Matematycznie całka po ścieżce jest uogólnieniem wielowymiarowej całka. W zwykłych całkach wymiarowych $ N $, całkuje się $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ przez podprzestrzeń $ {\ mathbb R} ^ N $, całkę wymiarową $ N $. Całka po ścieżce jest nieskończenie-wymiarową całką $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ po wszystkich możliwych funkcjach $ f (y) $ zmiennej $ y $, który może być liczbą rzeczywistą lub wektorem. Wartości funkcji $ f (0) $, $ f (0,1) $, $ f (0,2) $ itd. Odgrywają taką samą rolę jak zmienne $ x_1 $, $ x_2 $ itd. W zwykłej całce wielowymiarowej .
Ponieważ indeks $ i $ z $ x_i $ przyjmował wartości ze skończonego zbioru $ 1,2, \ dots N $, a teraz jest zastępowany przez zmienną ciągłą $ y $, całka po ścieżce to nieskończenie-wymiarowa całka.
Rygorystyczni matematycy widzą wiele problemów, które uniemożliwiają zdefiniowanie nieskończenie-wymiarowej całki po ścieżce za pomocą teorii miary. Ale fizycy wiedzą, że można zająć się podobnymi całkami. Istnieją pewne „rozbieżności ultrafioletowe” itp., Których doświadcza się, próbując je obliczyć, ale można sobie z nimi poradzić. W istocie, chce się użyć wszystkich naturalnych reguł, które mają zastosowanie do całek skończonych wymiarów. Na przykład całki (po ścieżce) sumy dwóch funkcji są sumą dwóch całek (po ścieżce) itd.
Dwa najważniejsze zastosowania całek po ścieżce w fizyce są w podejściu Feynmana do mechaniki kwantowej, zwłaszcza kwantowej teorii pola; i mechaniki statystycznej.
W (klasycznej) mechanice statystycznej chcemy obliczyć sumę podziału $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ nad wszystkimi konfiguracjami $ c $ systemu fizycznego. Ale ponieważ konfiguracje są często oznaczane przez całe funkcje $ f (y) $ – nieskończenie wiele wartości przy wszystkich dozwolonych wartościach argumentu $ y $ – suma nie jest „tak naprawdę” suma”. Nie jest to nawet całka skończona wymiarowa. To całka po ścieżce.
W mechanice kwantowej amplitudy prawdopodobieństwa zespolonego itp. Są obliczane jako $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ tj. jako całka ścieżki po wszystkich konfiguracjach zmiennych $ \ phi (y) $ itd. Całka jest fazą – liczbą, której wartość bezwzględna jest równa jeden – a kąt fazowy zależy od klasycznego działania obliczonego z możliwej historii $ \ phi (y) $. Stany początkowy i końcowy $ i, f $ są włączane przez całkowanie nad konfiguracjami w „czasach pośrednich”, które są zgodne z odpowiednimi warunkami brzegowymi.
Prawie cała kwantowa teoria pola może być wyrażona jako obliczenie niektórych całek po ścieżce. W tym sensie uczenie się „wszystkiego” na temat całka ścieżki jest równoznaczna z nauką prawie całej mechaniki kwantowej i kwantowej teorii pola, co może wymagać od semestru do 10 lat intensywnej nauki, w zależności od tego, jak głęboko chcesz się zdobyć. Z pewnością nie można tego ująć w jednej odpowiedzi o dozwolonym rozmiarze na tym serwerze.
Obliczenie całek po ścieżce za pomocą funkcji Gaussa, tj. $ \ Exp ({\ rm bilinear}) $ integrand, być może z wielomianem czynniki wstępne w zmiennych całkujących jest prawdopodobnie najważniejszym lub „najprostszym” przykładem nietrywialnej całki po ścieżce, której faktycznie potrzebujemy w fizyce.
W mechanice kwantowej całka po trajektorii reprezentuje ostateczny wzór dla amplituda prawdopodobieństwa. Amplituda dowolnego przejścia ze stanu $ | i \ rangle $ do stanu $ | f \ rangle $ może być bezpośrednio wyrażona jako całka po ścieżce, a prawdopodobieństwo jest wartością bezwzględną amplitudy prawdopodobieństwa podniesioną do kwadratu. mechanika kwantowa pozwala na obliczenia sprowadza się do tych prawdopodobieństw – więc całka po ścieżce reprezentuje „wszystko” w mechanice kwantowej (ten akapit został pierwotnie opublikowany jako mój komentarz, a użytkownik, który zaproponował tę edycję, miał dobry powód, aby to zrobić.)
Komentarze