Kontrowersyjny post – możesz używać komentarzy TYLKO w celu sugerowania ulepszeń. Odpowiedzi można używać TYLKO w celu znalezienia odpowiedzi na konkretne pytanie zadane poniżej. Moderatorzy będą usuwać debaty, argumenty lub opinie bez powiadomienia .
Komentarze
Odpowiedź
Czy na świecie panuje teraz chaos? Ponieważ jeden plus jeden to nie równe dwóm, przynajmniej nie zawsze .
Weź jeden litr wody i jeden litr piasku. Dodaj je razem. Co dostajesz? Mokry piasek, ale na pewno nie dwa litry.
Weź jednego królika i dodaj jednego. Dodaj je razem. Masz rozsądną szansę na otrzymanie nieco więcej niż dwóch królików, jeśli poczekasz wystarczająco dużo czasu.
Nawet w dziedzinie czystej matematyki jeden plus jeden niekoniecznie równa się dwóm. Jeśli „pracujesz z modulo two arytmetyka , 1 + 1 = 0. Jeśli” masz do czynienia z modulo two arytmetyczne i 1 + 1 = 2, ” Zrobiłem coś bardzo złego. – Poza tym arytmetyka modulo two nie jest niejasną uwagą poboczną – twój komputer używa go teraz w postaci „bitowego xor”, a współczesne komputery nie mogłyby bez niego funkcjonować. (Chociaż trzeba przyznać, że arytmetyka modulo two jest raczej prosta w swoich właściwościach, więc niewielu matematyków zadaje sobie trud jej studiowanie).
Matematyka opiera się na aksjomatach – założeniach dotyczących właściwości systemu – i konsekwencjach, które logicznie wynikają z tych systemów. Jeśli okaże się, że jedna z tych implikacji jest „sprzeczna z faktami”, to albo logika była nieprawidłowa, albo jeden z aksjomatów był niepoprawny dla tego systemu. – Dla tego systemu to ważny bit. Tylko dlatego, że coś jest sprzeczne z faktami dla jednego zestawu aksjomatów, nie oznacza że jest to sprzeczne z faktami dla innego zestawu aksjomatów.
Weź równoległy aksjomat Euklidesa. Uwzględnij te z resztą aksjomatów Euklidesa, a otrzymasz geometrię euklidesową. Jest to „standardowa” geometria, którą ty i ja znamy i którą posługuje się znaczna część matematyków. Jednak , możesz ustawić różne geometrie tam, gdzie to się nie sprawdza . W rzeczywistości współczesna fizyka mówi nam, że „w rzeczywistości żyjemy w geometrii nieeuklidesowej – zaawansowana fizyka nie funkcjonowałaby w prawdziwej geometrii euklidesowej, w której zachodzi równoległy aksjomat.
Czy to oznacza, że geometrie euklidesowe a aksjomat równoległy jest błędny? Nie. Jest to całkowicie poprawna konstrukcja matematyczna, której setki tysięcy matematyków i inżynierów – i fizyków – używają codziennie. Fakt, że geometria euklidesowa ma aksjomaty, które dają wyniki niezgodne z obserwowanym światem, nie oznacza, że geometria euklidesowa jest nieważna, oznacza po prostu, że te aksjomaty nie mają zastosowania do systemu, który obserwujesz. Nie oznacza to, że wygrali „Nie stosuj się – a nawet nie są one najlepszymi do użycia – w jakiejś innej sytuacji.
Zatem 1 + 1 = 2 jest bardzo wygodną obserwacją i zachowuje się w wielu przypadkach. Ale nie wszystko. Czasami 1 + 1 = 0 lub inna liczba.Tylko dlatego, że aksjomaty standardowej arytmetyki liczb naturalnych nie mają zastosowania dla określonego systemu, nie oznacza, że są one nieważne, to po prostu oznacza, że nie mają one zastosowania do tego systemu i musisz wymyślić inny zestaw i inny system arytmetyczny.
Lub możesz przedefiniować swój system w taki sposób, aby aksjomaty były aktualne. (To właśnie robią ludzie piszący gorączkowo w komentarzach „Ale jeśli ty…” poniżej. „Jeśli trzymasz je w osobnych pojemnikach, jeśli obie są kobietami, jeśli zignorujemy arytmetykę modulo…” Jeśli przedefiniujesz rzeczy takie, które utrzymują aksjomaty, logiczne konsekwencje tych aksjomatów są logiczne.)
