Co rozumiemy przez termin “ Liczba rzeczy ”?

Książka jest bardzo stara: wydanie drugie, 1903; Wydanie pierwsze 1890.

Jak widać w przypisie na stronie 131, Cantor i Dedekind są wymieniani jako „interesujący wkład w literaturę przedmiotu” …

Zatem nie możesz spodziewaj się, że pojęcia wprowadzone na początku bez definicji, używane jako prymitywne w celu „wyjaśnienia” następującego traktowania, można dokładnie przełożyć na współczesne (tj. po 1930 r.) pojęcia teorii mnogości. p>

Myślę, że:

grupa musi oznaczać skończoną kolekcję obiektów (rzeczy)

i że:

liczba rzeczy w grupie jest „wyraźnie” (z dyskusji) odpowiednikiem współczesnej liczności (ograniczonej do skończonych zbiorów) i nazywana jest „własnością” zbiór (grupa).

Moja interpretacja jest taka, że rzeczy są „indywidualne”, konkretne lub abstrakcyjne (jeśli istnieją). Oczywiście łatwo o nich myśleć jak o konkretnych przedmiotach, jak kule w kieszeni czy żołnierz w plutonie.

Pluton to grupa żołnierzy, a liczba rzeczy w plutonie to liczba poszczególnych żołnierzy tworzących go.

Ta interpretacja ma sens również w odniesieniu do późniejszej definicji dodawania (patrz CoolHandLouis ”).

Proszę zauważyć, że tutaj grupa ma„ ogólne ”znaczenie zbioru lub agregacji; nie ma to nic wspólnego z technicznym terminem„ grupa ” teoria grup .

Kiedy „abstrahujemy” od „znaków” poszczególnych rzeczy (tj. określamy ich indywidualne właściwości, takie jak kolor, rozmiar, kształt kolekcji piłek) i z kolejności obiektów w kolekcji (to samo dotyczy „nowoczesnego” zestawu : {A, B, C} to „ten sam” zestaw co {C, B, A} ) otrzymujemy „liczbę” rzeczy w grupie (liczbę członków kolekcji).

Pamiętaj r, że oryginalną notacją Cantora do reprezentowania liczby kardynalnej zbioru A była „podwójna kreska” nad A:

symbol zestawu z adnotacją pojedynczym overbarem nad wskazanym A, pozbawiony jakiejkolwiek struktury poza kolejnością, stąd reprezentował typ zamówienia zestawu. Podwójna kreska nad literą A wskazywała wówczas na usunięcie zamówienia ze zbioru, a tym samym wskazanie numeru kardynalnego zestawu.

Komentarze

• Co rozumiemy pod pojęciem liczba rzeczy w ogólnym języku angielskim?
• @Anupam – przepraszam, ale ' nie jestem rodzimym językiem angielskim. Przeszukałem ' na Słownik Cambridge online : nie ma bezpośredniej parafrazy: najbardziej podobna fraza I ' znalazłem ” kilka rzeczy określonego typu: z kilku powodów zdecydowałem się nie iść. ” Musimy używać języka Fine ' jako prymitywnego ” terminu technicznego „.
• Myślę, że ” grupa ” to nie ” zestaw ” naszej współczesnej matematyki. Zbiór to zbiór abstrakcyjnych obiektów z drugiej strony ” grupa ” to zbiór rzeczy (które nie są abstrakcyjne). Teoria mnogości nie ma nic wspólnego z moim pytaniem.
• Nie ' nie czytałem tej pracy, ale jako ktoś z bardziej matematycznym tłem zdanie musi oznaczać skończoną kolekcję obiektów (rzeczy) ” przyprawia mnie o dreszcze.
• @JamesKingsbery – ale ” grupa ” tutaj nie jest przeznaczona jak w teorii grup ; znaczenie to ” colelction ” lub ” agregacja ” pojedynczych obiektów.

Przedmowa

Podałem dwa odpowiedzi na to pytanie:

• Inna odpowiedź jest lepszą odpowiedzią i jest moją podstawową odpowiedzią. To sugeruje, że pan Fine odnosi się do naiwnej teorii mnogości.

• Podałem tę odpowiedź , ponieważ OP nalegał na myślenie o {A, A, A} jako zawierającym „trzy odrębne elementy ”i wystawił nagrodę. W innym przypadku nie było absolutnie żadnego przekonującego OP, więc dlaczego nie zgodzić się i nie otrzymać nagrody? 🙂

  Te dwie odpowiedzi właściwie się uzupełniają, ponieważ pokazują, jak można opisać te same zjawiska matematyczne, zmieniając aksjomaty, definicje i reguły w różnych miejscach. Mówisz TOE MAY TOE, ja mówię TOE MAH TOE. Jak się okazuje, ta odpowiedź zawiera ładny„ matematyczny dowód ”, że pan Fine pomyślał, że {A, A, A} reprezentuje trzy różne elementy”. Nie krępuj się jednak przeczytać z przymrużeniem oka odpowiedź.

Anupam,

Masz rację Panie Dobrze uważa {A, A, A} = 3.

Przesyłam kolejną odpowiedź, ponieważ rozgryzłem to, ale chciałem zostawić moją starą odpowiedź ze względu na historię. Masz rację! Henry Burchard Fine miał na myśli trzy konkretne rzeczy, więc {A, A, A} liczy się jako trzy. Jego stwierdzenie nie może być błędne, ponieważ jest to jego główna przesłanka uzasadniająca całą jego arytmetykę liczbową – podstawę całej jego książki – począwszy od dodania:

Dodawanie: Jeśli dwie lub więcej grup rzeczy zostanie połączonych, aby utworzyć jedną grupę, symbol liczbowy tej grupy nazywany jest sumą liczb oddzielnych grup.

Jeśli suma wynosi s, a numery oddzielnych grup abc itp. relacja między nimi jest symbolicznie wyrażona równaniem s = a + b + c + etc, w którym grupa sumaryczna ma zostać utworzona przez przyłączenie drugiej grupy, do której należy b najpierw trzecia grupa, do której c należy do grupy wynikowej itd.

Operacją znajdowania s, gdy znane są abc itd., jest dodawanie. Dodawanie jest liczeniem skróconym.

