Czy GameScience ' niecylindryczna kostka siedmioboczna jest kośćmi zrównoważonymi / sprawiedliwymi?

Prawdziwy eksperyment jest trudny

Połączonych kości w pytaniu nie ma w magazynie, więc tylko osoby, które mają już dużo tych kości i chętnie wykonają testy statystyczne, mogą dać odpowiedź ” true „. Podejrzewam, że ta populacja jest dość mała. Jednak myślę, że istniejąca literatura i odrobina dedukcji mogą dać teoretyczną i historyczną perspektywę na uczciwość tego d7.

Możliwe jest uzyskanie uczciwego d7 w określonych scenariuszach

Po pierwsze, zdecydowanie teoretycznie możliwe jest posiadanie matrycy siedmiobocznej. Kość, jak pokazano, jest graniastosłupem pięciokątnym. Geometrycznie na uczciwość matrycy najsilniej wpływa stosunek wielkości pięciokątnych ścian do prostokątnych boków . Zrobiłem szybką makietę dwóch skrajności:

• Twarze są większe niż boki: Odpowiada to kształtowi po lewej stronie. Ten ekstremum zdecydowanie faworyzuje pięciokątne twarze – jest to w zasadzie moneta i trudno sobie wyobrazić, jak kiedykolwiek wyląduje na krawędziach.

• Boki są większe niż twarze: Odpowiada to kształtowi po prawej . W tym przypadku kostka przypomina bardziej ołówek i prawie zawsze będzie spadać na boki.

Ponieważ płynnie dostosowuje się proporcje między bokami i twarzami, pojawi się określony punkt, w którym przejście między faworyzowaniem stron a faworyzowaniem twarzy. Ten punkt przecięcia z osią jest punktem, w którym kostka jest uczciwa. Dlatego możliwe jest uzyskanie sprawiedliwej 7-ściennej kostki.

Jednak ten współczynnik magii m nie może być takie samo we wszystkich warunkach. Ta odpowiedź na MathOverflow dowodzi, że w przypadku kostki nieizoedrycznej rzetelność wyniku zależy od tego, jak ją wyrzucisz. Podobnie ta losowa strona w internecie twierdzi, że różne powierzchnie mogą wpływać na wynik rzutu. Żadne ze źródeł nie dostarcza twardych dowodów na poparcie swoich twierdzeń, ale warto wziąć pod uwagę, że argument wartości pośredniej przedstawiony powyżej nie dowodzi, że pojedynczy d7 może być sprawiedliwy w ramach wszystkich warunki .

Patent na this d7 pokazuje, że został przetestowany pod kątem uczciwości

Pytanie brzmi więc, czy te konkretne kości mają niezbędną geometrię, aby były sprawiedliwe? Strona z opisem produktu, do której prowadzi OP, zawiera numer patentu: US PAT nr D-4,900,034. Ten numer odpowiada patentowi ” Losowe elementy do gry hazardowej oraz układ i stół do gry do użycia z tym samym ” złożonym Bernarda Bereutera w 1988 roku.Patent ten, między innymi, opisuje konstrukcję i uczciwość dla tego konkretnego d7 w celach hazardowych:

Używanie utworzonych pionków z twardego plastiku takiego rodzaju, jaki mógłby być użyty do standardowych kości, eksperymenty wykazały, że pożądane losowe lądowanie kawałków uzyskuje się, gdy regularny pięciokąt o przekroju mieści się dokładnie w okręgu o średnicy 1 cala (co skutkuje obwodowymi krawędziami 3 długości 0,588 cala), a długość pryzmatu 0,753 cala, w przypadku kawałków nawiniętych na filcu wzmocnionym pianką naciągniętym na twardą poziomą powierzchnię.

…

A losowy element do gry hazardowej zawierający nieprostokątny pryzmat … mający oznaczenia rozmieszczone równomiernie na jego obwodzie, długość tego pryzmatu jest inna niż długość boku przekroju poprzecznego regularnego wielokąta i jest równa długości wymaganej, tak że prawdopodobieństwo wspomniany pryzmat lądujący na jednej z jego czołowych powierzchni jest w przybliżeniu równy al do prawdopodobieństwa wylądowania na którejkolwiek z bocznych ścian.

Tak więc, panie Bereuter najwyraźniej przeprowadził testy empiryczne niezbędne do określenia idealnego współczynnika rozmiaru dla dobrej siedmiościennej matrycy, przynajmniej na jednej określonej powierzchni.

Niestety, ponieważ jego dane nie są jawne, a kości nie są obecnie dostępne, nie możemy sami zweryfikować ani powtórzyć jego wyników. Jest z pewnością możliwe, że kości kupione w tym miejscu nie są uczciwe również z innych powodów. Jednak wynalazca tego d7 wyraźnie włożył duży wysiłek w określenie niezbędnych wymiarów, aby stworzyć uczciwą kostkę.

