Nie jesteś jedynym, który kwestionuje nieskończone niezliczone liczby. W rzeczywistości istnieją całe szkoły myśli badające nieskończone spektrum liczb, całe szkoły myśli badające nieskończone liczby poza nieskończonym spektrum i całe szkoły myśli badające, jak robić matematykę tam, gdzie nieskończoności nie istnieją (znane jako skończone szkoły myśl)!
Podstawą dyskusji o liczbach nieskończonych jest koncepcja arytmetyki Peano. Giuseppe Peano opracował zbiór aksjomatów dla tak zwanych „liczb naturalnych”, które są nieformalnie zdefiniowane jako ciąg 0, 1, 2, 3, 4. .. Aksjomatami są:
- 0 jest liczbą naturalną (deklarujemy, że istnieje, jest stałą)
- Dla każdej liczby naturalnej
x, x = x (reflexive: wszystko„ równa się ”samo)
- Dla wszystkich liczb naturalnych
x i y, jeśli x = y to y = x (symetryczna właściwość równości)
- Dla wszystkich liczb naturalnych
x, y, z, jeśli x = y i y = z, a następnie x = z (przechodnia właściwość równości)
- Dla wszystkie
a i b, jeśli b to liczba naturalna i a = b wtedy a to liczba naturalna (równość jest „zamknięta”)
Następnie musimy zdefiniować funkcję S, nazywana funkcją następcy, dzięki czemu możemy mieć liczby większe niż 0. Nieformalnie, S(0)=1, S(1) = 2 i tak dalej on.
- Dla każdej liczby naturalnej
n, S(n) jest również liczbą naturalną
- Dla wszystkich liczb naturalnych
m i n, m = n wtedy i tylko wtedy, gdy S(m) = S(n) (S to zastrzyk)
- Dla każdej liczby naturalnej
n, S(n) = 0 jest fałszem (następca liczby nigdy nie jest 0 … aka 0 to „pierwsza” liczba naturalna)
Teraz potrzebujemy aksjomatu, który sprawia, że twoje pytanie jest tak niezwykle interesującego, aksjomatu indukcji:
- jeśli
f jest funkcją taką t f(0) jest prawdą i dla każdej liczby naturalnej n, jeśli f(n) jest prawdziwe, to f(S(n)) jest prawdziwe, to f(n) jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych.
Ten ostatni aksjomat to taki, który powoduje tyle interesujących zachowań. To ten, który próbuje sięgnąć do nieskończoności i twierdzi, że oferuje sposoby, aby ją uchwycić. I, podobnie jak wszystkie aksjomaty, niekoniecznie stwierdza, że jest „poprawny”, a jedynie, że jest uznany za prawdziwy w określonych granicach reguł arytmetyki (zgodnie z definicją Peano).
Wiele arytmetyki zostało sformalizowane na tak zwanej „teorii mnogości”, która jest podstawą dużej części naszej matematyki, ponieważ wydaje się fundamentalny wpływ na organizację wszechświata. Zbiory zajmują się określonymi zbiorami rzeczy, takimi jak „zbiór liczb naturalnych mniejszych od 5”, który zapisuje się jako {0, 1, 2, 3, 4}.Arytmetyka Peano jest najczęściej odwzorowywana na teorię mnogości przy użyciu następującej konstrukcji:
- Pusty zbiór
{} jest deklarowany jako stała 0 w aksjomatach Peano
- Następująca funkcja
S(n) jest zdefiniowana jako` S (n) = {{}, {n }} (Następca dla dowolnej liczby jest zdefiniowany jako suma pustego zestawu i zestawu zawierającego poprzednią liczbę)
Ta definicja brzmi trochę tępo, ale została wybrana, ponieważ można łatwo odwzorować wszystkie inne aksjomaty Peano na te dwie definicje. Dzięki temu zyskujemy umiejętność używania aksjomatów teorii mnogości do manipulowania „liczbami” w bardzo potężny i fundamentalny sposób. Jednym z najważniejszych z nich jest koncepcja liczność zbioru. To jest „liczba” elementów w zestawie. Nieformalnie {1, 2, 3}, {3, 4, 5} i {apple, orange, orangutan} mają liczność 3, ponieważ ma 3 elementy, ale {2, 4, 6, 8} ma liczność 4.
