Pozwólcie, że najpierw przypomnę wam (lub może przedstawię) kilka aspektów mechaniki kwantowej w ogóle jako modelu f lub systemy fizyczne. Wydaje mi się, że na wiele pytań można odpowiedzieć dzięki lepszemu zrozumieniu tych ogólnych aspektów, a następnie odwołaniu się do tego, jak systemy spinów wyłaniają się jako przypadek specjalny.

Ogólne uwagi o stanach kwantowych i pomiarach.

Stan systemu kwantowego jest modelowany jako element o długości jednostki $ | \ psi \ rangle $ złożonej przestrzeni Hilberta $ \ mathcal H $, specjalnego rodzaju przestrzeni wektorowej z iloczynem wewnętrznym. Każda obserwowalna wielkość (jak pęd lub spin) związana z takim systemem, której wartość można chcieć zmierzyć, jest reprezentowana przez operator samosprzężony $ O $ na tej przestrzeni. Jeśli ktoś zbuduje urządzenie do pomiaru takiego obserwowalnego i jeśli użyje tego urządzenia do wykonania pomiaru tego obserwowalnego w systemie, wówczas maszyna wyświetli wartość własną $ \ lambda $ tego obserwowalnego. Co więcej, jeśli system jest w stanie $ | \ psi \ rangle $, to prawdopodobieństwo, że wynik pomiaru tej ilości będzie wartością własną obserwowalnej, wynosi \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} gdzie $ | \ lambda \ rangle $ jest znormalizowanym wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej $ \ lambda $.

Specjalizacja w układach spinowych.

Załóżmy teraz, że rozważany przez nas system składa się ze spinu cząstki. Przestrzeń Hilberta, która modeluje stan spinowy układu o spinie $ s $ jest przestrzenią Hilberta o wymiarach 2 $ + 1 $. Elementy tej przestrzeni wektorowej są często nazywane „spinorami”, ale nie pozwól, aby cię to rozpraszało, są one jak każdy inny wektor w przestrzeni Hilberta, którego zadaniem jest modelowanie stanu kwantowego układu.

Podstawowymi obserwablami, których pomiar zwykle omawia się dla układów spinowych, są składowe kartezjańskie spinu układu. Innymi słowy, istnieją trzy operatory samosprzężone, umownie zwane $ S_x, S_y, S_z $, których wartości własne są możliwymi wartościami można by się spodziewać mierząc jedną z tych składowych spinu systemu. Widmo (zbiór wartości własnych) każdego z tych operatorów jest takie samo.Dla systemu spinów $ s $ każde z ich widm składa się z następujących wartości: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} gdzie w mojej notacji $ i = x, y, z $. Na przykład, jeśli zbudujesz maszynę do pomiaru składowej $ z $ spinu systemu spin-1 $, wtedy maszyna zwróci jedną z wartości ze zbioru $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ za każdym razem. Odpowiadając każdej z tych wartości własnych, każdy operator składowej spinowej ma znormalizowany wektor własny $ | S_i, m_i \ rangle $. Jak wskazują powyższe uwagi ogólne, jeżeli stan układu to $ | \ psi \ rangle $, a chcemy poznać prawdopodobieństwo, że pomiar składowej spinu $ S_i $ da pewną wartość $ m_i \ hbar $ , a następnie po prostu obliczamy \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Na przykład, jeśli system ma spin-$ 1 $ i jeśli ktoś chce wiedzieć, że pomiar $ S_y $ da wartość własną $ – \ hbar $, wtedy oblicza się \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Kołpaki.

W powyższym kontekście spinory są po prostu macierzowymi reprezentacjami stanów określonego systemu spinów w pewnej uporządkowanej podstawie, a macierze spinowe Pauliego są, aż do normalizacji, reprezentacjami macierzowymi operatory komponentu spinu w tej podstawie, szczególnie dla systemu o spinie – 1/2 $. Reprezentacje macierzowe często ułatwiają obliczenia i zrozumienie pojęciowe, dlatego ich używamy.

