aanvaarden we het bestaan van kippen gedurende enkele jaren als een geloofsartikel. Evenzo nemen we het idee dat er “nummers” zijn die niet overeenkomen met verzamelingen dingen als een ontvangen idee.

Dus als nummers niet overeen hoeven te komen met van dingen, wat zijn dat? Welnu, in het geval van (positieve) irrationele getallen, kunnen ze overeenkomen met lengtes van regels of van gebieden — tot continue hoeveelheden van iets, wat een mooie generalisatie van collectie-maten. En negatieve getallen kunnen overeenkomen met tekorten of verschillen van dergelijke bedragen. En complexe getallen, eh … nou, ze “zijn … nuttig voor de kwantummechanica en elektrotechniek …en, eh, quaternionen ook … We ontdekken dat we de definitie van getal uitrekken van “ hoeveelheid ” naar “ nuttig zijn voor “, waarvan ik denk dat het een belangrijk om op te merken.

Er is geen voor de hand liggende plaats waar we gewoon moeten stoppen. Het feit dat de complexe getallen niet eens meer geordend kunnen worden (laat staan de quaternionen, waarvoor vermenigvuldiging pendelt niet eens ) suggereert dat alleen omdat iets x ² + 1 = 0 oplost, niet betekent dat het een getal is (dat complexe getallen zijn in het algemeen “t ” getallen “). Maar we kunnen wel zeggen dat alleen omdat iets een bovengrens is voor een begrensde reeks getallen, het geen getal is (reële getallen zijn alle “getallen”, en de vierkantswortel van twee of vijf in het bijzonder); of dat alleen omdat iets het verschil is van twee getallen, dat het geen “ta getal ( negatieve getallen zijn niet “alle” getallen “); of dat alleen omdat iets een verhouding is van twee getallen, maak er geen getal van ( positieve rationele getallen zijn “niet allemaal” getallen “). Maar dat sluit alles uit behalve de niet-negatieve gehele getallen; en mensen hebben historisch zelfs naar nul gekeken. Je zou zelfs kunnen zeggen dat één geen getal is, als je zou stellen dat je met een getal een meervoud bedoelt.

Het is dus vrij belangrijk om ons af te vragen: wat is een getal?

Wat is een kip? Het is een klein vogeltje dat niet zo goed vliegt. Maar we willen kiwis of papegaaiduikers niet als “kippen” opnemen, dus misschien moeten we specificeren dat ze korte snavels hebben en niet goed zwemmen. Maar hoe zit het met fazanten? Zelfs als we doorgaan met het met succes isoleren van kippen van alle andere levende vogels door middel van definities, hoe zit het dan met de voorouders van kippen die zijn geëvolueerd tot het moderne boerderijdier? Op een gegeven moment waren er “t kippen, en toen waren er waren . Wanneer veranderden de dingen?

Het probleem met kippen, en ook met cijfers, is dat we uiteindelijk alleen definities hebben voor deze woorden volgens afspraak, die zijn gebaseerd op voorbeelden . We accepteren moderne kippen als “kippen” en accepteren geen kiwis als “kippen”. Evenzo willen we zes en waarschijnlijk drie helften en misschien min-twee en vierkantswortel-van-vijf opnemen als getallen, maar we willen de functie f niet opnemen :   ℤ → ℤ gegeven door f (x) = 3 x +2 als een getal. Het is niet wat we willen denken als een getal, omdat het “niet gebruikt kan worden op de manier waarop we getallen willen gebruiken . Getallen zijn hulpmiddelen om de wereld te begrijpen .

Welke vogels accepteren we als kippen? Dieren die zich op een bepaalde manier gedragen, en in het bijzonder die we op een bepaalde manier kunnen begrijpen. Hun eieren smaken op een bepaalde manier, hun vlees smaakt op een bepaalde manier, en ze gedragen zich op een bepaalde manier. We geven om hoe ze zich gedragen en hoe ze smaken, omdat we in ze geïnteresseerd zijn als kenmerken van de omgeving waarmee we zullen omgaan (misschien om ze op te eten). Het concept van een kip is iets waar we in hebben geventileerd om sommige dieren van andere te onderscheiden. Als het ons niets zou kunnen schelen tussen een kip en een fazant, dan zouden we geen aparte ideeën hebben voor kippen en fazanten. (Alleen omdat we verschillende woorden hebben voor dingen, maakt ze niet anders, maar het betekent wel dat het ons wel uitmaakt welke verschillen we denken dat ze hebben.) Het concept van kip is een hulpmiddel dat we gebruiken om enkele van de dieren waarvan we weten te begrijpen.

Evenzo is het concept getal een hulpmiddel dat we gebruiken om de relaties tussen objecten te begrijpen. Maar het gaat verder dan alleen het concept getal “zelf: elk nummer is een concept dat we gebruiken om onderscheid te maken van andere nummers. We denken zelden dat er slechts een nummer is van iets, om aan te geven dat er meer dan nul of een of twee; we geven om welk nummer. Het verschil tussen zes eieren en zeven eieren is belangrijk voor ons.

