Próbuję użyć drugiego prawa Keplera, aby znaleźć czas trwania orbity Wenus. Zakładam orbity kołowe (używając Ziemi i Wenus, więc mała ekscentryczność). Oto mój proces:
Zakładając, że promień orbity Ziemi wynosi 150 milionów km, obszar przetarty w ciągu jednego dnia wynosi $ \ frac {1} {365.25} \ times \ pi \ times 150 ^ 2 \ approx 194 \ text {mln km} ^ 2 $ .
Wenus musi omiatać ten sam obszar w tym samym czasie. Zakładając orbital promień 108 milionów km dla Wenus i używając $ A = \ frac {\ theta} {360} \ pi r ^ 2 $ , możemy znaleźć środkowy kąt dla wycięty sektor, czyli kąt przebyty w ciągu jednego ziemskiego dnia:
$ 194 = \ frac {\ theta} {360} \ pi \ times108 ^ 2 \ implikuje \ theta = 1,90 ^ {\ circ} $ na ziemski dzień.
W związku z tym okres orbitalny powinien wynosić $ \ frac {360} {1,90 } \ około 189 $ ziemskich dni.
Oczywiście okres orbitalny Wenus wynosi 224,7 $ ziemskich dni. Różnica między 189 i 224.7 wydaje się znacznie wykraczać poza błąd wprowadzony przez moje założenie o orbitach kołowych.
Co robię źle?
Wiem, że jest to prawdopodobnie okrężny sposób wykonywania tych obliczeń. Moim celem jest napisanie ćwiczenia matematycznego, które w znaczący sposób wykorzystuje obszar sektorów.
Komentarze
Odpowiedz
Prawa Keplera stwierdzają, że planeta omiata równe obszary w równych czasach, gdy porusza się po swojej eliptycznej orbicie. Nie stwierdza, że różne planety omiatają ten sam obszar.
Prawo „równych obszarów” można wyprowadzić „zachowanie momentu pędu”. W rzeczywistości dA / dt = L / (2m) (gdzie A to powierzchnia, L to moment pędu, a m to (zredukowana) masa).
Różne planety będą zamiatać różne obszary. Aby obliczyć okres, w którym zastosowałeś trzecie prawo Keplera: $ T ^ 2 = ka ^ 3 $ (T = okres orbitalny, a = półoś wielka). Jeśli , dla wygody przyjmujesz A w AU i T w latach ziemskich, a następnie stałą $ k = 1 $ .
Dla Wenus, a = 0,72 . więc $ T = \ sqrt {0.72 ^ 3} = 0.61 $ czyli około 223 dni.
Hiperfizyka ma sekcję o Prawa Keplera
+1za pokazanie całej pracy i zadawanie bardzo jasnych pytań!