Zijn cijfers echt oneindig? [gesloten]

U bent niet de enige die de oneindige hoeveelheid getallen in twijfel trekt. In feite zijn er hele stromingen die het oneindige spectrum van getallen onderzoeken, hele stromingen die de transfiniete getallen verkennen buiten het oneindige spectrum, en hele stromingen die onderzoeken hoe wiskunde te doen waar oneindigheden niet bestaan (bekend als eindige scholen van gedachte)!

Fundamenteel voor de bespreking van oneindige getallen is het concept van Peano-rekenkunde. Giuseppe Peano ontwikkelde een set axiomas voor de zogenaamde “natuurlijke getallen”, die informeel worden gedefinieerd als de reeks 0, 1, 2, 3, 4. .. De axiomas zijn:

• 0 is een natuurlijk getal (we verklaren dat het bestaat, het is een constante)
• Voor elk natuurlijk getal x, x = x (reflexief: alles” is gelijk aan “zichzelf)
• Voor alle natuurlijke getallen x en y, indien x = y dan y = x (symmetrische eigenschap van gelijkheid)
• Voor alle natuurlijke getallen x, y, z, indien x = y en y = z en vervolgens x = z (transitieve eigenschap van gelijkheid)
• Voor alle a en b, als b een natuurlijk getal is en a = b dan is a een natuurlijk getal (gelijkheid is “gesloten”)

We moeten dan een functie definiëren S, ook wel de opvolgerfunctie genoemd, zodat we getallen groter dan 0 kunnen hebben. Informeel S(0)=1, S(1) = 2 enzovoort aan.

• Voor elk natuurlijk getal n is S(n) ook een natuurlijk getal
• Voor alle natuurlijke getallen m, en n, m = n als en slechts als S(m) = S(n) (S is een injectie)
• Voor elk natuurlijk getal n, S(n) = 0 is false (de opvolger van een getal is nooit 0 … aka 0 is het “eerste” natuurlijke getal)

Nu hebben we het axioma nodig dat uw vraag zo buitengewoon interessant maakt, het axioma van inductie:

• if f is een dergelijke functie t f(0) is waar en voor elk natuurlijk getal n, als f(n) waar is, dan f(S(n)) is waar, dan is f(n) waar voor alle natuurlijke getallen.

Dat laatste axioma is de een die zoveel interessant gedrag veroorzaakt. Het is degene die naar de oneindigheid probeert te reiken en beweert manieren te bieden om het te begrijpen. En, zoals alle axiomas, zegt het niet noodzakelijk dat het correct is, alleen dat het binnen de grenzen als waar wordt verklaard. van de rekenkundige regels (zoals gedefinieerd door Peano).

Veel rekenkunde werd geformaliseerd op basis van wat bekend staat als verzamelingenleer, wat de basis is van een groot deel van onze wiskunde omdat het lijkt fundamenteel te zijn voor de manier waarop het universum is georganiseerd. Sets hebben te maken met bepaalde verzamelingen dingen, zoals “de set van natuurlijke getallen die kleiner zijn dan 5”, die wordt geschreven als {0, 1, 2, 3, 4}.Peano-rekenkunde wordt meestal toegewezen aan de verzamelingenleer met behulp van de volgende constructie:

• De lege verzameling {} wordt gedeclareerd als de constante 0 in Peano” s axiomas
• De opvolgerfunctie S(n) is gedefinieerd als `S (n) = {{}, {n }} (De opvolger van elk nummer wordt gedefinieerd als de vereniging van de lege set en een set met het vorige nummer)

Die definitie klinkt een beetje stom, maar is gekozen omdat het is gemakkelijk alle andere Peano-axiomas in kaart te brengen op deze twee definities. Hiermee krijgen we de mogelijkheid om verzamelingenleer-axiomas te gebruiken om getallen op zeer krachtige en fundamentele manieren te manipuleren. Een van de belangrijkste hiervan is het concept van de kardinaliteit van een verzameling. Dit is het aantal dingen in een verzameling. Informeel {1, 2, 3}, {3, 4, 5} en {appel, sinaasappel, orang-oetan} hebben allemaal een kardinaliteit van 3 omdat ze hebben 3 elementen, maar {2, 4, 6, 8} heeft een kardinaliteit van 4.

Dit is waar het lastig wordt, omdat blijkt dat de verzameling van alle natuurlijke getallen een geldige set is, meestal weergegeven met een hoofdletter N, zodat we kunnen vragen “wat is de kardinaliteit van de verzameling van alle natuurlijke getallen? Het antwoord is oneindig , en die uitspraak wordt als definitie gedaan. We definiëren de kardinaliteit van N als een bepaald getal, bekend als ℵ₀, dat de Engelse naam “telbare oneindigheid” krijgt. Ja, voor wiskundigen is oneindigheid telbaar, want je kunt theoretisch beginnen bij 0, 1, 2, 3, 4, 5 omhoog tellen … en “bereiken” ℵ₀ volgens het axioma van inductie. Er zijn ook ontelbare oneindigheden, zoals ℵ₁, bekend als de kardinaliteit van het continuüm of het aantal reële getallen (aangenomen dat de continuümhypothese waar is … er zijn zelfs verschillende meningen over). Er is zelfs een school van dacht aan “transfinite” getallen die zinnen aankunnen als “I double dog dare you infinity plus one times!”