Maar er is nog een verschil met kippen: we zien misschien kleine kippen of grote kippen (een enkele soort kip met verschillende eigenschappen), maar we zien nooit ei-zessen of appelzessen (een enkele dus aantal met verschillende attributen). We zien wel zes eieren of zes appels. In dit geval speelt het nummer niet de rol van een zelfstandig naamwoord, maar een bijvoeglijk naamwoord . Dus al dit gepraat over “kippen”, die objecten zijn, was misleidend. Wat we hadden moeten denken is zoiets als: “Is rood echt”? “Is groot echt”?

Nou, kleuren zijn echt en maten zijn echt, maar wat maakt een kleur “rood”? We kunnen een willekeurige definitie bedenken op basis van lichtfrequenties, maar dan maken we de definitie van kleur afhankelijk van getallen, wat geen manier is om het probleem van het begrijpen van getallen op te lossen. Uiteindelijk hebben we weer op conventies gebaseerd op voorbeelden.Maar de dingen die we nummers noemen, moeten toch bestaan ? Dat er echt is een nummer drie? We zien het natuurlijk de hele tijd. Evenzo moet er bestaan een kleur rood bestaan, moet daar niet zijn?

De kleur rood hangt af van ons sensorische apparaat en de manier waarop onze hersenen de signalen verwerken die door onze ogen. De kleur rood is een opkomende ervaring, die het resultaat is van hoe onze hersenen en sensorische organen zijn gestructureerd. De notie van de kleur rood is een nuttige manier om onze wereld te begrijpen, gebaseerd op hoe we die ervaren. Er is geen redelijke manier om onze wereld te begrijpen. ontkennen dat er dingen zijn die rood licht laten schijnen ( licht dat we als rood zien ); dingen die rood licht reflecteren ( die bij voorkeur licht reflecteren dat we als rood zien ); en dat rode licht valt ruwweg binnen enkele lichtfrequenties ( we hebben een heel theoretisch apparaat geconstrueerd voor het beschrijven van elektromagnetisme dat bruikbaar genoeg is om radiotorens, bliksemafleiders, röntgenapparatuur, NMR-machines en lasers te bouwen, en deze theorie, het licht dat we als rood beschouwen, beïnvloedt bepaalde lichtgevoelige apparaten op een specifieke manier, en deze voorspellingen worden bevestigd door experimenten ). Het concept rood is een buitengewoon nuttige en robuuste manier om te beschrijven hoe we de wereld ervaren .

Je zou zelfs kunnen zeggen dat de wereld onredelijk effectief wordt beschreven door de begrip van kleur; er is geen specifieke reden waarom zoveel van onze ervaring in termen van kleur zou moeten worden beschreven. We praten niet elke dag over de geur van staal, het geluid van plastic, de smaak van graniet. Op de een of andere manier is de wereld zo gevormd dat onze dominante manier van zintuiglijke waarneming buitengewoon nuttig is om een groot deel van de wereld te beschrijven. Gekleurd licht, precies in het frequentiebereik dat we met onze ogen kunnen zien, moet beslist een fundamentele rol spelen in hoe het universum werkt! “Rood” heeft beslist een fundamentele realiteit buiten ons eigen bestaan; de kleur rood heeft zeker een onveranderlijke, zelfs platonische aard!

Ik ben het daar niet mee eens. De kleur rood is inderdaad heel nuttig om aan te voelen en te begrijpen, omdat het is hoe we enkele nuttige fysische verschijnselen waarnemen. Maar als we een wat breder spectrum zouden waarnemen met wat we het infrarood noemen, zou dat ook nuttig zijn; waarom niet? Om toevallige redenen, denk ik. Misschien is er in warme klimaten te veel lawaai in die frequenties; hoewel dit niet “verklaart waarom sommige soorten slangen kunnen voel ze terwijl we dat niet kunnen. De reden waarom we rood tussen andere kleuren kunnen waarnemen is uiteindelijk omdat het een nuttig ongeluk was.

Als het getal drie ons een extreem vitaal bestaan, dit zou kunnen zijn omdat het concept van getal nuttig is om te kunnen formuleren wanneer we reageren op de wereld om ons heen, en zo erg zelfs dat het op een zeer diep niveau in onze hersenen zit. Dit betekent dat er echt hoeveelheden dingen in de wereld zijn, en dat sommige begrippen hoeveelheid zo eenvoudig en belangrijk zijn dat je wezens kunt ontwikkelen die geloven dat het begrip hoeveelheid zo van levensbelang is, dat het onafhankelijk van alles kan bestaan om een hoeveelheid van te hebben.

De niet-negatieve gehele getallen — de “natuurlijke getallen” — zijn precies wat we onze eenvoudigste tools noemen voor het meten van hoeveelheden. Maar het zijn onze tools , die veel verder gaan dan ons vermogen om hoeveelheden onmiddellijk te begrijpen, tot in de tientallen, honderden en miljarden —, net zoals we tools hebben om help ons het infrarood te voelen, hoewel we het niet rechtstreeks kunnen waarnemen.