6 Dodawanie Jeśli dwie lub więcej grup rzeczy należy zebrać razem tak, aby utworzyły jedną grupę symbol liczbowy tej grupy nazywany jest sumą liczb oddzielnych grup Jeżeli suma wynosi s i odpowiednio numery oddzielnych grup abc itd. relacja między nimi jest symboliczna wyrażone równaniem sab c + itd., gdzie grupa sumaryczna ma być utworzona przez dołączenie do drugiej grupy, do której należy b, do pierwszej, trzeciej grupy, do której c należy do grupy wynikowej itd. znane jest dodawanie Dodawanie jest liczeniem skróconym

• Biorąc pod uwagę a, b, c to „grupy / zestawy”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Niech d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Suma (d) = Suma (a) + Suma (b) + Suma (c)

• Teraz zdefiniuj grupy / zestawy w następujący sposób:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Suma (d ) = Suma (a) + Suma (b) + Suma (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Dlatego pan Fine „s” operator unii „musi tworzyć d = {A, A, A} i sumę ({A, A, A}) = 3.

• Jeśli „operator sumy” pana Finea był normalną notacją zbioru, to d = {A} i nie ma możliwości uzyskania z tego „3”.

Dlatego pan Fine rozważa {A, A, A} = 3.

Dzieje się tak, gdy A reprezentuje odrębne konkretne przedmioty, takie jak 3 monety w kieszeni.

Komentarze

• Nie ' nie sądzę, żeby to był właściwy wniosek. Myślę, że Fine po prostu zakłada, że kiedy ” łączymy grupy ” w celu sumowania, ” grupy ” są rozłączne.
• Czy przyjmujesz literę $ A $ jako ” abstrakcyjny obiekt ” lub ” konkretny obiekt „. Jeśli $ A $ zostanie przyjęte jako ” obiekt abstrakcyjny „, to $ a $, $ b $ i $ c $ będą miały 1 $ , 1,1 $ liczba rzeczy w nich, ale $ d $ nie będzie miała 3 $ liczby rzeczy, ponieważ termin Liczba rzeczy jest zdefiniowany tylko dla ” grupy ” mające odrębne rzeczy. Jeśli przyjmiesz $ ” A ” $ jako ” konkretny obiekt ” to wszystko jest w porządku.
• +1 Do twojego komentarza nad Anupam!Anupam, to prawdopodobnie najlepsze pytanie, jakie ' zadałeś w komentarzach! Brawo i +1 do tego pytania! Cała moja odpowiedź zależy od tego, co miałem na myśli! Oznacza to, że nie możesz być pewien, czy to jest poprawne, czy nie, chyba że powiem ci, czy miałem na myśli ” streszczenie ” czy ” beton „. Świetnie! Uwielbiam to! Myślę, że jest to analogia z pierwotnym pytaniem dotyczącym intencji, co miał na myśli pan Fine.
• ” A ” to konkretny obiekt.

Praca, która najpierw przychodzi na myśl Filozofia arytmetyki Edmunda Husserla. Omawia on z pewnymi szczegółami oczywistą trudność związaną z liczbami: aby policzyć liczone rzeczy, muszą być różne (więc może być więcej niż jedna) i to samo (liczysz pewne rzeczy). Kiedy mówię „trzy jabłka”, wszystkie są takie same w jednym sensie (to są jabłka), a wszystkie są różne w innym (są trzy z nich, wyróżniające się przestrzenią związek, jeśli nic innego)

Istnieje jednoczesna „wielość” i „jedność”. To prowadzi do pytania „to samo w jaki sposób i inaczej w jaki sposób”.

Z tej książki najbardziej pamiętam dyskusję na temat różnic i rozróżnień. Warto o tym porozmawiać. Istnieją dwa terminy, które można zestawić ze sobą: „inny”, „rozróżniony”.

• Aby odróżnić dwie rzeczy , musimy osąd
• Odmienny jest warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym, aby można było coś rozróżnić.

W matematyce wyróżnia się wszystko, co jest różne, i rozważa się całość różnych rzeczy. Pozwala to uniknąć trudnej części: ludzkiego osądu.

Ten osąd jest dla nas często łatwy. Jasne jest, że postrzegamy wiele rzeczy jako odrębnych i że świat „krystalizuje się” w przedmioty. Chociaż to postrzeganie nie zawsze jest wszystko, co jest potrzebne do rozróżnienia rzeczy, w większości codziennych sytuacji wystarczy, tylko w skrajnych przypadkach, gdy musimy wyjść poza wygląd obiektów rozdzielonych w przestrzeni i użyć innego sposobu oceny.

Umiejętność rozróżniania rzeczy jest głównym tematem naukowej dziedziny psychofizyki, czyli tak naprawdę pojawił się około 1890 roku i trwa do dziś. Było wiele pism filozoficznych na temat tej ludzkiej zdolności, w rzeczywistości uważam, że jest to główna kwestia filozofii (inni mogą się z tym nie zgodzić).

Aby odpowiedzieć bezpośrednio na Twoje pytanie: matematyka wyklucza ludzką ocenę, więc podczas tworzenia formalnego systemu musimy zacząć po dokonaniu oceny – robimy to zakładając, że wszystkie jego obiekty są rozróżnialne od siebie. Jeśli obiekty w matematyce nie są rozróżnialne, uważa się je za takie same. Nie dotyczy to rzeczy rzeczywistych, które mogą być różne, ale nie mogą być rozróżniane.

Uwaga: Szczegóły tego, jak arytmetyka zostaje oderwana od ludzkich sądów, są omówione w dalszej części książki Husserla. Naprawdę nie jestem w stanie tego wyrazić tutaj. Myślę, że mogą być z tym pewne problemy w świetle ostatnich badań naukowych „liczności” . Nie jestem jasne, że jeszcze.