Komentarze
Odpowiedź
Jak każdy matematyk powiem ci, 1 + 1 = 2 wynika trywialnie z definicji i nie jest twierdzeniem. Twoje pytanie nie ma sensu.
To tak, jakbyś zadeklarował:
Definiuję 1 płynną uncję na dokładnie 30 mililitrów.
Ale co, jeśli okaże się, że się mylę?
To twoja definicja. Nie może być źle, ponieważ płynne zouncje, przed twoją definicją po prostu nie istniało.
Komentarze
Odpowiedź
najbardziej podstawowe równanie
Twoje założenie jest błędne. 1 + 1 = 2 nie jest aksjomatem matematyki, ale (jak wskazuje Sputnik) konsekwencją aksjomatów Peano zastosowanych do podstawa 10 reprezentacji liczb.
Można łatwo zmienić liczbę dziesiętną (podstawa 10) na unary (base 1) i powiedz:
1 + 1 = 11.
Lub zmień na binarny (podstawa 2, z czego faktycznie korzysta Twój komputer) i powiedz:
1 + 1 = 10.
I ze względu na to mogę przejść do cyfr rzymskich :
I + I = II.
Istnieją więc reprezentacje, w których 1 + 1 to a nie 2 (a nawet systemy, w których nie ma glifu 1), ale wszechświat nie implodował jeszcze z tego powodu.
A co by było, gdyby twoje pytanie było bardziej podobne? e …
A co jeśli aksjomaty Peano zaprzeczają obserwacjom ze świata przyrody?
W takim przypadku moja odpowiedź byłaby dwojaka:
- Matematyka oparta na aksjomatach Peano byłaby nadal przydatna
- Matematycy wymyśliliby inny zbiór aksjomatów, które pasowałyby do świata przyrody, wraz z matematyką opartą na tych nowych aksjomatach
Aby to zrozumieć, weźmy na przykład Newtona fizyka : są one dużym zestawem reguł matematyki zbudowanym na podstawie pewnych aksjomatów, które ładnie pasują do obserwacji ze świata przyrody.
Ale potem Einstein zauważył, że niektóre z aksjomatów tak naprawdę nie pasują (w szczególności, gdy rzeczy idą z prędkością światła) i wymyślił fizykę relatywistyczną , która praktycznie unieważnia całą fizykę newtonowską.
Nawet my wiemy , że fizyka Newtona jest błędna (ponieważ opiera się na zbyt prostym modelu), są narzędziem przydatnym do wielu problemów.
To samo z arytmetyką opartą na Peano: nawet jeśli nie pasują do jakiejś obserwacji w świecie przyrody, nadal byłyby dobrymi narzędziami. W konsekwencji tej niezgodności można z tego wyprowadzić inny zestaw matematyki.
Komentarze
Odpowiedź
Jeśli 1 + 1! = 2, to 1 – 1! = 0, co oznacza, że ładunek protonów w jądrze nie anuluje już ładunek na elektronach. W ten sposób wszystkie atomy uzyskują ładunek elektryczny netto i wszystkie makroskopijne ciała są przyciągane (lub odpychane) do siebie nawzajem z niesamowitą siłą – 36 rzędów wielkości silniejszą niż grawitacja. To zmiażdżyłoby cały wszechświat w subatomową miazgę w dość krótkim porządku …
Komentarze
Odpowiedź
To, co by się stało, jest koncepcyjnie bardzo proste. Artykuł dowodzący, że „¬1 + 1 = 2” zostanie zmieniony na „ Zermelo – Fraenkel Teoria zbiorów jest niespójny ” i opublikowany.
Od tam jest trudniej. W zależności od tego, jak działa dowód, powinniśmy otrzymać nowe, słabsze twierdzenie o zbiorach, co spowoduje przywrócenie spójności. Albo coś gorszego; Aksjomaty Peano mogą być niepoprawne z konsekwencją… cóż, szczerze mówiąc, nie wiem. Niektóre operacje, do których przywykliśmy, zniknęły, ale wygrały Dodawanie liczb całkowitych nie może zostać obalone w sferze skończonej (dzięki nauce!), więc coś innego na drodze do przeciwwodoru zostaje odrzucone. Może podejście do nieskończoności jest złe w całej matematyce. Może coś innego. Przepraszam, jeśli to brzmi jak spekulacja. Spekulacja jest w rzeczywistości w pytaniu. To trochę zależy od tego, jak dużą dziurę chcesz wybić.