Getallen zijn concepten. Ze zijn onze hulpmiddelen om ons te helpen nuttige dingen over de wereld te begrijpen. Het zijn heel, heel, heel handige tools; en veelzijdig genoeg dat we alle reden hebben om te geloven dat ze kunnen worden gebruikt om elk patroon te beschrijven dat we kunnen bevatten (en vele die we niet kunnen bevatten), ongeacht of dat patroon ooit in de materiële wereld wordt gerealiseerd. Maar er is geen reden meer om aan te nemen dat getallen (zoals Drie) onafhankelijk bestaan, net zo min als er is te denken dat er een Platonisch Rood is dat onafhankelijk van een rood object bestaat.

Opmerkingen

• Een uitstekend antwoord. +1
• wat wordt bedoeld met ‘ echt ‘? … zonder deze definitie is alles gewoon mumbo-jumbo;)
• Dit antwoord is niet ‘ zo informatief als het lijkt; het roept een heleboel vragen op in de filosofie van de wiskunde. De bewering dat ” Getallen hulpmiddelen zijn om de wereld te begrijpen ” is bijvoorbeeld helemaal niet voor de hand liggend en negeert posities zoals wiskundig platonisme volledig , of intuïtionisme, of formalisme.Bovendien zijn beweringen als ” het concept van getal is een nuttige ” zijn empirisch, maar er wordt geen bewijs geleverd om ze te ondersteunen. @OP: Dit is geen goed antwoord. Het onderschrijft een bepaalde, controversiële kijk op cijfers. Bovendien citeert het ‘ t geen relevant onderzoek om zijn beweringen te staven.
• @Niel: Het enige dat formalisme beweert is dat wiskundige objecten bepaalde markeringen op een pagina zijn , gemanipuleerd volgens bepaalde regels (grofweg – het hangt af van welk merk je kiest). Belangrijk is dat formalisten niet ‘ denken dat wiskundige uitdrukkingen proposities uitdrukken, wat in strijd is met uw bewering in het OP dat getallen concepten zijn. Re: de bewering dat ” nummers nuttig zijn “. Ik reageerde, misschien niet zo duidelijk als ik zou kunnen hebben, op je quasi-evolutionaire argument voor een soort nativisme over getalconcepten.
• Cont ‘ d. Dit is een enorm open vraagstuk in zowel de psychologie, de taalkunde als de taalfilosofie, en het is oneerlijk om de kwestie te presenteren alsof uw opvattingen niet omstreden ‘ zijn. Hier is ‘ echter mijn grootste klacht: de vraag gaat over een enorme open vraag in de filosofie, en je presenteert je eigen antwoord met nauwelijks enige verwijzing naar de enorme hoeveelheid literatuur die aan het onderwerp is gewijd . De zorg is dat degene die de oorspronkelijke vraag heeft gesteld ‘ niet heeft ingezien hoe omstreden uw antwoord is, door de standpunten die in het veld zijn onderzocht te moduleren.

Het hangt ervan af wat je precies bedoelt met “echt”. In één opzicht zijn cijfers net zo echt als uw linkerhand; het zijn entiteiten die geest-onafhankelijk, a-causaal en niet-spatiotemporeel bestaan (d.w.z. buiten ruimte en tijd). Dit zou de mening zijn van ten minste één versie van wiskundig platonisme, en het lijkt erop te wijzen dat we een diepere en diepere wiskundige structuur aan het universum blootleggen.

Naar mijn mening zou ik moeten zeggen – ja; abstracte objecten zoals de vierkantswortel van 2 zijn bijvoorbeeld net zo echt als een stoel. Het zijn echte entiteiten, maar het zijn entiteiten die niet gebonden zijn door de wetten van causaliteit of ruimte en tijd.

Reacties

• Goed antwoord! Het is misschien interessant om wat meer te horen over waarom u uw antwoord hier zou aanbevelen.
• uw eerste zin vermeldt het probleem, en dan dwaalt u af …

De aard van getallen is een heel moeilijk probleem; een filosofie van de wiskunde standpunt vormen, is het beste uitgangspunt tot nu toe Freges Grundlagen (1884 – The Foundations of Arithmetic) – moeilijk maar lonend. De netelige kwestie van de realiteit van abstract object (beginnend bij Plato en Aristoteles) is dat we denken dat objecten echt zijn als we ze kunnen zien en aanraken, en dat we geen getallen kunnen zien en aanraken. Maar als ze niet echt zijn, waarom zijn ze dan zo … nuttig , onmisbaar voor de hele mensheid? Veel werk in de twintigste-eeuwse wiskunde is gewijd aan het vinden van een manier om het idee te ondersteunen dat getallen niet echt zijn (in de alledaagse betekenis van de term), maar wiskunde is hoe dan ook de moeite waard om te bestuderen als .. . een spel met symbolen, een reeks uitspraken die volgens afspraak waar zijn, een sociale constructie, enzovoort.