Komentarze

• Problem z ” One-over-many ” sięga czasów Platona; zobacz Argument trzeciego człowieka , ale daje nam niewielki wgląd w to, czym są liczby i jak wspierają ” proces ludzki ” liczenia. Matematyka może określić liczby jako prymitywne lub spróbować ” wyjaśnić ” je za pomocą teorii mnogości, używając pojęć korespondencji (liczebniki główne) i porządku (liczebniki porządkowe). Ale wciąż jest problem: czym są liczby i dlaczego możemy ” zastosować je ” do rzeczywistości zewnętrznej?
• @MauroALLEGRANZA Tak, to ' jest stare, to ' to główne pytanie;) Reszta Husserl ' dotyczy związku między abstrakcyjną arytmetyką a światem, dlatego ' wspominam o tym, a nie o czymkolwiek innym. Nie ' nie szczegółowo opisałem, ponieważ jest to 1) dość techniczne (główny powód) 2) prawdopodobnie źle i 3) nie trzeba wyjaśniać ” Dlaczego Mr. Fine ograniczył ten termin tylko do tych grup, które mają wszystkie odrębne elementy. ”
• I ' nie mówię, że Husserl się mylił … Moje osobiste zrozumienie jest takie, że Fine (1890!) próbował ” wyjaśnić ” koncepcję unikania liczb ” platonista ” smak, tj. Unikanie wszelkich odniesień do ” abstrakcyjnych ” obiektów. Nie jestem ' przekonany, że Platon miał rację … ale ' jestem przekonany, że do tej pory nie rozsądny argument dla ” wyjaśniający ” znalezione liczby, aby uniknąć wszelkich odniesień do ” streszczenie ” obiekty lub koncepcje.
• @MauroALLEGRANZA Nie ' nie chciałem powiedzieć, że tak było. Husserl raczej krytycznie odnosi się do idei, że liczby powinny być ograniczone do obiektów fizycznych (w szczególności Mill), mówi „, zwykła aluzja do aktów lub stanów psychicznych, które z pewnością można policzyć równie dobrze jak zawartość fizyczną, obala [this] „. Gdyby można było policzyć abstrakcyjne obiekty, teoria, która pomija odniesienia do abstrakcyjnych obiektów, byłaby niekompletna. Ale może ' nie do końca cię rozumiem.
• Znowu się z tobą zgadzam; I ” kocham ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” Podstawy arytmetyki: logiczno-matematyczne badanie pojęcia liczby „), Breslau, 1884, gdzie on ” zburzono ” Mill ' empiryczną teorię liczb. Były połączenia (i kontakty) między H i F; zobacz Claire Ortiz Hill, Husserl czy Frege? Znaczenie, obiektywizm i matematyka .

Przedmowa

Podałem dwie odpowiedzi na to pytanie:

• Ta odpowiedź jest lepszą odpowiedzią i sugeruje, że pan Fine ma na myśli naiwną teorię mnogości. Poza tym nie ma tu wielkiej próby rygoru, a pan Fine po prostu przeskakuje do interesującego go tematu. Ta odpowiedź jest moją podstawową odpowiedzią.

• Podałem inna odpowiedź w ten sam wątek, ponieważ OP nalegał na myślenie o {A, A, A} jako zawierającym „trzy różne elementy” i wystawił nagrodę. W innym przypadku nie było absolutnie żadnego przekonującego OP, więc dlaczego nie zgodzić się i nie otrzymać nagrody? 🙂

  Te dwie odpowiedzi właściwie się uzupełniają, ponieważ pokazują, jak można opisać te same zjawiska matematyczne, zmieniając aksjomaty, definicje i reguły w różnych miejscach. Mówisz TOE MAY TOE, ja mówię TOE MAH TOE. Jak się okazuje, druga odpowiedź zawiera ładny „matematyczny dowód”, że Pan Dobra myśl {A, A, A} reprezentuje trzy różne elementy. Może być interesujące zobaczyć, jak broniłem takiej propozycji.

1. Książka odwołuje się do naiwnej teorii mnogości

Poniższy link do Książek Google jest łatwiejszy do odniesienia: System liczbowy algebry: traktowany teoretycznie i historycznie „ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, opublikowane 1907). Poniżej znajduje się fragment tej książki z 1907 roku, o którym mowa:

I. POZYTYWNA CAŁOŚĆ I PRAWA REGULUJĄCE DODAWANIE I MNOŻENIE DODATNYCH CAŁKÓWEK

1 liczba. Mówimy o pewnych odrębnych rzeczach, że tworzą one grupę (przez grupę mamy na myśli grupę skończoną, czyli taką, której nie można połączyć w jedną korespondencję 2 z jakąkolwiek częścią siebie), gdy razem uczynimy z nich pojedynczy obiekt naszej uwagi.

Liczba rzeczy w grupie jest tą własnością grupy, która pozostaje niezmieniona podczas każdej zmiany w grupie, która zachodzi nie niszczyć separatenów s rzeczy od siebie lub ich wspólnej odrębności od wszystkich innych rzeczy.

Takie zmiany mogą być zmianami we właściwościach rzeczy lub ich ułożeniu w grupie. Znowu zmiany układu mogą być zmianami w kolejności rzeczy lub w sposobie, w jaki są one powiązane ze sobą w mniejszych grupach.

Możemy zatem powiedzieć: Liczba rzeczy w każda grupa różnych rzeczy jest niezależna od postaci tych rzeczy w kolejności, w jakiej mogą być ułożone w grupie i od sposobu, w jaki mogą być ze sobą połączone w mniejsze grupy.

2 Równość liczbowa. Liczba rzeczy w dowolnych dwóch grupach różnych rzeczy jest taka sama, gdy dla każdej rzeczy w pierwszej grupie jest jedna w drugiej i odwrotnie dla każdej rzeczy z drugiej grupy na początku. Zatem liczba liter w dwóch grupach A, B, C; D, E, F, to to samo … [Mr. Fine nadal mówi o korespondencji 1 do 1 – CoolHandLouis] …

To jest dla każdego, kto bierze udział w kursie „Teoria mnogości 101” na poziomie początkującym, jest jasne, że ta książka opisuje podstawy teorii mnogości. Możemy śmiało powiedzieć, że odniesienia pana Finea „do„ grupy ”są dokładnie i dokładnie tym, co jest obecnie znane jako„ zbiór ”, a do„ elementów ”, kiedy opisywał„ różne rzeczy ”. (Na marginesie, to cały post faktycznie odnosi się do czegoś, co nazywa się „Naiwną teorią mnogości”, ale nie ma to znaczenia dla tego pytania / odpowiedzi).

Biorąc pod uwagę, że Mr. Fine odnosi się do teorii mnogości, a jego książka została napisana w 1907 roku , moja pierwsza sugestia jest taka, aby całkowicie zapomnieć o Panu Fine i poszukać w Google dobrych referencji dla ” teoria mnogości „dla początkujących , a także obejrzyj kilka krótkich filmów na ten sam temat.

Przypis pana Finea” Przez grupę rozumiemy grupę skończoną, to taki, którego nie można połączyć w jeden do jednego w korespondencji z jakąkolwiek częścią samego siebie „jest bardzo mocnym dowodem, że mówi o (naiwnej) teorii mnogości.” Oczywiście unika nieskończonych zbiorów i opiera się na historii teorii mnogości, że może być dla pol ityczne powody. Nie ma powodu, aby był kontrowersyjny na tym etapie swojej kariery i każdy powód, aby grać bezpiecznie, zwłaszcza w przypadku tej książki.