Z praktycznego punktu widzenia wiemy już, co się stanie . 1 + 1 = 2 będzie nadal prawdziwe dla każdej rozsądnej domeny i przypadku użycia, więc będziemy nadal go używać. Po chwili tryb awarii zostanie zrozumiany i ostrożnie (lub nie tak ostrożnie) wykluczony, tak jak robimy to w informatyce dla przepełnienie teraz.
Komentarze
Odpowiedź
1 + 1 = 2 to konieczna prawda — z grubsza, stwierdzenie, które jest prawdziwe w każdym możliwym świecie. Twoje pytanie dotyczy zatem prawdziwych warunków alternatywnych z niemożliwymi poprzednikami. Są one czasami nazywane alternatywnymi możliwościami (np. Sekcja 5.1 tutaj ).
Tradycyjny pogląd był taki wszystkie te możliwości są trywialnie prawdziwe. Zgodnie z tym poglądem „jeśli jeden plus jeden nie równa się dwóm, to q ” byłoby prawdziwe dla dowolnego q . Niedawno kilku filozofów argumentowało, że nadanie sensu nauce i codziennemu rozumowaniu wymaga semantyki dla możliwości przeciwstawnych, która nie jest trywialnie związana z ich prawdziwością. Zobacz odniesienia do tej debaty w ostatnim wpisie SEP, do którego link znajduje się powyżej.
W każdym razie zapewniamy, że jeden plus jeden koniecznie równa się dwóm.
Komentarze
Odpowiedź
Dowód musiał zostać przeprowadzony w jakimś formalnym systemie, w przeciwnym razie jest to nie tyle dowód, co przekonujący argument. Mamy więc dowód w pewnym systemie stwierdzenia 1 + 1! = 2.
Filozofowie logiki i matematycy przyjrzeliby się bliżej szczegółom tego dowodu. Ponieważ wszystkie systemy formalne, którymi ktoś jest zainteresowany, dowodzą przeciwieństwa tego stwierdzenia, również udowodnienie tego stwierdzenia pokazuje, że jakikolwiek system został użyty, jest niespójny. Tak więc system ten nie może być dłużej używany do poważnej pracy. Dlatego logicy nauczyliby się czegoś niezwykle ważnego na temat tego konkretnego systemu logicznego i chcieliby wiedzieć, jakie inne systemy ta sama technika okaże się niespójna.
Wszechświat nie może zostać „wrzucony w chaos”, chyba że ktoś wierzy w jakiś (śmiem się y it: magiczny?) efekt, dzięki któremu na ruch gwiazd w galaktyce Andromedy znacząco wpływa to, jakie oznaczenia wykonujesz na kartce papieru na Ziemi. Przypuszczam, że solipsysta mógłby wierzyć, że wszechświat jest podtrzymywany wyłącznie przez ich osobistą wiarę w logiczną spójność, a zatem, że wszechświat zostałby zasadniczo zmieniony przez ich odczytanie tego dowodu. Większość ludzi ma wystarczająco dużo wiary w istnienie zewnętrznej rzeczywistości, aby nie wierzyć, że wszechświat jest zainteresowany dowodami, które ludzie robią, a czego nie.
Spodziewam się, że filozofowie nie są zainteresowani logiką i dowodami formalnymi systemy przeważnie zignorowałyby wynik, przynajmniej do czasu, gdy logicy wyjaśnili im dokładnie, w jakich warunkach oni (nie-logicy) faktycznie używają tego samego wadliwego systemu, który dowodzi 1 + 1! = 2, a zatem jakiego rozumowania potrzebują aby przestać używać.