Cijfers zijn echt in de zin dat ze een manier zijn waarop de mens de relatieve beweging organiseert tussen objecten die hij in zijn omgeving waarneemt. (bijv. dit hier + dat er = twee van de se). Cijfers zijn echter niet “werkelijk”. Dit betekent dat ze niet als bestaand kunnen worden gekwalificeerd los van de context van objecten die de mens voelt. Als u “getal” verwijdert uit het object of de objecten die het een bepaalde waarde geven, kan het alleen worden gedefinieerd als “oneindig”. Wat praktisch gezien nul is. Getallen vereisen dus, net als elk abstract concept, dat een waarnemer echt is (in dit geval de mens). Dit maakt natuurlijk de loodlijn voor ALLE waarde (waarheid) degene die observeert.

Ik denk dat uw verwarring te wijten is aan het feit dat u niet beseft dat de “labels” die worden gebruikt om de verschillende reeksen getallen te categoriseren zijn precies dat, labels. De echte getallen, de denkbeeldige getallen, de complexe getallen, enz. Zijn allemaal geordende sets. Helaas hebben sommige van deze labels andere betekenissen dan wiskunde. Buiten wiskunde betekent echt meestal iets tastbaars dat is waargenomen door ten minste een van onze zintuigen, en denkbeeldig betekent iets ongrijpbaars en niet waargenomen door onze zintuigen. Maar in wiskunde zijn deze woorden slechts labels die worden gebruikt om verschillende reeksen getallen te onderscheiden. De persoon (personen) die de getallen hebben gelabeld, kunnen hebben groen gebruikt in plaats van “echt” en rood in plaats van “denkbeeldig” en we zouden het groene nummer hebben ingesteld, het rode nummer instellen, enz.

Reacties

• Het ” enige ” probleem Ik zie in je uitleg het volgende: in welke zin is de reductie van getallen tot sets e echt ” uitleg “? In welke zin hebben we meer vertrouwen in de … realiteit, het bestaan … van sets dan in het bestaan van getallen?
• Ze hebben de namen die ze kregen met een reden. Het ‘ zijn niet alleen labels, het ‘ zijn goede labels. De vraag die wordt gesteld is gedeeltelijk waarom zijn het goede labels?

We hebben ze “getallen” genoemd, maar in werkelijkheid is “getallen” slechts een door mensen gemaakt label voor van nature voorkomende regels en principes. Maar of we ze nu getallen, telt of welke andere willekeurige naam ook noemen, ze zouden een sleutelrol blijven spelen in de manifestatie van de werkelijkheid, ongeacht onze kennis ervan.

Als een alien ras zouden contact met ons opnemen, zouden getallen en wiskundige berekeningen (in een of andere vorm) iets zijn dat we gemeen zouden hebben. Verschillende oude beschavingen hadden verschillende getallenstelsels, maar het waren niettemin getallen . Zelfs tegenwoordig kan men het duidelijke verschil zien tussen Chinese cijfers （零 零 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， en Arabische cijfers (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); ondanks het verschil in symbolen is het concept erachter hetzelfde.

Het label “cijfers” is de poging om de “code van het universum” te beschrijven. Dus, grofweg gesproken, zou ik “ja zeggen, cijfers bestaan.

Oude vraag. Maar leuk! I” m verbaasde niemand die noemde Principia Mathematica waarin meer dan 100 paginas (163, als ik het me goed herinner) zijn gewijd aan het definiëren van het getal ” 1 “.

Ik speelde een spel toen ik op de middelbare school zat door te suggereren dat 2 + 2 = 7, en wanneer andere studenten zouden zeggen dat ik ze gewoon zou vragen om te bewijzen dat ik ongelijk heb. Dit leidde meestal tot veel handgebaren, beginnend met 2 vingers plus 2 vingers en meestal eindigend met slechts één vinger.

Het summum bonum is simpelweg dat getallen ideeën zijn (mentale constructies die een perceptie vertegenwoordigen, en dat zin, ze bestaan platonisch). Zoals al heel goed is uitgelegd, zijn deze ideeën nuttig om de wereld om ons heen te beschrijven, en daarom blijven we deze ideeën gebruiken en verbeteren. Mijn suggestie dat 2 + 2 = 7 de regels overtreedt die zijn opgesteld door Alfred North Whitehead en Bertrand Russell; maar de regels die door mijn suggestie worden geïmpliceerd zijn niet minder willekeurig dan die van hen, alleen minder nuttig.

Natuurlijk moet je ook ” existentie wanneer je zon vraag stelt.

Opmerkingen

• bestaan jouw gedachten? hoe zit het met iemand anders ‘ s (in JOUW context, niet de andere persoon ‘ s)?
• @slashmais Definieer ” exist ” en dan ‘ zal ik je antwoorden;)
• Ik zie wat je daar hebt gedaan 🙂 Ik probeerde aan te wijzen waar ik denk dat het antwoord op een definitie van ‘ bestaat ‘ kunt u hier vinden: filosofie.stackexchange.com/a/10552/112 , en in die zin hebt u volkomen gelijk als u zegt dat getallen ideeën zijn – alles is . Om mijn vraag over iemand anders ‘ s gedachten te beantwoorden: het zal ‘ bestaan ‘ in uw context alleen wanneer de andere persoon de gedachte (in / direct) uitdrukt door middel van gedrag waarvan u zich bewust kunt worden en waaruit u een dergelijke gedachte kunt afleiden.