Bardziej szczegółowo, załóżmy, że rozważa się system typu spin-1/2 $, a wybiera się reprezentowanie stanów i obserwabli w bazie $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ składające się ze znormalizowanych wektorów własnych składowej spinu $ z $, to w tej bazie można znaleźć następujące reprezentacje macierzowe \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Zauważ, że te reprezentacje są dokładnie macierzami Pauliego aż do dodatkowego czynnika $ \ hbar / 2 $. Co więcej, każdy stan systemu byłby reprezentowany przez macierz $ 2 \ razy 1 $ lub „spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} I można by użyć tych reprezentacji do przeprowadzenia obliczeń, o których mowa powyżej.

Komentarze

• Dziękuję bardzo; to bardzo pomogło mi w zrozumieniu. Czy to tylko konwencja, że stany własne zwracające ujemne wartości własne są spinem ' w dół ' i dodatnim spinem ' w górę '? Aby sprawdzić, czy rozumiem, ' próbowałem obliczyć przykład, którego użyłem powyżej: czy to prawda, że cząstka o spinie 1, której zmierzona wartość znajduje się w wymiarze x (wartość własna hbar), będzie być w stanie znormalizowanym < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > i prawdopodobieństwo wymiaru az pomiar powracający w górę będzie wtedy 1/4, a zwracający spin zero będzie równy 1/2, a dół 1/4?
• +1 Szczególnie podoba mi się twoje ” maszyny ” w pierwszym akapicie – bardzo feynmański w smaku. Przez wiele lat starałem się ” zrozumieć ” QM: matematyka i teoria kłamstw były dla mnie przyzwyczajeniem, ale zajęło mi to dużo czasu aby zrozumieć, że ” operatory ” to nie tylko operatory, ale także specjalny przepis na ich interpretację jako modele ” maszyny pomiarowe „. Niestety, nie potrafię ' przypomnieć sobie, czy to wykłady Feynmana czy Sakurai przekazały wiadomość, czy też rzeczywiście była to mieszanka tych dwóch w moich myślach pod prysznicem lub podczas chodzenie, ale to właśnie teraz polecam ludziom.

Grupy to abstrakcyjne struktury matematyczne, zdefiniowane według ich topologii (w przypadku grup ciągłych (Lie)) i operacji mnożenia.

Ale mówienie o grupach abstrakcyjnych jest prawie niemożliwe. Dlatego zwykle elementy grup są odwzorowywane na operatory liniowe działające na pewnej przestrzeni wektorowej $ V $:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

gdzie G to grupa, $ \ text {End} (V) $ to endomorfizmy (operatory liniowe) na $ V $, a $ \ rho (g) $ to mapowanie .Aby to mapowanie miało sens, musimy poprawnie odwzorować mnożenie grupy:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Odwrotność jest również odwzorowywana na

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

a tożsamość grupy to po prostu

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Nazywa się to reprezentacją grupy $ G $. $ V $ przekształca się pod reprezentacją $ \ rho $ grupy $ G $.

W twoim przypadku interesująca nas grupa to grupa obrotów w 3 wymiarach, która jest zwykle oznaczana jako SO (3). Naszym celem jest znalezienie różnych obiektów, które można obracać, tj. Reprezentacji (i przestrzeni reprezentacji) SO (3).

Jedną z takich reprezentacji jest reprezentacja definiująca (która jest używana do definiowania SO (3)) lub reprezentacja wektorowa. W tym przypadku $ V $ to tylko $ R ^ 3 $, a macierze z $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ są ortogonalnymi $ 3 \ razy 3 $ macierzami z wyznacznikiem jednostek:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Zatem wektory można obracać w 3 wymiarach. Wynik takiego obrotu o $ g \ in \ text {SO (3)} $ jest określany przez działanie na wektorze początkowym za pomocą operatora $ \ rho (g) $.