Ale to jest meta-odpowiedź. Oto prawdziwa odpowiedź:

2. Odpowiedź na pytanie – wprowadzenie

Najpierw ustandaryzujmy pozostałą część tego postu na język XXI wieku: Zbiór to zbiór różnych elementów. Nie mówmy już więcej o „rzeczach” lub „grupach”. I nie ma to znaczenia, jeśli są konkretne lub abstrakcyjne, rzeczywiste lub wyimaginowane.

Zmiana nazw tych terminów nie w w jakikolwiek sposób zmień którykolwiek z napotkanych problemów. Nowe słowa odnoszą się do dokładnie tego samego, co mówił pan Fine. Wszystko to kwestia definicji, a ja zdefiniuję wszystko, aby pokazać różnicę, że powoduje zamieszanie.

3. Jak patrzysz na „wyróżniające się” i „liczące”

Po pierwsze, z jednej strony masz rację. W ramach własnego zrozumienia / system przekonań / definicje „odrębnego”, „zbioru”, „zbioru rzeczy” i „grupy” oraz tego, jak sobie z nimi radzimy, jesteście „concludi ng „że” masz rację „. I ani ja, ani żaden matematyk nie możemy argumentować przeciwko twojej „słuszności” w tym sensie. Opierając się na swoich definicjach i metodach myślenia, masz całkowitą rację. Ale to dopiero początek; to nie rozwiązuje nieporozumień.

Ułóżmy / wymyślmy system, w którym masz rację. (Pamiętaj, że równie dobrze możemy powiedzieć „grupy” i „rzeczy”, ale ja „standaryzuję” na „zestawy” i „elementy”. Użyte słowa nie mają żadnego znaczenia , o ile je zdefiniujemy).

Niestandardowe reguły teorii mnogości zgodne z oryginalnym plakatem

• Zestaw jest zbiór elementów.
• Każdy element jest reprezentowany przez jeden lub więcej symboli (alfanumerycznych).
• Rozmiar zestawu to całkowita liczba elementów.
• OP „Definicja odrębności: Każdy element jest uważany za„ odrębny ”, jeśli występuje w innym miejscu, więc {A , A} zawiera dwa różne elementy, ponieważ znajdują się one w różnych pozycjach (pozycja pierwsza i druga).

Pytanie: Ile elementów znajduje się w {A, A, A} zgodnie z powyżej niestandardowych zasad firmy Ori ginal plakat? Odpowiedź: 3.

4. W jaki sposób teoria mnogości matematycznych (książka pana Finea) definiuje „Odrębność” i „Liczenie”

Rozważmy teraz to bardziej ze standardowej definicji matematycznej.

Standardowe reguły matematycznej teorii mnogości

• Zbiór to zbiór odrębnych elementów.
• Każdy element jest reprezentowany przez jeden lub więcej symboli.
• Rozmiar zestawu to całkowita liczba elementów.
• Definicja odrębności w teorii zestawów: Każdy element jest uważany za „odrębny”, jeśli można go określić jako inny niż wszystkie inne elementy. Przedstawione za pomocą liter i słów, dotyczy tylko dla odrębności, czy elementy mają różne nazwy. W matematyce pisemnej różne nazwy = różne nazwy.

Na potrzeby tej odpowiedzi coś o takiej samej nazwie nie jest odrębne – odnosi się do tej samej rzeczy. Więc {A, A} jest jak powiedzenie: {Indie, Indie}. Dotyczy tylko jednego kraju, a nie dwóch. Dotyczy tego samego kraju dwa razy. Więc jaki jest wynik? Jeden kraj, czy dwa razy, o którym jest mowa? W teorii mnogości to ten pierwszy.

„Ale dlaczego?” możesz zapytać. W pewnym sensie można to uznać za całkowicie arbitralne. „To jest z definicji”. (Ale jest tak z dobrego powodu; sprawia, że wiele innych rzeczy w teorii mnogości działa dobrze, ale to jest poza tą dyskusją). Więc musisz to zaakceptować , podobnie jak „musimy zaakceptować, że masz rację co do swojej definicji”.

Pytanie: Ile różnych krajów jest w {Francja, Francja, Francja, Francja, Indie, Indie, Indie, Brazylia, Brazylia}? Odpowiedź: 3, ponieważ zestaw odnosi się tylko do trzech różnych miejsc = {Francja, Indie, Brazylia}.

5. Monety w kieszeni

To jest z tego powodu i ze względu na prostotę dodajemy po prostu kolejną regułę do teorii zbiorów:

• Żadne duplikaty nie są dozwolone w zestawach.

Dlaczego? zestaw jest czymś w rodzaju „worka z rzeczami” (konkretnym lub abstrakcyjnym), na przykład rozważmy cztery monety w lewej kieszeni w poniedziałek. Powiedzmy, że nie wiemy, czym one są. Dlatego nazywamy je C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Biorąc pod uwagę ten pomysł, nie ma sensu nazywać tego jako {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Po co odwoływać się do pierwszej monety trzy razy? Jest już w twojej kieszeni. Wystarczy się do niej odwołać raz. Przypiszmy teraz kilka atrybutów monetom:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Waga = 2,4993399494 g; Stan = idealny
• C2 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Waga = 2,4990044384 g; Stan = dobry
• C3 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Data = 2002; Waga = 5 0002292833 g; Stan = bardzo dobry
• C4 = Type = Nickle; FaceValue = 0,05; Data = 2003; Waga = 5,0010022229 g; Stan = bardzo dobry

Teraz, gdy wiemy, że dwa z nich to grosze, zestaw monet w Twojej kieszeni jest nadal taki sam:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Ale teraz możemy zapytać, ile różnych (różnych) rodzajów monet znajduje się w Twojej kieszeni:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Przenieśmy we wtorek monety C2, C3 i C4 do prawej kieszeni. Co masz w kieszeniach w środę?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Komentarze