De introductie van fractionele en negatieve rationale getallen kan vanuit twee gezichtspunten gerechtvaardigd zijn. De fractionele getallen zijn nodig voor de weergave van de onderverdeling van een eenheidsgrootte in meerdere gelijke delen, en de negatieve getallen vormen een waardevol instrument voor het meten van magnitudes die in tegengestelde richtingen kunnen worden geteld. Dit kan worden opgevat als het argument van de toegepaste wiskundige. Aan de andere kant is er het argument van de zuivere wiskundige, bij wie het begrip getal, positief en negatief, integraal en fractioneel, berust op een fundament dat onafhankelijk is van meetbare grootte, en in wiens ogen analyse een schema is dat alleen betrekking heeft op getallen. , en heeft op zich geen betrekking op meetbare hoeveelheden. Het is mogelijk om een wiskundige analyse te vinden op basis van het begrip positief geheel getal. Daarna kunnen de opeenvolgende definities van de verschillende soorten getallen, gelijkheid en ongelijkheid tussen deze getallen, en van de vier fundamentele operaties, abstract worden gepresenteerd. (Door h.s carslaw)

Welke getallen vinden we in de natuur? heb je negatieve getallen gevonden?zoals de naam doet vermoeden, worden natuurlijke getallen in de natuur gevonden. zeg dat een bepaalde lengte (zeg een stok s ) wordt genomen als 1 lengte-eenheid (bijv. 1m ) nu als er een andere stick is ( s2 ) die even lang is als twee s sticks we zeggen dat de lengte 2 eenheden is. evenzo lengte kan uit fractionele eenheden bestaan van s . getallen zijn labels die een bepaalde lengte vertegenwoordigen. hetzelfde idee kan worden uitgebreid voor alle meetbare grootheden. voor -ve getallen beschouwen uitdrukking
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

als “a” lengte is> “b “ lengte en ” c “ lengte> ” d “ lengte, dan moet het product + zijn + probeer waarden in de uitdrukking te plaatsen. Je zult zien dat de uitdrukking geldig is als “?” = “+” maak een vierkant van lengte a en breedte “c” en dan nog een van lengte “b” en “d” door “b” over “a” en “d” op “c” beschouw nu elk product dat wordt uitgedrukt als een overeenkomstig gebied in het diagram. je zult snel merken dat “?” moet worden vervangen door “+ “ of u kunt een regel maken die de distributieve wet van kracht is als we overwegen dat twee -ve getallen een eigenschap hebben zoals (-b * -d) = (+ b * d) stel je het belang van distributieve wet voor, het maakt een formule als (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. deze formule geeft ons een snelkoppeling om berekeningen uit te voeren die alleen mogelijk zijn geworden als we -ve nummers van dergelijke eigenschappen hebben (vermenigvuldig twee -ve getal betekent een + ve product van hun grootte). zeker als we geen “-ve getallen” definiëren, zullen we altijd een lange berekening hebben.

complex no “s:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] dit concept wordt vaak gebruikt om berekeningen te verminderen, zoals bij netwerkanalyse waarbij impedanties betrokken zijn.

lees het volgende: Beginning Algebra for College Students Second Edition door Lloyd L. Lowenstein (Author)

Bestaan er cijfers buiten ons hoofd? Nee.

Is wat er in ons hoofd bestaat echt? Ja.

Bestaan er cijfers? Ja.

Als weten dat iets echt is de definitie is van wat echt is, dan zijn getallen misschien net zo echt als alles in het universum.

Ik heb een hamster als huisdier, ik ben dol op de hamster. Is de hamster echt? Mijn ervaring met de hamster is echt, maar de hamster kan worden voorgesteld, dromen zijn zo van aard dat ze echt lijken te zijn. De getallen zijn zo van aard dat ze niets anders zijn dan onze meest vurig gedroomde dromen.

Maar wat is er belangrijker voor het universum, een droom of een rots? Op deze rots hebben we onze dromen gebouwd. En zonder onze dromen en de dromen van alle dingen zou er hier niets zijn.

En toch, hoe kan het dat ik 2 ogen en 10 tenen heb? Is het omdat de natuur kan tellen? Of is het incidenteel? Wat is een teen anders dan een kleine misvormde teen die aan een grotere teen is bevestigd? Incidentele vlezige afspraken die een groter vlezig aanhangsel sieren, zo genoemd en genummerd door het toeval van gedachten die zijn eigen vlezige lichaam observeren.

Wie bent u met uw vingers en uw ogen die dit lezen, en waarom leest u meneer of mevrouw , is het nieuwsgierigheid, angst, liefde of iets anders dat u vandaag drijft?

Waarom heb je nagedacht over wat een nummer was en kom je hier om erover te lezen?