To jest gdzie staje się to trudne, ponieważ okazuje się, że „zbiór wszystkich liczb naturalnych” jest prawidłowym zbiorem, zwykle reprezentowanym przez wielką N, więc możemy zapytać „jaka jest liczność zbiór wszystkich liczb naturalnych? ”Odpowiedź brzmi„ nieskończoność ”i to stwierdzenie jest traktowane jako definicja. Liczność N definiujemy jako określoną liczbę, znaną jako ℵ₀, której nadano angielską nazwę „policzalna nieskończoność”. Tak, dla matematyków nieskończoność jest policzalna, ponieważ teoretycznie można zacząć od 0, liczyć w górę 1, 2, 3, 4, 5… i „osiągnąć” ℵ₀ zgodnie z aksjomatem indukcji. Istnieją również niezliczone nieskończoności, takie jak ℵ₁, znane jako kardynalność kontinuum lub liczba liczb rzeczywistych (zakładając, że hipoteza kontinuum jest prawdziwa … są nawet różne opinie na ten temat). Jest nawet szkoła pomyślałem o liczbach „nieskończonych”, które mogą obsługiwać wyrażenia takie jak „Podwójny pies ośmielam Cię w nieskończoność plus jeden raz!”
Witamy w króliczej dziurze nieskończoności w matematyce. Zdefiniowaliśmy tutaj to słowo jako coś znaczącego. Jest zdefiniowane w odniesieniu do zestawu aksjomatów. Czy te aksjomaty sprawdzają się w „prawdziwym życiu?” Większość matematyków uważa, że tak jest. został opracowany przy użyciu wielu modeli z rachunku różniczkowego, a korzenie rachunku różniczkowego znajdują się głęboko w nieskończoności (w szczególności jego koncepcja „granic”). Jak dotąd to założenie zrobiło nam całkiem nieźle. Czy to założenie jest „prawdziwe?” To jest bardziej skomplikowane pytanie. Istnieją skończone szkoły myślenia, które wychodzą z założenia, że liczba liczb naturalnych jest skończona, co zwykle wiąże się w taki czy inny sposób ze skończoną pojemnością ludzkiego umysłu lub wszechświata. Jeśli czas jest skończony, a obliczenia są skończone, to teoretycznie nie można komputerowej „nieskończoności”, więc twierdzą, że ona nie istnieje. Czy mają rację? Cóż, tak … na podstawie ich definicji, tak jak twierdzenie przeciwne jest prawdziwe przez definicje aksjomatów Peano i teorii mnogości. Obydwa mogą być prawdopodobnie prawdziwe, ponieważ każde z nich definiuje słowo „nieskończoność”, aby oznaczało coś nieco innego.
Na zakończenie warto zagłębić się w język wybór: „Czy więc powiemy, że liczby są nieskończone?” Możemy powiedzieć wiele rzeczy. To, czy te rzeczy spełniają ideał prawdy (samo w sobie jest bardzo trudnym słowem do formalnego opisania), zależy w dużej mierze od indywidualnych znaczeń słowa. Jeśli zaakceptujesz definicję „nieskończoności” podaną przez matematykę głównego nurtu, to „liczby są nieskończone” jest prawdziwe, dosłownie, ponieważ matematyka głównego nurtu definiuje „nieskończoność” jako taką. Jeśli zaakceptujesz definicję podaną przez finitystów, wtedy „liczby są nieskończone” jest fałszywe, dosłownie, ponieważ finityści definiują „nieskończoność” jako taką. Możesz wybrać własną definicję. Może nawet być kontekstualne (nierzadko zdarza się, że chrześcijańscy matematycy definiują „nieskończoność” w swojej religii nieco inaczej niż w matematyce, bez żadnych złych skutków poza dwoma bardzo podobnymi pojęciami, które mają to samo słowo w swoim słowniku) .
Komentarze