• Po przestudiowaniu koncepcji token typu Wątpię w logiczną dokładność książki Fine '. Tworzę nowe pytanie związane z przypisem podanym w ” grupie $ {} ^ 1 $ „.
• Nie czekaj, proszę dla wszystkich ' na miłość boską… poczekaj chwilę. nie jest to kolejne pytanie, które jest po prostu ustalone. Daj odpowiadającym trochę czasu na odpowiedź na moją odpowiedź i Twoje wątpliwości. ” Grupa ” w książce Fine ' jest dokładnie zestaw współczesnej matematyki. Jeśli przejdziesz do innego pytania, ' pójdziesz na zupełnie inną styczną.
• ” Grupa ” w porządku ' książka nie jest dokładnie tym, co we współczesnej matematyce. Tym razem mam rację.
• OK, co jest na to dowodem. Poświęciłem dużo czasu na tę odpowiedź, więc proszę, zostań ze mną w tej sprawie, ok?
• Osobiście uważam, że osoby zadające pytania, biorąc pod uwagę bezpłatną usługę odpowiadającego, powinny głosować za wszystkimi odpowiedziami, które podaj jakąś wartość, nawet jeśli ' nie jest właściwą odpowiedzią. To ' to sposób na powiedzenie ” Dziękujemy za udział w procesie znajdowania odpowiedzi. ” Podobnie uważam, że każdy, kto odpowie na pytanie, powinien zagłosować za nim; z pewnością jeśli spędzają czas na udzielaniu odpowiedzi, to musi mieć jakąś wartość. Bądź hojny w głosowaniu. Są to darmowe, abstrakcyjne symbole uznania / wartości. Pozwól innym głosować za węższymi zasługami. To ' Twój wybór, ale nie ' nie głosowałbym przeciw takiej stronie technicznej.

P1: Ponieważ $ A $ i $ A $ nie są oddzielne, tylko $ A $ i $ B $ są odrębne (chyba że jesteś rabinistą i odróżniasz „pierwszą kroplę atramentu tworzącą $ A $” od „drugiej kropelki atramentu tworzącą $ A $”, ale to uniemożliwia wspomnienie poprawnie każda z tych $ A $ s jako konkretna litera (kropla atramentu) $ A $ używana do wspomnienia określonej litery (kropla atramentu) $ A $ automatycznie różni się od tej kropli atramentu, wbrew intencji. we wszystkich tych przypadkach mówimy o „idei” $ A $, tj. każde wystąpienie „$ A $” w tekście odnosi się do tego samego obiektu, który sam ma być pomyślany poza tekstem (aby było to możliwe w pierwszym miejsce do używania „$ A $” do mówienia o $ A $). Tylko w tym sensie $ A = A $ (ponieważ jako konkretne plamki atramentu na papierze mają różne pozycje, co czyni je różnymi) i dwa $ A $ s w „$ A, B, A $” nie są wyraźne. Twoja grupa jest więc taka sama, jak ta zawierająca elementy $ A, B $ (lub $ B, A $, jeśli chcesz), tj. liczba wynosi 2 $.

P2: Nadal nie są identyczne jak obiekty. Na przykład. Możesz założyć pierwszą, a drugą włożyć do szafki, podczas prasowania na gorąco trzeciej; z pewnością byś to zauważył, gdybyś faktycznie prasował na gorąco tę tę samą koszulę co ta, którą masz na sobie. Koszule są nie do odróżnienia na podstawie właściwości „kolor” (tak jak wcześniej były nie do odróżnienia, na przykład po właściwości „rozmiar”, jak zakładam), ale nadal można je rozróżnić na podstawie właściwości „położenie przestrzenne”. Co intrygujące, to pozostawia nam problem polegający na tym, że napotykamy trudności, jak utożsamić dzisiejsze koszule z tymi wczorajszymi. Trzeba się chwilę zastanowić, co oznacza „odrębny” (w przeciwieństwie do „rozróżnialnego”) i „to samo”.

Q3: Odróżnialność elementów (która może pozwolić na identyczne kolory koszul) jest niezbędna, ponieważ nie chcesz ponownie liczyć tego samego przedmiotu (uczyniłbyś to bogatym człowiekiem z tylko jedną monetą w kieszeni). Zupełnie (?) Innym podejściem jest zdefiniowanie „liczby” jako klasy równoważności zbiorów (i wydaje się, że „grupa” Finea jest tym, co dziś nazwalibyśmy „zbiorem”) pod pojęciem „ekwilumerowalności” (tj. Istnienia bijekcji) W ten sposób pojęcie 2 lub Dwójności odpowiada (lub jest w rzeczywistości) klasą wszystkich zbiorów $ X $ tak, że istnieje bijekcja $ X $ do dowolnego określonego zbioru (co nazywamy ) dwa elementy, takie jak $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Jeśli masz przerażenie dotyczące (odpowiednich) klas, można zauważyć, że każda taka klasa równoważności zawiera specjalny „prosty” zestaw, porządkowy (przynajmniej w przypadku skończonym i ogólnie przy założeniu aksjomatu wyboru).

Komentarze

• Co rozumiemy przez liczba rzeczy ? dlaczego w Q1 mówimy, że grupa G: {A, A, B} ma 2 liczby, dlaczego nie 3, tak jak powinno być, ponieważ w grupie G są 3 liczby , nawet dwie rzeczy w grupie G są takie same, ale istnieją i powinniśmy je policzyć o. Czy używamy terminu liczba rzeczy inaczej w matematyce niż w życiu codziennym? prymitywne pojęcie liczenia nie przejmuje się rozróżnianiem różnych rzeczy w grupie podczas obliczania liczby rzeczy w grupie. Dlaczego w matematyce uczyniliśmy tego typu niezwykłą definicję terminu nie. rzeczy .
• Proszę pana, zredagowałem moje pytanie, aby było bardziej bezpośrednie. Czy mógłbyś przynajmniej wyjaśnić, co rozumiemy przez liczbę rzeczy .

„Liczba rzeczy” w języku angielskim: nie ma wystarczająco dużo informacji w samym terminie, aby dać jedną odpowiedź.

Problemem jest termin „rzeczy”. W ogólnym języku angielskim oznaczałoby to układ już zdefiniowany, na przykład liczba sztuk tego samego koloru lub liczba jaj w pudełku lub liczba cyfry „3” w numerze telefonu.

Bez tego znaczenie słowa „liczba rzeczy „jest wielorakie – jest to liczba obiektów w kontenerze dowolnego rodzaju / rozmiaru, sklasyfikowanych według dowolnej metody, jaką chcesz sobie wyobrazić.

Komentarze

• Załóżmy, że istnieje grupa {A, A, A}. Pytam ile liter znajduje się w tej grupie ? Jaka powinna być odpowiedź.
• Proszę zapoznać się z Typami i tokenami
• @MauroALLEGRANZA link, który masz podane jest dość interesujące. Wydaje się, że sugerują, że ” Typ ” = ” Obiekt abstrakcyjny ” i ” Token ” = ” Beton „. W książce Me.Fine at the outsaet jest napisane: ” Mówimy o pewnych odrębnych rzeczach , że tworzą one grupę ” ” Rzecz ” = ” beton ” = ” Token ” mam rację?
• @Mauro, przepraszam, ale macie to wstecz. Słowo ” thing ” nie wywodzi go ' z ” Filozofia typu / tokena „. Definicja z google.com/search?q=definition+thing obejmuje ” abstrakcyjna istota lub koncepcja: ' żałoba i depresja to nie to samo '. synonimy: cecha, jakość, atrybut, właściwość, cecha, cecha, punkt, aspekt, aspekt, dziwactwo …
• @Mauro, także, ” a skończony kolekcja ” nie sugeruje konkretnych rzeczy. Oto kilka skończonych zbiorów abstrakcyjnych rzeczy / elementów: {1, 2, 3, 4, 5}, {miłość, wojna, pokój}. Najprawdopodobniej unikał nieskończonych zestawów, ponieważ były one wówczas bardzo kontrowersyjne: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor' s_theory .