Omdat je op de een of andere manier wilt weten of JIJ echt bent. Misschien denk je dat je een nummer bent. Misschien heb je iets nodig, iets om je vandaag aan vast te klampen, om je een plek te geven waar je je vermoeide geest kunt laten rusten tijdens het reizen door deze enorme uitgestrektheid van mogelijkheden.

Zoveel mogelijkheden!

Ik vraag me af wat echt is. En de echtste dingen die we kunnen bedenken, zijn de dingen die we het meest kunnen vertrouwen. Ik denk dus dat ik ben, onweerlegbaar. Maar wie ben jij? Ik weet niet wie ik ben, daarom denk ik?Ik weet het niet zeker, want het kan een ander zijn die voor me denkt, misschien kijk ik gewoon hoe ze denken. En toch ken ik het nummer 1. Ja, en als ik één van het een en een ander van hetzelfde neem, Ik heb twee van deze dingen. En dit kan ik voor altijd en eeuwig vertrouwen … Maar ik begon me af te vragen: is het echt toevoegen van dingen? Is er echt ooit 2 van iets? Als ik kijk, zie ik dan met mijn eigen 2 ogen 2 verschillende afbeeldingen? Nee, ik zie één afbeelding, mijn 2 ogen functioneren als 1. Wat zie ik? Ik zie 1 afbeelding, daarom heb ik één oog in mijn hoofd.

Dus wat is een nummer eigenlijk? Is het een perceptueel construct? Is het een definitie?

Het is een overtuiging. Net als alle dingen, geloven wij, ik geloof. IK GELOOF. U bent IK. IK GELOOF IN U EN IN MIJ. Ik geloof in ons. Ik geloof … in cijfers.

Ik voeg alleen maar iets toe aan het uitstekende antwoord gegeven door @Niel de Beaudrap. Hij zette vraagtekens bij de “echte versus door de mens gemaakte” dichotomie die mensen te veel gebruiken. Het doel van dit antwoord is om enkele andere aspecten van de vraag te laten zien die nog niet zijn behandeld.

• Worden getallen in de natuur gevonden? (ik veronderstel dat hij dat bedoelde met echt)
• Zo niet, hoe kunnen we ze dan toepassen voor echte dingen?

En twee kleine vragen

• Hoe zijn imaginaire getallen meer imaginair dan reële getallen?
• Waarom kan “Kunnen complexe getallen een bepaalde volgorde krijgen?

Worden getallen in de natuur gevonden?

Nee. Getallen zijn niet gevonden in de natuur. U kunt “twee appels” in de natuur vinden, maar niet “twee”. Het is wederom interessant om op te merken wat we bedoelen met “twee appels”. Bedoelen we twee objecten die identiek zijn? Dan kunnen we niet praten over twee appels omdat geen appel hetzelfde is, dus we hebben het over twee objecten op zijn vergelijkbaar. “Hoe vergelijkbaar” is de volgende vraag. We willen natuurlijk voorkomen dat we een sinaasappel als een appel tellen. Maar we willen het tellen als we vruchten tellen. Ook mogen we geen appel tellen als we “kleine appels” tellen. Tellen is dus duidelijk kunstmatig. Maar dat zijn ook veel andere dingen die we in het leven als vanzelfsprekend beschouwen. En het zijn duidelijk niet alleen reële getallen of complexe getallen; zelfs het tellen van getallen is kunstmatig. We accepteren getallen als soort echt en stellen alleen meer kunstmatige getallen in vraag, zoals echte getallen, omdat we gewend zijn getallen te tellen.

Toch zijn de begrippen van het tellen van getallen, breuken en aantal zijn zeer nuttig voor onze doeleinden vandaag, zoals uitgelegd door @Niel de Beaudrap. Cijfers komen dus niet in de natuur voor. Cijfers helpen ons het idee van patronen die we in de natuur vinden te vangen. Merk op dat wat we in de natuur vinden, niet hoeft te zijn wat er in de natuur is. Het is inderdaad echt voor ons omdat onze wereld is wat we voelen.

Zo nee, hoe kunnen we ze dan toepassen voor echte dingen?

Wel, dat “is het lastige gedeelte. Cijfers zijn hulpmiddelen in de wiskunde. Wetenschappelijke takken zoals wiskunde en logica gaan niet over de echte dingen; ze zijn niet bedoeld om te zijn. Ze gaan inderdaad over het abstracte. Dit is zowel hun kracht als hun zwakte.

Als je ze enkele regels geeft van een wereld die al dan niet bestaat, zullen ze je veel andere dingen over die wereld vertellen. Dus als je ze regels geeft (enige regels), zullen ze je vertellen veel gevolgen van die regels. Dat is hun kracht. Daarom zijn ze bijna overal toepasbaar. En ze zullen je vertellen alleen de gevolgen van die regels, de persoonlijke overtuigingen van het orakel horen daar niet. daarom leggen ze de nadruk op strengheid.