Inną reprezentacją jest spinor reprezentacja. Przestrzeń wektorowa jest teraz dwuwymiarowa i złożona . Obraz tej reprezentacji składa się z jednostkowych 2 $ \ razy 2 $ z wyznacznikiem jednostki:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Ta reprezentacja nie jest tak oczywista jak poprzednia, ponieważ spinory są czymś, czego zwykle nie widzimy w życiu codziennym. Można jednak dowieść matematycznie, że te reprezentacje są izomorficzne, a zatem są to dwie różne reprezentacje tej samej grupy (właściwie są one homomorficzne, a reprezentacja spinorowa jest podwójnym pokryciem reprezentacji wektorowej).

A teraz do macierzy Pauliego. Jest ogólna zasada: dla każdej grupy Liego $ G $ istnieje odpowiadająca jej liniowa przestrzeń (algebra Liego) z nawiasem Lie (operacja antyprzemienna spełniająca tożsamość Jacobiego), która w unikalny sposób odwzorowuje jakieś sąsiedztwo jedności grupy $ G $. To odwzorowanie nazywa się wykładniczym.

A więc możesz napisać dowolną (na tyle bliską jedności, aby uniknąć globalnych problemów topologicznych) $ 2 \ razy 2 $ złożona macierz fr om reprezentacja spinora w formie

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

gdzie $ \ alpha ^ a $ to trzy liczby, które parametryzują element grupy, którego reprezentacją jest $ A $, a $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ są podstawą algebry Liego, gdzie $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ times Macierze 2 $ Pauliego. To równanie w dużym stopniu określa, w jaki sposób spinor jest przekształcany w ramach dowolnego obrotu.

W reprezentacji wektorowej istnieje również podstawa algebry Liego, która składa się z 3 $ 3 \ razy 3 $ macierzy.

Istnieją dwie inne interpretacje macierzy Pauliego, które mogą okazać się pomocne, chociaż dopiero po zrozumieniu doskonały opis fizyczny JoshPhysics . Poniższe można traktować bardziej jako ” ciekawe ciekawostki ” (at przynajmniej uważam je za interesujące) na temat macierzy Pauliego, a nie fizycznej interpretacji.

1. Jako podstawa dla $ \ mathfrak {su} (2) $

Pierwsza interpretacja jest różnie postrzegana jako (i) są to jednostki kwaternionów, modulo zmiana znaku i zmiana kolejności matematycznej definicji te bestie , (ii) jako podstawa algebry Lie $ \ mathfrak {su} (2) $ z $ SU (2) $ , gdy użyjemy macierzy wykładniczej do odzyskania grupy $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ do (iii) trójwymiarowe uogólnienie Twierdzenie De Moivrea .

Ogólna, bezśladowa, $ 2 \ times2 $ skośna macierz hermitowska $ H $ można jednoznacznie rozłożyć jako:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

z $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Ta macierz spełnia charakterystyczne równanie $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , gdzie $ \ mathrm {id} $ to $ 2 \ times2 $ tożsamość i $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Tak więc, jeśli zastosujemy uniwersalnie zbieżną macierz wykładniczą szereg Taylora, a następnie zredukujemy wszystkie potęgi $ H $ wyżej niż wyraz liniowy z równaniem charakterystycznym, otrzymamy:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

co jest postrzegane jako uogólnienie De Wzór Moivrea na ” czystą wyimaginowaną ” jednostkę

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

i wszyscy członkowie $ SU (2) $ mogą być realizowani przez wykładnik, taki jak w (2) (ale pamiętaj, że wykładnik algebry Liego, chociaż w tym przypadku całość $ SU (2) $ , nie zawsze jest całą grupą Lie, chyba że ter jest (i) połączony i (ii) zwarty). W ten sposób każdy element składowy $ SU (2) $ może zostać rozłożony na ” superpozycję o długości jednostki macierzy Pauliego i macierz tożsamości.