Proponuję porównać definicję Fine z następującą dyskusja, autorstwa RL Goodsteina, Rekurencyjna teoria liczb (1957) :

Pytanie „Jaka jest natura bytu matematycznego?” to takie, które interesuje myślicieli od ponad dwóch tysięcy lat i okazało się, że bardzo trudno jest na nie odpowiedzieć. Nawet pierwszy i najważniejszy z tych bytów, naturalny liczba, ma nieuchwytną wolę ognika, gdy próbujemy ją zdefiniować.

Jednym ze źródeł trudności w stwierdzeniu, jakie są liczby, jest to, że nie ma nic, na co moglibyśmy wskazać w otaczającym nas świecie, gdy szukamy definicji liczby. Na przykład liczba siedem nie jest żadnym konkretnym zbiorem siedmiu obiektów, ponieważ gdyby tak było, to o żadnym innym nie można by powiedzieć, że liczy siedem członków; bo jeśli utożsamiamy właściwość bycia siedmioma z własnością konkretnej kolekcji, to bycie siedmioma jest własnością, której nie może mieć żadna inna kolekcja. Bardziej rozsądną próbą zdefiniowania liczby siedem byłoby stwierdzenie, że właściwość bycia siedmioma to własność, która jest wspólna dla wszystkich kolekcji siedmiu przedmiotów. Trudność związana z tą definicją polega jednak na tym, aby powiedzieć, co tak naprawdę łączy wszystkie kolekcje siedmiu obiektów (nawet jeśli udajemy, że kiedykolwiek możemy zapoznać się ze wszystkimi kolekcjami siedmiu obiektów). Z pewnością numer kolekcji nie jest jej własnością w tym sensie, że kolor drzwi jest własnością drzwi, ponieważ możemy zmienić kolor drzwi, ale nie możemy zmienić numeru kolekcji bez zmiany kolekcji. samo. Bardzo rozsądne jest stwierdzenie, że drzwi, które wcześniej były czerwone, a teraz są zielone, to te same drzwi, ale nonsensem jest powiedzieć, że o jakiejś kolekcji siedmiu koralików jest to ta sama kolekcja, co zbiór ośmiu koralików. Jeżeli numer zbioru jest własnością zbioru, to jest to jego definiująca właściwość, podstawowa cecha.

To jednak nie przybliża nas do odpowiedzi na nasze pytanie „Co wspólnego mają wszystkie kolekcje siedmiu obiektów?” Dobrym sposobem na zrobienie postępu w tego rodzaju pytaniu jest zadanie sobie pytania: „Skąd wiemy, że kolekcja liczy siedmiu członków?” ponieważ odpowiedź na to pytanie z pewnością powinna ujawnić coś, co łączy kolekcje siedmiu obiektów. Oczywistą odpowiedzią jest to, że dowiadujemy się o numerze kolekcji, licząc kolekcję, ale ta odpowiedź nie wydaje się nam pomagać, ponieważ kiedy liczymy kolekcję, wydaje się, że robimy nie więcej niż „oznaczenie” każdego członka kolekcji za pomocą numer. (Pomyśl o szeregu żołnierzy liczących się). Oczywiście nie podaje definicji liczby, aby powiedzieć, że liczba jest własnością kolekcji, którą można znaleźć przez przypisanie numerów członkom kolekcji.

Oznaczanie każdego członka zbioru liczbą, jak wydaje się to robić przy liczeniu, w efekcie tworzy korespondencję między członkami dwóch kolekcji, obiektami, które mają być policzone i liczbami naturalnymi . Na przykład licząc zbiór siedmiu obiektów, ustalamy zgodność między policzonymi przedmiotami a liczbami od jednego do siedmiu. Każdy obiekt ma przypisany niepowtarzalny numer, a każdy numer (od jednego do siedmiu) jest przypisany do jakiegoś obiektu z kolekcji. Jeśli powiemy, że dwie kolekcje są podobne, gdy każda z nich ma unikalnego współpracownika w drugiej, można powiedzieć, że zliczanie zbioru określa zbiór liczb podobnych do liczonego zbioru.

Słabość definicji leży w pojęciu korespondencji. Skąd wiemy, że dwa elementy odpowiadają sobie?Filiżanki i spodki w kolekcji filiżanek stojących na spodkach mają oczywistą zgodność, ale jaka jest zgodność między, powiedzmy, planetami i Muzami? Nie ma sensu mówić, że nawet jeśli nie ma patentowej zgodności między planetami a muzami, możemy ją łatwo ustalić, bo skąd to wiemy i, co ważniejsze, na jaki rodzaj korespondencji pozwalamy? Definiując liczbę w kategoriach podobieństwa, po prostu zastąpiliśmy nieuchwytne pojęcie liczby równie nieuchwytnym pojęciem zgodności.

Niektórzy matematycy próbowali uniknąć trudności związanych z definiowaniem liczb, identyfikując liczby za pomocą cyfr. Numer jeden jest identyfikowany przez cyfrę 1, liczbę dwa przez cyfrę 11, liczbę trzy przez 111 i tak dalej. Ale ta próba kończy się niepowodzeniem, gdy tylko zauważy się, że właściwości liczb nie są właściwościami liczb. Liczby mogą być niebieskie lub czerwone, drukowane lub pisane odręcznie, zgubione i znalezione, ale nie ma sensu przypisywać tych właściwości liczbom i odwrotnie, liczby mogą być parzyste lub nieparzyste, pierwsze lub złożone, ale nie są to właściwości liczb.

Antyteza „liczby” i „liczebnika” to taka, która jest powszechna w języku i być może najbardziej znanym jej przykładem jest para terminów „zdanie” i „zdanie”. Zdanie jest jakąś fizyczną reprezentacją zdania, ale nie może być utożsamiane ze zdaniem, ponieważ różne zdania (na przykład w różnych językach) mogą wyrażać to samo zdanie. [patrz typy i żetony ]

Jak często obserwowano, gra w szachy zapewnia doskonałą paralelę z matematyką (lub, jeśli o to chodzi, z samym językiem). Liczbom odpowiadają figury szachowe, a operacjom arytmetycznym – ruchy gry.