Maar als je geïnteresseerd bent in een wereld waarvan je de regels niet kent, zijn ze daar hulpeloos. Dit geldt precies voor onze fysieke wereld zoals we die kennen. Fysica is geïnteresseerd in de regels van onze wereld, maar wiskunde kan ze niet bieden. (In tegenstelling daarmee zijn theoretische natuurkunde en wiskunde goede vrienden). Daarom heb je een brug tussen hen nodig om een link te maken. Dit is een gat dat alleen de filosofie kan opvullen. En filosofische tools zoals modellen zijn de gebruikelijke manier om te gaan.

Kleine vragen

Hoe zijn imaginaire getallen meer imaginair dan reële getallen? Nou, denkbeeldige getallen zijn geen gram meer denkbeeldig dan reële getallen. In een lezing over complexe getallen vroeg de professor de studenten hun hand op te steken als ze denken dat imaginaire getallen imaginair zijn en reële getallen echt. Ongeveer dertien studenten staken hun hand op. Toen zei hij dit: “oke, we kunnen erover discussiëren. De helft van jullie komt naar het podium”.

Waarom kunnen “complexe getallen niet een definitieve volgorde krijgen? Met een bestelling bedoelen ze niet een algemeen ding; Ze hebben het over een specifiek concept genaamd totale bestelling .Als u zegt dat complexe getallen niet kunnen worden geordend, betekent dit dat welke ordening u ook bedenkt, deze niet voldoet aan ten minste één van de voorwaarden voor een totale order die compatibel is met de gebruikelijke veldbewerkingen van optellen en vermenigvuldigen. Je kunt meer details vinden van deze vraag in stackexchange en deze pagina van cut-the-knot . In feite zal de verzameling {0,1, -1, i, -i} van complexe getallen zelf problemen opleveren als we proberen een totale volgorde te geven die past bij de gebruikelijke veldbewerkingen. Ik zal details geven als je geïnteresseerd bent (niet moeilijk, maar ik denk dat het geen filosofische betekenis voor je zal hebben).

Opmerkingen

• De reeks {0,1, -1, i, -i} is helemaal geordend zoals je hem hebt geschreven, van links naar rechts. Er ‘ is geen volgorde van de complexe getallen die compatibel is met de algebraïsche structuur. Maar er zijn tal van totale bestellingen op de complexe getallen. Lexicografische volgorde op a + bi is er zo een.
• Bewerkt. Bedankt @ user4894. Ik probeerde de details minimaal te houden.
• De definities voor (totale) ordening en geordende velden zijn te vinden op pagina 246 in Stephen Abbot ‘ s boek ” Analyse begrijpen ”

Getallen zijn concepten die in onze geest bestaan om ons te helpen verschillende verschijnselen of dingen in het universum of het universum zelf te begrijpen. Je kunt een nummer 2 niet langs een weg zien lopen. Stel dat u 6 kippen & 6 appels voor u heeft. Het cijfer 6 is niet de kip zelf of de appel zelf. De kip is een kip & de appel is een appel. Maar om te zeggen hoeveel kippen of appels er zijn, we gebruiken het concept van getallen. We voegen 6 toe voor kip of appel & zeg 6 kippen of 6 appels. Kun je er 6 zien? Nee. Maar we zien 6 kippen of 6 appels; niet het nummer 6. Cijfers zijn dus een soort concept. En er bestaan concepten in onze geest. We hebben ook veel andere concepten, zoals letters, woorden, enz. Je kunt een alfabet B niet tegen je zien praten. Het zijn slechts concepten om je te helpen woorden te vormen & zinnen & om zo met anderen te communiceren. Concepten zijn creaties van onze geest om dingen of verschijnselen te benoemen of uit te leggen die bestaan of bestaan in werkelijkheid niet. Cijfers zijn dus een soort concept dat “in werkelijkheid niet” op zichzelf “bestaat, maar dat in onze gedachten doet.

Als je het goed vindt, zou ik me liever concentreren op geometrie dan op getallen. Ik heb hetzelfde gevoel over beide gebieden, maar geometrie past iets beter bij mijn voorbeeld.

Beschouw de volgende verklaring:

De hoeken van elke driehoek zijn opgeteld 180 graden.

Als u “redelijk bekend bent met basisgeometrie, zal dit duidelijk waar lijken.

Hoe zit het met deze bewering?

James Kirk is kapitein van de USS Enterprise .

We zouden kunnen beweren dat het onjuist is, denk ik, maar als we een Star Trek -congres bijwonen, is dat gewoon niet erg beleefd. Maar het wordt erger. Als we beweren dat de bovenstaande bewering onjuist is, beweren we dat:

James Kirk is geen kapitein van de USS Enterprise .

En dat suggereert nog steeds dat er zowel een Kirk als een USS Enterprise is, naast de vervelende Trek fans. Er zijn meer gecompliceerde manieren waarop we de negatieoperator kunnen interpreteren, maar dit is geen triviaal probleem .

Stel dat we accepteren dat Kirk is kapitein, om de fans te kalmeren. Maar dan komt er een naar ons toe en zegt:

Ik ben een fan van Star Trek: The Next Generation , en Ik denk dat je Kirk-verklaring onjuist is. De kapitein van de Enterprise is Picard, niet Kirk.