Oczywiście zależy to również do pewnego stopnia od tego, co masz na myśli, obalając, że 1 + 1 = 2. Można sobie wyobrazić raczej „fizyczny dowód” niż formalny logiczny. Jeśli masz na myśli, że ktoś udowodnił, że może umieścić jedną pomarańczę w pustej misce, a następnie umieścić inną pomarańczę w tej samej misce, a żadne inne pomarańcze nie zostały dodane ani usunięte, a miska zawiera teraz pewną liczbę pomarańczy poza 2, można by powiedzieć, że „udowodnili 1 + 1! = 2. Ale wszyscy spodziewają się, że w rzeczywistości zaangażowany jest jakiś nieznany wcześniej fizyczny proces z udziałem pomarańczy. Więc chociaż „odkryliście coś, co naprawdę zmienia nasze wyobrażenia o naturze rzeczywistości”, to „nie dlatego, że„ najbardziej fundamentalne równanie ”jest logicznie błędne, to dlatego, że pomarańcze (lub obiekty fizyczne generalnie) najwyraźniej nie przestrzegają już arytmetyki i dlatego równanie nie ma już do nich zastosowania. Naturalnie byłoby to niezwykle kłopotliwe, ponieważ ludzie cały czas polegają na zdolności do liczenia, a zatem społeczeństwo ludzkie mogłoby zostać wrzucone w chaos.
Odpowiedź
Może istotne dla dyskusji jest Niespójna matematyka :
to badanie typowych obiektów matematycznych, takich jak zbiory, liczby i funkcje, gdzie niektóre [ podkreślenie dodane ] są dozwolone.
I zobacz dyskusja na temat Arytmetyki :
Niespójna arytmetyka może być traktowana jako alternatywa lub wariant na standardowej teorii, jak geometria nieeuklidesowa.
Standardowe aksjomaty arytmetyki to Peano, a ich konsekwencje – standardowa teoria arytmetyki – nazywa się PA . Standardowy model arytmetyki to N = {0, 1, 2, …} , zero i jego następcy.
Wszystkie spójne modele niestandardowe to np napięcia standardowego modelu, modele zawierające dodatkowe obiekty. Niespójne modele arytmetyki są naturalnym dualnym, w którym model standardowy jest sam w sobie rozszerzeniem bardziej podstawowej struktury, która również sprawia, że wszystkie właściwe zdania są prawdziwe.
Niespójną arytmetykę badał po raz pierwszy Robert Meyer w 1970 roku. s. Tam wziął parakonsystentną logikę R i dodał do niej aksjomaty rządzące następcą, dodawaniem, mnożeniem i indukcją, nadając systemowi R #.
W 1975 roku Meyer udowodnił, że jego arythematyka jest nietrywialna, ponieważ R # ma modele. Przede wszystkim R # ma skończone modele z dwuelementową domeną {0, 1} , z funkcja następcy poruszająca się po bardzo ciasnym okręgu nad elementami.
Takie modele sprawiają, że wszystkie twierdzenia R # są prawdziwe, ale zachowują równania takie jak 0 = 1 po prostu fałszywe.
I co z tego? Może uda nam się przetrwać do (ograniczonego?) ilość niespójności .
Ale zastanów się nad tym h-eksperyment, oparty na intuicyjnym przykładzie wyprowadzonym z analizy Grahama Priesta ogólnej struktury modeli niespójnej arytmetyki:
wyobraź sobie standardowy model arytmetyki, aż do niespójnego elementu
n = n + 1 .
Podejrzewa się, że to n jest bardzo , bardzo duża liczba [ dodano podkreślenie ], " bez fizycznej rzeczywistości lub znaczenia psychologicznego. " W zależności od Twoich upodobań jest to największa liczba skończona lub najmniej niespójna. Dalej wyobrażamy sobie, że dla j, k > n , mamy j = k .
Jeśli w modelu klasycznym j ≠ k , to też jest prawdą; stąd mamy niespójność, j = k i j ≠ k . Każdy fakt dotyczący liczb większych niż n jest prawdziwy dla n , ponieważ po n wszystkie liczby są identyczne z n .
Żadne fakty ze spójnego modelu nie zostaną utracone.
Ale teraz rozważ przypadek, w którym n jest bardzo duży, ale nie " bez znaczenia psychologicznego " i wyobraź sobie, że Twoje konto bankowe powiększa się o kwotę n USD (lub GBP lub cokolwiek).