Welkom in het konijnenhol van oneindigheid in de wiskunde. We “hebben het woord hier gedefinieerd om iets te betekenen. Het wordt gedefinieerd met betrekking tot een reeks axiomas. Zijn die axiomas geldig in het” echte leven “? De meeste wiskundigen vinden het handig om aan te nemen dat ze dat doen. De computer waarop u dit vandaag leest is ontwikkeld met behulp van veel modellen uit de calculus, en de wortels van de calculus bevinden zich diep in het oneindige (met name het concept van limieten). Tot dusver heeft die aanname ons redelijk goed gedaan. Is die aanname waar? Dat is ingewikkelder vraag. Er zijn finitische stromingen die uitgaan van de aanname dat het aantal natuurlijke getallen eindig is, gewoonlijk op de een of andere manier gerelateerd aan het eindige vermogen van de menselijke geest of het universum. Als de tijd eindig is, en de berekening is eindig, dan kan men theoretisch niet oneindigheid computergebruiken, dus beweren ze dat het niet bestaat. Hebben ze gelijk? Wel, ja … volgens hun definities, net zoals de tegengestelde bewering waar is door de definities van de Peano-axiomas en verzamelingenleer. Beide kunnen aantoonbaar waar zijn omdat ze elk het woord oneindigheid definiëren om iets heel anders te betekenen.

Als afsluiting kan het de moeite waard zijn om in taalkundig keuze: “Dus, zullen we zeggen dat getallen oneindig zijn?” We kunnen een groot aantal dingen zeggen. Of die dingen voldoen aan het ideaal van waarheid (zelf een heel moeilijk woord om formeel te beschrijven) hangt sterk af van iemands individuele betekenis voor woorden. Als je de definitie van “oneindigheid” accepteert die wordt gegeven door de reguliere wiskunde, dan is “getallen zijn oneindig” waar, letterlijk omdat de reguliere wiskunde “oneindigheid” als zodanig definieert. Als je de definitie accepteert die door de eindisten wordt gegeven, dan is “getallen zijn oneindig” onjuist, letterlijk omdat de eindisten “oneindigheid” als zodanig definiëren. U kunt uw eigen definitie kiezen. Het kan zelfs contextueel zijn (het is niet ongebruikelijk om christelijke wiskundigen te vinden die oneindigheid binnen hun religie iets anders definiëren dan ze het binnen de wiskunde definiëren, zonder nadelige gevolgen behalve dat twee zeer vergelijkbare concepten hetzelfde woord in hun vocabulaire krijgen) .

Reacties

• " er zijn hele denkrichtingen die het oneindige spectrum van getallen verkennen ". Niemand kan het oneindige aantal getallen verkennen, omdat ze oneindig zijn. Je zou een oneindig aantal jaren en een oneindig aantal geleerden nodig hebben.
• Dit antwoord bevat naar ik aanneem een onschuldige fout. De waarde van de kardinaliteit van het continuüm is een van de grote onbekenden van de verzamelingenleer. ZFC is niet sterk genoeg om een antwoord vast te stellen. Zeggen dat " c " gelijk is aan aleph-1 is om aan te nemen dat de continuümhypothese waar is.
• Ik vind dit antwoord echt leuk.Zoveel als alles is wat we zeggen dat het is wanneer er populaire overeenstemming is, gaat dit antwoord zelfs nog verder en geeft het zeer snel en duidelijk het wiskundige raamwerk waarbij we allebei termen definiëren en specifiek hoe oneindigheid wordt gedefinieerd met hetzelfde. +1
• @NickR Bedankt voor de vangst! Er is een bewerking doorgevoerd!
• @JohnAm Je kunt ze in een eindige tijd verkennen, zolang je maar een oneindig kleine hoeveelheid tijd op elk nummer gemiddelde 😉 Het roept de vraag op hoe grondig we onderzoek enkele van de grotere getallen, ' t it!

Het is algemeen aanvaard dat de natuurlijke getallen voldoen aan de Dedekind-Peano Axiomas (meestal zojuist genoemd naar Peano omdat Dedekind verstijfd raakt). Deze axiomas impliceren dat er oneindig veel natuurlijke getallen zijn. En het is niet moeilijk te begrijpen waarom: er kan geen grootste natuurlijk getal n zijn, aangezien n + 1 een groter natuurlijk getal is.

Meer in het algemeen, in de standaard (ZFC) axiomas voor verzamelingenleer kunnen we het bestaan van een flink aantal oneindige verzamelingen bewijzen. Dit is iets minder nuttig voor uw doeleinden, aangezien het bestaan van een oneindige set is als een axioma ingebouwd in ZFC, maar aangezien ZFC algemeen wordt geaccepteerd door wiskundigen en filosofen is het de moeite waard erop te wijzen.