W końcu znajdujemy odpowiedź na problem natury liczb. Widzimy po pierwsze, że aby zrozumieć znaczenie liczb, musimy spojrzeć na „grę”, w którą grają liczby, czyli na arytmetykę. Liczby, jeden, dwa, trzy itd., Są znakami w arytmetycznej grze, pionki, które grają te znaki, to cyfry, a to, co sprawia, że znak jest liczbą określonej liczby, to rola, którą odgrywa, lub jako możemy powiedzieć w formie słów bardziej adekwatnych do kontekstu, że tym, co stanowi znak znaku określonej liczby, są reguły transformacji znaku. Wynika z tego, że przedmiotem naszych badań jest NIE LICZBA SIEBIE, ALE ZASADY TRANSFORMACJI ZNAKÓW LICZB .

Przeplatające się, ale dyskusyjne …

Ponad 60 lat wcześniej Frege skrytykował ten pogląd; patrz Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), nowe angielskie tłumaczenie Philipa Eberta & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, strona xiii:

[istnieje] powszechna tendencja do akceptowania tylko tego, co można odczuć jako byt. […] Teraz przedmioty arytmetyki, liczby, są niezauważalne; jak sobie z tym poradzić? Bardzo prosta! Zadeklaruj, że znaki liczbowe są liczbami. […] Czasami wydaje się, że znaki liczbowe są traktowane jak figury szachowe, a tak zwane definicje jak reguły gry. W takim przypadku oznaczenie nic nie wskazuje, ale jest samą rzeczą. Oczywiście przeoczono w tym wszystkim jeden mały szczegół; mianowicie, że myśl jest wyrażana za pomocą „3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, podczas gdy konfiguracja szachów nic nie mówi.

Komentarze

• Pamiętam podekscytowanie, które poczułem, kiedy po raz pierwszy przeczytałem wprowadzenie ' Goodsteina. On ' nie jest Frege, ale ' wspaniale jest uzyskać jasne przedstawienie opinii, więc jeśli ktoś się nie zgadza, może powiedz dokładnie z czym.

W celu wyjaśnienia definicji liczba rzeczy „, czyli zupełnie inna niż ” nowoczesna ” podejście oparte na teorii mnogości, myślę, że przydatne może być odniesienie go do tradycji filozoficznej brytyjskiego empricyzmu XIX wieku.

W szczególności filozof John Stuart Mill poświęcił część swojej pracy A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) na omówienie podstaw arytmetyki.

Oto kilka fragmentów, które – mam nadzieję – mogą wyjaśnić definicję Finea:

Trzy kamyki w dwóch oddzielnych paczkach i trzy kamyki w jednej paczce, nie robią tego samego wrażenia na naszych zmysłach, – i twierdzenie, że te same kamyki mogą być stworzone przez zmianę miejsca i układu, aby wywołać albo jeden zestaw wrażeń, albo inny, chociaż bardzo znane twierdzenie, nie jest identyczne. […]

Wszystkie fundamentalne prawdy tej nauki [nauki o liczbach] opierają się na dowodzie sensu – dowodzi ich, pokazując naszym oczom i nasze palce, że dowolna liczba przedmiotów, na przykład dziesięć piłek, może przez oddzielenie i przegrupowanie ukazać naszym zmysłom wszystkie różne zbiory liczb, których suma jest równa dziesięć. ( CW VII, 256-57)

Zatem, kiedy mówimy, że sześcian 12 to 1782, to potwierdzamy to: jeśli mając wystarczającą liczbę kamyków lub innych obiektów, połączymy je razem w th szczególny rodzaj paczek lub agregatów zwanych dwunastkami; i zebrać je razem w podobne zbiory, – i ostatecznie tworzą dwanaście z tych największych działek: tak utworzony agregat będzie taki, jak nazywamy 1728; mianowicie to, co (przyjmując najbardziej znany z jego sposobów formowania) można wykonać przez połączenie paczki zwanej tysiącem kamyków, paczki zwanej siedmiuset kamykami, paczki zwanej dwudziestoma kamykami i paczki zwanej ośmioma kamykami. ( CW VII: 611-12)

naturalistyczne podejście Milla do podstaw arytmetyka jest oparta na ” podstawowych ” procesach łączenia i rozdzielania, które powodują powstanie i rozkład ” agreguje ” obiektów fizycznych.

Empiryczny pogląd Milla został ostro skrytykowany przez Gottlob Frege w swoim podstawowym Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Aby zapoznać się z wykładem filozofii matematyki Milla, zobacz Philip Kitcher, Mill, matematyka i tradycja naturalistyczna , w artykule Johna Skorupskiego (redaktora), The Cambridge Companion to Mill (1998), strona 57.

Komentarze

• Proszę pana, dziękuję za kolejną bardzo przydatną odpowiedź . Przeczytanie tylu powiązanych tekstów zajmie mi trochę czasu (aktualnie przeglądam książki, o których ty i inni wspominaliście wcześniej). Czy istnieje książka poświęcona w całości historii arytmetyki ? Książka, która mogłaby wyjaśnić rzeczy, zaczynając od historii, a następnie przejść do wyjaśnienia, w jaki sposób powstała współczesna arytmetyka. Książka, która wyjaśni wszystkie powiązane rzeczy, tj. Kto, jak, kiedy, dlaczego arytmetyki. Za miesiąc zadam dwa bardzo filozoficzne (i techniczne) pytania dotyczące arytmetyki. Czy mam do ciebie pingować.
• O historii ” współczesnych ” filozofia arytmetyki , od Kanta (ale JSMill nie jest omawiane), możesz zobaczyć Michaela Pottera, Powód ' s Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap (2002).

W książce „liczba rzeczy” różni się od ich reprezentacji. Załóżmy, że masz gości, których chcesz zaprosić na przyjęcie. Jaką liczbę gości-rzeczy zapraszasz?

Jeśli zaprosisz 5 znajomych, nazwiemy ich John, Fred, Mary, Jill i Barney. Jest 5 gości-znajomych- rzeczy, które zapraszasz na imprezę.