Dan, terwijl we ” bij het puzzelen komt een wiskundige naar ons toe en zegt:

Ik “ben een fan van niet-Euclidische meetkunde . Ik denk dat je driehoek-statement onwaar is.

Wiskundige uitspraken zijn waar binnen de context van hun axiomas. Uitspraken over fictie zijn waar in de context van hun canonieke bronnen. Als je verschillende axiomas of verschillende canonieke bronnen kiest, krijg je verschillende waarheden (als het Kirk / Picard-voorbeeld te subtiel is, vergelijk en contrasteer dan Dracula met Twilight ). Hoewel wiskunde rigoureuzer is en in de meeste gevallen directer bruikbaar is dan fictie, zijn beide kunstvormen.

veel kunsten, zowel wiskunde als fictie, streven naar zowel waarheid als schoonheid . Maar dit zijn esthetische kwaliteiten, geen objectieve realiteiten.Wiskunde is “waar” als je een situatie uit de echte wereld vindt die ze nauwkeurig beschrijft, en deze correct toepast. Fictie is waar als je merkt dat het resoneert met je levenservaringen en doelen, en probeert te leven volgens de leringen ervan. Deze waarheden kunnen niet afzonderlijk bestaan; ze zijn afhankelijk van de waarnemer om ze te actualiseren.

Dus om uw vraag te beantwoorden, getallen, of driehoeken, zijn net zo “echt” als de applicatie die u ervoor hebt gevonden. Maar als je “gewoon wiskunde doet omdat je het mooi vindt , dan hoeft het je niet te schelen of het” echt “is. Misschien vindt iemand anders ooit een toepassing, zoals is gebeurd met de getaltheorie en cryptografie. Misschien niet. Hoe dan ook, je erover zorgen maken zou het punt missen. Je “doet dit niet voor de waarheid. Je doet het voor schoonheid”.

Leopold Kronecker verklaarde dat de niet -negatieve gehele getallen waar gemaakt door God. Al het andere wordt door mensen “gemaakt”. Als we dit idee volgen, weten we zeker dat de niet-negatieve gehele getallen echt zijn. Nu, de verklaring “Getallen zijn echt.” is gelijk aan “Nummers bestaan.” Het bestaan kan worden bewezen door één afzonderlijk element op te schrijven dat aan de gegeven eigenschap voldoet. Door gebruik te maken van het feit dat er niet-negatieve gehele getallen bestaan, en door de premisse toe te passen dat niet-negatieve gehele getallen getallen zijn, concluderen we “Getallen zijn echt.”

Bewerken: Waar ik eigenlijk op wilde wijzen, is dat de vraag echt afhangt van hoe getallen worden begrepen.

Aan de andere kant zou ik willen graag een slag slaan voor Kroneckers Point. In meer algemene termen beschreef hij de natuurlijke neiging van de mens om dingen te tellen. Dit is niet helemaal onredelijk. Bedenk dat er botten zijn gevonden met telmarkeringen die ongeveer 30.000 jaar oud zijn (ik hoop dat je het mij niet kwalijk neemt als ik geen bibliografische verificatie geef) – lang voordat mensen over axiomas voor het construeren natuurlijke getallen.

Opmerkingen

• Argument van autoriteit?
• @NieldeBeaudrap, ik don ‘ t argumenteren met een inductief argument. Is niet ‘ t het tegenovergestelde een vereiste van autoriteit voor het argument?
• ” Leopold Kronecker verklaarde dat de niet-negatieve gehele getallen door God zijn gemaakt ” [nadruk van mij].
• Het feit dat mensen een idee hebben gebruikt zonder axiomatisering, betekent niet dat het ” bestaat ” onafhankelijk van mensen. Is magie echt? Is geluk echt?
• Ik denk dat je jezelf toestaat aan het woord ” gebruik ” anders voor ‘ magie ‘ en voor ‘ nummers ‘, maar laat maar.

1. Getallen worden gebruikt om te tellen.

2. We tellen formulieren.

3. Een De meest primitieve vorm die we tellen is een lijn.

4. De lijn is een vorm, die hetzelfde einde heeft als het begin.

5. De lijn is dus een 1-dimensionale lus, en we zien alle getallen als 1 lus die zichzelf als 1 set herhaalt (dwz 7 sinaasappels is 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) of 1 set van 1 “s waarbij” oranje “een set en een deel van de set is).

6. Alle verschijnselen zijn vormen zoals ze vorm krijgen. Alle verschijnselen zoals het hebben van vormen zijn lussen als je eindigt waar je begint wanneer je de omtrek volgt.

7. Tellen is een lus tussen het onderwerp en object (en).

8. Dus we tellen lussen, gebruikmakend van getallen die voorkomen door een 1 lus van 1 door de lus van onderwerp en object waarbij het object een vorm heeft die zowel een lus is als de rationeel van het onderwerp dat een lus is.

9. Getallen zijn ruimtelijke vormen en bestaan door processen die plaatsvinden via ruimtelijke vormen.