Powód wystąpienia czynnika 2 w definicji $ \ theta / 2 $ jest jak dotąd tajemniczy: zobacz, że na potrzeby z powyższego, równie łatwo moglibyśmy zastąpić $ \ theta / 2 $ przez $ \ theta $ . Przyczyna jest związana z relacją między matrycami Pauliego a sferą niebieską, o której będę mówić później. Quaternions reprezentują obroty na mapie obrotowej ( ALE , jak radzi Joshphysics, nie rozpraszaj się zbytnio tym słowem); jeśli wektor w przestrzeni 3 jest reprezentowany przez czysto urojoną kwaternion w postaci $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , a następnie jego obraz pod kątem $ \ theta $ wokół osi o kierunku cosinus $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ jest określona przez:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Ta mapa spinor jest przykładem grupy $ SU (2) $ działa na własną algebrę Liego poprzez reprezentację sprzężoną. Można to intuicyjnie rozumieć w kategoriach reguła trójkąta do obliczania kompozycji dwóch obrotów, jak naszkicowałem na poniższym diagramie. Łuki na kuli jednostkowej reprezentują obrót o kąt dwa razy większy od kąta wyznaczonego przez łuk na początku.

Szczegółowo wyjaśniam to w Przykład 1.4 ” $ 2 \ times2 $ Unitary Group $ SU (2) $ ” na mojej stronie internetowej ” Kilka przykładów połączonych grup kłamstw ” tutaj .

Jest też moja interaktywna demonstracja Mathematica ” $ SU (2) $ Mapa obrotowa: skład rotacji według trójkątów kwaternionów graficznych w witrynie Wolfram Demonstrations .

2. Sfera niebieska

Poprzez rozszerzenie 3-wymiarowej przestrzeni liniowej superpozycji macierzy Pauliego (która jest taka sama jak przestrzeń liniowa bezśladowej $ 2 \ times2 $ macierze skośno-hermitowskie) do 4-wymiarowej przestrzeni rozpiętej przez macierze Pauliego i macierze tożsamości, a następnie dowolna transformacja z grupy $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ działa na wektorach postaci $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ przez tę samą mapę obrotową jak w (4). Jeśli ograniczymy się do promieni projekcyjnych w tej przestrzeni, grupa $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ , izomorficzna z grupą Moebiusa Transformacje Möbiusa oddziałują na tę przestrzeń promieni dokładnie w taki sam sposób, jak transformacje Möbiusa (liniowe ułamkowe) oddziałują na kulę Riemanna. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ to podwójna okładka grupy Lorentza i możesz obliczyć, jak zmienia się widok kosmonauty ulegają transformacjom Lorentza. Zobacz sekcję ” Transformacje Lorentza ” w Wikipedii ” Transformacja Möbiusa ” strona , aby uzyskać więcej informacji.

Ogólne mechaniczne wyjaśnienie. Pola i fale są zgodne z równaniami hiperbolicznymi (równaniami falowymi). Reprezentują postęp w czasie i przestrzeni i jako takie nie mogą reprezentować masy, która musi być nieruchoma, ale może również obracać się. Taki ruch wymaga równania eliptycznego. Na przykład równanie Kline-Gordona jest hiperboliczne, podczas gdy równanie Diraca jest eliptyczny. W płynących płynach istnieje równoległy przykład. Zawirowania i turbulencje nie mogą tworzyć się bez pomocy granicy – aby odchylić przepływ od przejścia do stanu krążenia. Pierwszy obszar jest hiperboliczny, a drugi eliptyczny.

Teraz, aby utworzyć cząstkę (energię wirującą) z pola (poruszającego się w pozycji), musimy odchylić / obrócić kierunek pola. W tym miejscu po pomoc przychodzą macierze Pauliego, które dają wymaganą eliptyczność. Dlatego używane są liczby urojone / rotacja. Mnożenie ilości przez i obraca ją o 90 stopni, dla ogólnego kąta używamy wykładnika ilości urojonej.

Później, kiedy mieszamy Lagrangea fal i cząstek w bardziej ogólnym modelu, cofamy do wykorzystania Higgsa do wykonania tego samego zadania, polegającego na przekształcaniu jednego rodzaju energii w inny – czyli z pól w cząstki i odwrotnie.