Od tego momentu konto bankowe nie będzie już rosło, bez " zakłóceń " w zwykłych prawach arytmetyki.
Czy możemy traktować to jako przypadek " wszechświat pogrąży się w chaosie " ?
Odpowiedź
Twierdzenie Gödla mówi z grubsza, że każdy dostatecznie użyteczny system matematyczny jest albo niekompletny, albo sprzeczny, to znaczy albo istnieją twierdzenia, których nie można udowodnić ani obalić, albo są zdania, które można udowodnić zarówno jako prawdziwe, jak i fałszywe.
Istnieje wiele stwierdzeń, których „nie byliśmy w stanie udowodnić prawdziwości lub fałszu (ale może to być spowodowane tym, że nie byliśmy wystarczająco sprytni) i nie udowodniono żadnej sprzeczności (ale może to być również spowodowane tym, że nie były wystarczająco sprytne), więc nie jest niewyobrażalne, że można udowodnić „1 + 1 ≠ 2”. 1 + 1 = 2 byłoby wówczas równoczesnym prawdą i fałszem.
Co by się stało?Zdarzało się wiele przekleństw wśród matematyków. Toczy się wiele dyskusji na temat tego, jak możemy zignorować ten fakt i pozostać z pożyteczną matematyką. Wszechświat by się nie zmienił.
Biorąc pod uwagę pytanie: „1 + 1 = 2” nie może i nigdy nie zostanie obalone (co oznacza, że dowód, który jest niewiele więcej niż prostym zastosowaniem aksjomatów, został udowodniony być niepoprawnym) .Możliwe jest to, że oprócz dowodu, że to prawda, może istnieć również dowód, że jest fałszywy.
Odpowiedź
Matematyka i / lub nauka uległaby poprawie.
Matematycy szukają wzorców i używają ich do formułowania nowych przypuszczeń; prawdziwość lub fałsz przypuszczeń rozwiązują za pomocą matematycznego dowodu ( z wikipedii ). Moglibyśmy argumentować, że 1 + 1 = 2 fragmenty z definicji, a nie z dowodu, który sprawia, że pytanie jest dyskusyjne lub źle sformułowane. Ale Twoje pytanie jest nadal aktualne w szerszym sensie. Dowód matematyczny może być błędny. To już się wydarzyło. To pytanie dotyczące mathoverflow jest pełne historycznych dowodów i przypuszczeń, które nie są poprawne. Kiedy taki błąd zostanie odkryty, nie dzieje się coś, co rozbija wszechświat. Po prostu przestajemy się mylić i stajemy się słuszni, poprawiliśmy naszą wiedzę matematyczną.
Więc powiedzmy, że pracujemy z aksjomatami, które nie zawierają 1 + 1 = 2. I że otrzymujemy 1 + 1 = 2 poprzez rozumowanie matematyczne i ustalamy matematyczny dowód na to. I powiedzmy, dla dobra argumentacji, później odkrywamy, że taki dowód jest błędny, w rzeczywistości 1 + 1 = 3. Nie, to nie wprawiłoby wszechświata w chaos. Wszechświat był tym, czym był, zanim ludzie pojęcie 1 + 1 = 2 (a przynajmniej tak zakładam, tak naprawdę nie byłem tam, aby to zaobserwować, ale mamy wiele dobrych dowodów, które pomagają nam wiedzieć, jak to było). I za każdym razem, gdy dowód matematyczny okazał się nieprawidłowy, wszechświat ma nie został wrzucony w chaos. Zmieniło się nasze rozumienie matematyki. Rozsądne jest założenie, że byłoby takie samo dla 1 + 1 = 3.
Jest jedna rzecz, która została wrzucona w chaos. Matematycy Teraz, gdy wiemy, że 1 + 1 = 2 jest fałszywe, każdy dowód, który od niego zależy, jest błędny. Wadliwy, nie do końca błędny. Stwierdzenia potwierdzone dowodami zależnymi od 1 + 1 = 2 mogą nadal być prawdziwe, ale stare dowody nie posłuży do ustalenia tej prawdy. Wiele materiałów wymagałoby korekty i przepisania, nastąpiłoby wiele dyskusji. Ale wyszlibyśmy mądrzejsi z tego w chaosie.