Jeśli GameScience dokładnie przestrzegało wymiarów w przytoczonym przez siebie patencie, to ich d7 jest prawdopodobnie wystarczająco sprawiedliwe dla celów RPG. W końcu pierwotny patent przewidywał kości do gier hazardowych, az mojego doświadczenia wynika, że TTRPG są znacznie mniej wrażliwe na nieuczciwe kości niż hazard.

Komentarze

• Mam spór z tą odpowiedzią (przepraszam, że nie poparłem jej źródłami): Prawdopodobieństwo, że kość spoczywa na twarzy, zależy (również) od tego, jak ostra / zaokrąglona jest krawędź, czy kość ma wystarczającą siłę, aby rzucić przez tę krawędź. ponieważ moment bezwładności i wysokość środka ciężkości matrycy są różne w zależności od tego, jakiego rodzaju jest to krawędź, różna musi być również okrągła noc. Nie ' nigdzie nie widzę tego adresu. Poza tym nie ' nie obliczyłem, jeśli różnica jest znacząca dla różnych twarzy, może to niewiele.
• @mart that ' jest prawdą i nie mam możliwości rozwiązania tego problemu – próbowałem o tym wspomnieć, gdy mówię, że mogą istnieć inne powody, dla których kości nie są ' t targi. Aby sprawdzić, czy ' nie tylko musisz zdobyć kości, których nie ma w magazynie, ale także kilka tych, których nie ma ' nie mają zaokrąglonych krawędzi, ale poza tym są identyczne.
• Zastanawiam się, czy ktoś z drukarką 3d mógłby tworzyć różne kości po zeskanowaniu ” przepisów ” umrzeć. Następnie baw się parametrami na krawędziach.

Nie, są one niesprawiedliwe, chyba że zignorujesz boki

Jest kilka wymagań, aby jednolita kostka była sprawiedliwa.

Aktywne boki muszą być przechodnie twarzą.

Kości są sprawiedliwe tylko wtedy, gdy wszystkie używanych boków jest równie prawdopodobne, że wyląduje. Aby to było prawdą, musi być przechodnie twarzą, co oznacza, że wszystkie boki mają ten sam kształt. Dokładniej …

Rysunek izoedryczny

W geometria, polytope o wymiarze 3 (wielościan) lub większym jest izoedryczny lub przechodni, gdy wszystkie jego ściany są takie same. Mówiąc dokładniej, wszystkie ściany muszą być nie tylko przystające, ale muszą być przechodnie, tj. Muszą znajdować się na tej samej orbicie symetrii. Innymi słowy, dla wszystkich ścian A i B musi istnieć symetria całej bryły dzięki obrotom i odbiciom, które odwzorowują A na B. Z tego powodu wypukłe izoedryczne wielościany są kształtami, które pozwolą uzyskać piękne kości.

Rysunek izotoksalu

Regularne wielościany są izoedryczne (przechodnie powierzchniowe), izogonalne (przechodnie przez wierzchołki) i izotoksalne (przechodnie krawędziowe).

Ta 7-stronna kostka nie jest żadną z tych rzeczy. Ale dzieje się tak, jeśli zignorujemy każdy wynik na pięciokątnych bokach.

Innymi słowy, biorąc pod uwagę twarz na kostce, musi istnieć obrót (przynajmniej jeden), który daje co drugą ścianę, krawędź, a wierzchołek jest mapowany w tym samym miejscu, co odpowiednio inna ściana, krawędź i wierzchołek. Spróbujmy w 2-d.

To daje dobry dwuwymiarowy umierać. Obracanie trójkąta o 120 stopni wokół środka odwzorowuje każdy wierzchołek i krawędź trójkąta na inny. Weźmy to do 3 wymiarów, powiedzmy sześcianu. K6. Wszyscy jesteśmy znani. K6 to uczciwa kość, ponieważ istnieje co najmniej jeden obrót, w wyniku którego każda ściana, krawędź i wierzchołek są mapowane na lokalizację innej. Jednym z tych obrotów byłby oczywiście obrót, który można przedstawić jako „90 stopni na jednej osi i 90 stopni na drugiej”. Lub w kątach Eulera , 90, 90, 0. Lub, jeśli to pomaga, nachylenie 90 stopni i odchylenie 90 stopni. Lub dowolna kombinacja pochylenia, odchylenia i przechylenia.

Wszystkie inne uczciwe kości mają tę właściwość. Istnieje obrót, który odwzorowuje każdą ścianę, krawędź i wierzchołek k4 na inną ścianę, krawędź i wierzchołek. Istnieje jeden na k20. W rzeczywistości istnieje wiele rotacji, które robią to dla tych uczciwych kości. Ale nie ma rotacji, która to robi dla k7. Mógłbyś obrócić go o 180 stopni wokół osi „w górę” (nie siedząc ani na 6, ani na 7), ale wtedy górna krawędź nie została przesunięta w położenie innej krawędzi. Możesz położyć go płasko na 6 i obrócić o 72 stopnie, ale wtedy pięciokątne ściany nie zostałyby przeniesione na inną twarz.