Ale co, jeśli impreza to bal maskowy, a oni wszyscy są w przebraniu. John jest przebrany za ducha, Fred za goblina, Mary za czarownicę, Jill za dynię, a Barney za dinozaura. Tylko dlatego, że są teraz duchem, goblinem, wiedźmą, dynią i dinozaurem, nie zmienia liczby zaproszonych gości na przyjęcie. Ich cechy uległy zmianie – nie wyglądają już jak twoi przyjaciele, wyglądają lubią ich przebrania.

A co, jeśli cała piątka przybędzie ubrana jako nieodróżnialne duchy. Czy to oznacza, że mówimy, że tylko jeden duch przyszedł na twoją imprezę? Nie, ponieważ nadal można ich odróżnić od ich przestrzenności lokalizacja, czas przybycia, wzrost, waga, kolor prześcieradła itp.

Co by było, gdyby nosili dokładnie ten sam kostium i nigdy nie widziałeś więcej niż jednego na raz – tak, że nie ma żadnych cech definiujących oddzielających przyjaciel od innego. Możesz nie być pewien, ile rzeczy-znajomych-gości miałeś na swoim przyjęciu. TA transformacja zniszczyła odrębność, która je wcześniej oddzielała, więc nie jest to poprawna transformacja do wyliczania liczby rzeczy.

Idea „liczby rzeczy” w odniesieniu do twoich zaproszeń jest w szczególności własnością grupy, tak że wszelkie zmiany (ponowne opisywanie, przenumerowanie, zmiana kolejności, ale NIE powielanie, eliminowanie lub liczenie podzbiorów), które zachowują odrębność elementów, zachowują tę właściwość. Nie chodzi o to, czy wartość tej własności wynosi 1, 5 czy milion miliardów, a jedynie, że „liczba rzeczy” jest ograniczoną wartością, która utrzymuje tę własność.

W odniesieniu do Mówiąc prostym językiem, liczba rzeczy to po prostu … liczba interesujących rzeczy. Nie ma nic prostszego, a ponieważ jest to taka prosta koncepcja, bardzo trudno jest napisać precyzyjną definicję, która nie powoduje problemów w możliwych wyrażeniach potocznych.

To pytanie (i wiele innych odpowiedzi) pomija cel teorii matematycznej, którym jest traktowanie aksjomatów jako czegoś danego. mamy pojęcie (na przykład) odrębności, a następnie zbadamy konsekwencje posiadania tego pojęcia.

Innymi słowy, nie można zadać pytania „Ile elementów jest w zbiorze $ \ { A, A, B \} $? „Bez wcześniejszego podania aksjomatów o $ A $ i $ B $. Zgodnie ze standardową składnią matematyczną, tak naprawdę powinniśmy zadać to pytanie dopiero po zmianie etykiety na $ \ {A, A”, B \} $ aby uniknąć nieporozumień, ale jest to kwestia komunikacji i praktyczności, a nie dogmatu i na pewno nie jakiejś prawdy o zbiorach.

Matematyka, jak mówi Roberto Unger, jest „wizjonerską eksploracjąsymulakrum świata ”. Jeśli nie zgadzasz się z wizją kogoś innego, to jest w porządku. Ale jeśli myślisz, że masz problem z samą matematyką, istnieje prawdopodobieństwo, że tworzysz własne sprzeczności, nadużywając języka. Jeśli masz jasność co do tego, jakie właściwości ma mieć twoje pojęcie odrębności, to ma zastosowanie teoria mnogości , pozostaje tylko kwestia tego, jak. Nie zaleca określonej formy odrębności, ale raczej badanie podobieństw między wszystkimi formami odrębności.

Wydaje się, że że odpowiedź na twoje pytanie jest silnie powiązana z tym, czym jest „rzecz”. Być może zdajesz sobie sprawę, że może to być abstrakcyjne pytanie, ale było ono wielokrotnie zadawane w społeczności fizyków w kontekście kwantowej teorii pola i podstaw mechaniki kwantowej (patrz na przykład Paul Teller i Chris Isham). Jednym z wniosków jest to, że należy odrzucić koncepcję rzeczy jako istoty, do której „przylegają” właściwości. To właśnie Teller określa jako problem z „etykietowanym produktem tensorowym w formalizmie przestrzeni Hilberta”, ponieważ jest on niezgodny z fizycznymi zachowaniami, które są faktycznie obserwowane. Więc jeśli chcesz mieć uniwersalną definicję „liczby rzeczy”, nie możesz „uniknąć rozważań na temat tego, czym jest rzecz i czym jest rozróżnialność z fizycznego punktu widzenia. (Chyba że chcesz mieć definicję odnoszącą się do wszechświata, który nie jest naszym własnym).

Aby dać ci przykład, powiedzmy, że masz jeden foton w prawej ręce, a drugi w lewej. Możesz je rozróżnić, odnosząc się do tego, w której ręce się znajdują. Zatem „liczba sposobów umieszczenia ich w kieszeni” wynosi 2 (najpierw ten w lewej ręce, potem ten w prawej lub na odwrót) . Jednak gdy trafią do kieszeni, stają się fizycznie nie do odróżnienia, a „liczba sposobów ich wyjęcia” wynosi 1 (wychodzi jeden, potem drugi).

Komentarze

• W przedstawionym przez ciebie przykładzie fotonów w kieszeni, ' re wydaje mi się być dwoma fotonami. Ich tożsamość (lewa / prawa) zostaje utracona (jeden, który wie, który jest pierwszy, drugi drugi). Istnieją ' wciąż dwa z nich, nawet jeśli ' straciłeś trochę informacji. Utracone dane to właściwość ” znajdująca się po lewej / prawej stronie „, która nie jest ' ta właściwość fotonów w ogóle. Wydaje się, że mówisz, że wszystkie właściwości są zbędne w podobny sposób, ale nie mogę ' rozwiązać, jeśli mówisz, że jest to problem nie do przezwyciężenia dla ” uniwersalna definicja ' liczby rzeczy ' „. A może rzeczy można policzyć niezależnie?
• O tak, wokół są zawsze 2 fotony. ' mówię o konsekwencjach utraty tożsamości dla naszej zdolności do liczenia, a jest to konsekwencja natury ' rzeczy ' jak foton. Odwrotne zachowanie ma miejsce w przypadku fermionów, które zawsze muszą być rozróżnialne, a to zapobiega upychaniu zbyt wielu w tym samym miejscu (co jest zasadą wykluczenia Pauliego).Zatem liczenie rzeczy przez (tak jak w przykładzie) liczenie sposobów ich przestawienia nie ' nie zawsze działa. Nie ' nie wiem, czy jest to problem nie do przezwyciężenia, ale z pewnością definicja, która jest uniwersalna, nie może go zignorować.