A co z teoriami naukowymi, które zależą od 1 + 1 = 2 ?. Podobnie jak to opisano w innej odpowiedzi na to pytanie. Nie, to nie zmiotłoby całego wszechświata w subatomową miazgę w dość krótkim czasie. Wszechświat był tym, czym był, zanim odkryliśmy 1 + 1 = 3 i tak będzie nadal (zakładam, że tak się stało w przypadku innych obalonych dowodów). Ponieważ odkrylibyśmy, że stare teorie naukowe nie wyjaśniają właściwie wszechświata, powstałyby lepsze modele.
Odpowiedź
Jeśli takie elementarne rzeczy są poddawane w wątpliwość, więc a fortiori są o wiele mniej elementarnymi rzeczami, takimi jak kroki rozumowania potrzebne do udowodnienia, że jeden i jeden nie sumują się do dwóch. Dlatego rozsądnie byłoby wątpić w jakikolwiek taki dowód. W rzeczywistości zignorowałbym dowód – wraz z kilkunastoma innymi niesamowitymi twierdzeniami, które napotykam każdego dnia – tak jak (podejrzewam) większość innych ludzi.
W rezultacie spodziewałbym się, że dowód mają taki sam wpływ na świat, jak nowa demonstracja trisekcji kąta euklidesowego (taka, jaka była prezentowana wiele razy wcześniej). Oznacza to, że tymczasowo zajęłoby to stosunkowo niewiele osób, które zdecydowałyby się na nie spojrzeć.
Odpowiedź
Krótka odpowiedź: Tak. Gdybyś mógł udowodnić, że takie elementarne i pozornie oczywiste stwierdzenie jest fałszywe, to podważyłoby to wiele z tego, co naszym zdaniem wiemy o matematyce, i prawdopodobnie wiele innych rzeczy o wszechświecie.
I co z tego? Chyba że masz jakieś dowody na to, że to stwierdzenie jest fałszywe, jest to „bezsensowna hipoteza. Rzeczywiście, miałem wiele rozmów, w których ktoś przedstawił mi jakąś hipotezę dotyczącą złożonego tematu, na przykład:„ A co by było, gdyby udowodniono, że ta polityka polityczna że to, co wspierasz, nie działa? ”lub„ A co by było, gdyby Bóg nakazał ci zrobić coś złego? ”itd. A moja odpowiedź jest generalnie mówiąc:„ Nie sądzę, aby hipotetyczna sytuacja, którą opisujesz, prawdopodobnie miała miejsce. A co by było, gdyby ktoś udowodnił, że 1 + 1 = 2 jest fałszem? ”
W ścisłym sensie matematycznym nie rozumiem, jak można udowodnić 1 + 1 = 2 fałsz, ponieważ jest to prawda z definicji. definicja „2” to „1 + 1”. Przynajmniej tego „uczono mnie na zajęciach z teorii liczb”. Biorąc pod uwagę złożoność współczesnej matematyki, prawdopodobnie istnieją inne definicje w innych gałęziach. Ale nie można udowodnić fałszywej definicji. Jest prawdziwa z … definicji.
Odpowiedź
Nic by się nie stało z rzeczywistością – pozostanie tak, jak jest. Jednak wtedy potrzebowalibyśmy zmiany w naszej teorii liczenia, która odbiłaby się echem od innych teorii matematycznych, które są zbudowane na liczeniu. Ponieważ to równanie arytmetyki jest w rzeczywistości definicją dwóch (patrz np. Budowanie arytmetyki w matematycznych systemach aksjomatów), dowód, że to równanie jest błędne, oznaczałby, że nie możemy poprawnie dodać jednego i jednego ( a dokładniej, każdy system aksjomatów, który pozwala nam dodać jeden i jeden, jest logicznie niespójny). Wymagałoby to od nas sformułowania alternatywnych aksjomatów matematycznych, które pozwolą uniknąć niespójności. Rzeczywistość ciągnęłaby się tak samo normalnie, gdy próbowaliśmy to rozgryźć.
Odpowiedź
Nie można obalić aksjomatu , a aksjomaty Peano stwierdzają, że 1 + 1 = 2.
Przełączanie kontekstu, w logice boolowskiej + oznacza coś innego, a 1 + 1 = 1.
Komentarze