Środek każdej ściany musi znajdować się w równej odległości od środka masy.

Jeśli chodzi o (uczciwe) kości, środek masy znajduje się dokładnie w środku obiektu. Oznacza to, że wszystkie twarze są od niego jednakowo oddalone. W rezultacie po rzucie każda twarz ma równe szanse na pojawienie się. Jeśli jednak środek masy zostanie przesunięty z geograficznego środka matrycy, wówczas oś obrotu zostanie zmieniona, a kostka nie jest już sprawiedliwa. źródło

Zmiana środka masy jest nazywana ważeniem kostki. Gdy środek masy jest przesuwany dalej od środka matrycy, efektywnie lżejsza ściana będzie częściej toczyć się w górę niż nie.

Tworzenie uczciwych kości przez ignorowanie twarzy

Kości z nieparzystą liczbą płaskich ścian mogą być wykonane jako „długie kości”. [ 26] Oparte są na nieskończonym zestawie pryzmatów. Wszystkie (prostokątne) twarze, na których mogą wylądować, są przystające, więc są równie uczciwe. (Pozostałe 2 boki graniastosłupa są zaokrąglone lub zakończone piramidą, zaprojektowaną tak, aby kostka nigdy nie spoczywała na tych powierzchniach) Źródło

To ostatnie zdanie jest najważniejszą częścią. Ta 7-ścienna kość jest sprawiedliwa dla zakresów 1-5, pod warunkiem, że zignorujesz 6 i 7 ścianę. Jak czytaliśmy powyżej, każdy pryzmat może być sprawiedliwy, pod warunkiem, że końce są „zakryte” lub zignorowane ( patrz Long Dice ). Tak więc prawdziwy d7 zostałby wykonany z pryzmatu siedmiokątnego . Tak więc, ignorując końce, istnieje obrót, który odwzorowuje każdą ścianę, wierzchołek i krawędź na położenie innej ściany, krawędzi i wierzchołka. Wróćmy do powyższego przykładu. Kładziemy go płasko na 6. krawędzi i obracamy o 72 stopnie. Voila! Każda z twarzy znajduje się teraz w miejscu, w którym kiedyś była twarz, każda krawędź jest w miejscu, w którym była inna krawędź, a każdy wierzchołek znajduje się w miejscu innego wierzchołka . Z wyjątkiem czapek, które zignorowaliśmy.

Niedawno mogłeś zauważyć kości beczkowe. Używają tej samej podstawowej zasady, z tym że ich boki są trójkątami, a nie prostokątami.

Dlaczego niesymetryczne nieortodoksyjne kształty nie działają?

Rezultatem tego, że matryca jest przechodnia i ma środek masy w równej odległości od środków ścian jest to, że wymaga takiej samej siły w jednym kierunku, aby ją obrócić bez względu na to, jaką ma ścianę wylądował na. Kiedy spojrzymy wstecz na d7, możemy łatwo zgadnąć, że przyłożenie siły, aby przejść ze ściany 1 na ścianę 2, jest taką samą siłą, która zmieni ją ze ściany 2 na ścianę 3, gdy spoczywa na stole. Wynika to z faktu, że kąty między twarzami są takie same i ponieważ twarze są takie same po tych stronach. Powierzchnia styku ze stołem jest taka sama, gdy „1” jest na górze, jak przy „2”. Rozważmy twarze 6 i 7.

Kiedy strona 6 jest do góry, strona 7 jest skierowana w dół. Stół ma teraz większą powierzchnię. Ponadto kąt pomiędzy ścianą 6 a jakąkolwiek inną ścianą, która się z nią styka, jest większy (90 stopni w porównaniu z 72 stopniami). Oba oznaczają, że pchnięcie go na jedną z pozostałych twarzy wymaga większej siły.Więc gdy kość spada i powierzchnia 6 lub 7 uderza w stół pod koniec spadania i traci część swojej prędkości i prędkości obrotowej, jest bardziej prawdopodobne, że X siła nie spowoduje, że kość spadnie na tę ścianę i wyląduje na 1-5.

Komentarze

• Komentarze nie są przeznaczone do rozszerzonej dyskusji; ta obszerna rozmowa na temat wielu matematycznych / fizycznych / statystycznych punktów w poście została przeniesiona do własnego dedykowanego czatu . Zdecydowanie sugeruję tym, którzy ' przeczytali do tej pory, również przeczytanie czatu. W każdym razie dalsze komentarze powinny dotyczyć wyłącznie tego, w jaki sposób OP może poprawić ich prezentację ich pozycji; jeśli chcesz argumentować, że ich pozycja jest nieprawidłowa, zrób to we własnej odpowiedzi lub na czacie.