Czy liczby są prawdziwe?

Rozważmy następującą analogię. Co to jest kurczak? Czy kurczaki są prawdziwe?

Był czas (przynajmniej w większości miejsc w Europie), kiedy to pytanie wydawałoby się jeszcze głupsze niż obecnie. Wszyscy dokładnie wiedzieli, czym jest kurczak. Nawet bogaty arystokrata musiałby przejść około piętnastu minut i wskazać przykład kurczaka. To była żywa i godna uwagi część codziennego doświadczenia każdego. Tak samo jak nasze doświadczenie z liczbami. To (wskazanie na karton sześciu jaj) to sześć. To (wskaż jabłko, a drugie jabłko, które zostało przecięte na pół i jedna z połówek usunięta) to trzy połówki. I tak dalej.

Fakt, że nie możesz po prostu wskazać zbiór czegoś i powiedz „ jest minus-trzy ”, „ jest pierwiastek-z-pięciu ” lub „ jest sześć plus trzy -i „są powodem, dla którego niektórzy ludzie, którzy są sfrustrowani tymi pomysłami, czują się usprawiedliwieni, mówiąc, że nie są to rzeczywiste liczby. W rzeczywistości jest to uczciwa krytyka i wskazuje na fakt, że nigdy nie siadamy i rozmawiać o tym, jakie naprawdę mają być liczby. Oczywiście w dzisiejszych czasach ktoś może również spędzić całe życie bez kurczaka i zaakceptować, że istnieje zwierzę, które jest niejasno zaangażowane w tworzenie jaj, które czasami jedzą na śniadanie. Z pewnością ci z nas, którzy nie dorastali na farmie lub w zoo z kurczakami ani w ich pobliżu, przyjmujemy istnienie kurczaków jako artykuł wiary przez kilka lat. Podobnie uważamy, że istnieją „liczby”, które nie odpowiadają zbiorom rzeczy jako otrzymanej idei.

Więc jeśli liczby nie muszą odpowiadać zbiorom rzeczy, czym one są? Cóż, w przypadku (dodatnich) liczb niewymiernych mogą one odpowiadać długościom linii lub powierzchni — ciągłym ilościom czegoś, co jest niezłe uogólnienie rozmiarów kolekcji. A liczby ujemne mogą odpowiadać deficytom lub różnicom takich kwot. A liczby zespolone, hm… cóż, są „ponownie… przydatne w mechanice kwantowej i elektrotechnice…i, hm, tak samo jak kwaternianie … Odkryliśmy, że rozciągamy definicję liczby od „ ilość ” do „ przydatna ”, co moim zdaniem jest ważna rzecz do zauważenia.

Nie ma oczywistego miejsca, w którym powinniśmy się po prostu zatrzymać. Fakt, że liczb zespolonych nie można już nawet uporządkować (nie wspominając o kwaternionach, dla których mnożenie nie „nawet dojeżdżają ) sugeruje, że tylko dlatego, że coś rozwiązuje x ² + 1 = 0, nie oznacza, że jest to liczba (że liczby zespolone nie są ogólnie „t ” liczbami). Ale możemy powiedzieć, że tylko dlatego, że coś jest górną granicą ograniczonej sekwencji liczb, to nie jest to „ta liczba” (liczby rzeczywiste nie są wszystkie „liczby”, aw szczególności pierwiastek kwadratowy z dwóch lub pięciu); lub tylko dlatego, że coś jest różnicą dwóch liczb, że nie jest to „ta liczba ( liczby ujemne nie są „wszystkie„ liczby ”); czy tylko dlatego, że coś jest stosunkiem dwóch liczb, czy Nie uczyń z tego liczby ( dodatnie liczby wymierne nie są „wszystkimi” liczbami). Ale to wyklucza wszystko oprócz nieujemnych liczb całkowitych; a ludzie w przeszłości patrzyli nawet krzywo na zero. Mógłbyś nawet argumentować, że jeden nie jest liczbą ta, jeśli argumentowałeś, że przez „liczbę” masz na myśli liczbę w liczbie mnogiej.

Dlatego bardzo ważne jest, aby zadać sobie pytanie: czym jest liczba?

Co to jest kurczak? To mały ptaszek, który słabo lata. Ale nie chcemy zaliczać kiwi ani maskonurów do „kurczaków”, więc może powinniśmy określić, że mają krótkie dzioby i nie pływają dobrze. A co z bażantami? Nawet jeśli przejdziemy do pomyślnego odizolowania kurczaków od wszystkich innych żywych ptaków za pomocą definicji, co z przodkami kurczaków, którzy wyewoluowali w nowoczesne zwierzę hodowlane? W pewnym momencie nie było kurczaków, a potem było było . Kiedy to się zmieniło?

Problem z kurczakami, a także z liczbami, jest to, że ostatecznie mamy definicje tych słów tylko według konwencji, które są oparte na przykładach . Przyjmujemy współczesne kurczaki jako „kurczaki”, a nie „nie akceptujemy kiwi jako„ kurczaków ”. Podobnie chcemy uwzględnić „sześć” i prawdopodobnie „trzy połówki”, a może „minus dwa” i „pierwiastek kwadratowy z pięciu” jako liczby, ale nie chcemy uwzględniać funkcji f :   ℤ → ℤ dana przez f (x) = 3 x +2 jako liczba. Nie o tym myślimy jako liczba, ponieważ nie można jej używać w sposób, w jaki chcemy używać liczb . Liczby są narzędziami do zrozumienia świata .

Które ptaki uznajemy za kury? Te, które zachowują się w określony sposób, w szczególności, które możemy w określony sposób zrozumieć. Ich jaja smakują w określony sposób, mięso w określony sposób, a one zachowują się w szczególny sposób. Dbamy o to, jak zachowują się i jak smakują, ponieważ interesują nas one jako cechy środowiska, z którym będziemy wchodzić w interakcje (być może po to, aby je zjeść). Pojęcie kurczaka to coś, co mamy w środku wentylowane, aby odróżnić niektóre zwierzęta od innych. Gdybyśmy nie przejmowali się różnicą między kurczakiem a bażantem, nie mielibyśmy oddzielnych pomysłów na kurczaki i bażanty. (Tylko dlatego, że mamy różne słowa na określenie rzeczy, nie sprawia, że są one inne, ale oznacza to, że interesują nas różnice, które naszym zdaniem mają). Pojęcie „kurczak” to narzędzie, które używamy do zrozumienia niektórych zwierząt, o których wiemy.

Podobnie, pojęcie „liczby” jest narzędziem, którego używamy do zrozumienia relacji między obiektami. Ale wykracza poza samo pojęcie „liczba” „sama w sobie: każda liczba jest pojęciem, którego używamy, aby odróżnić inne liczby. Rzadko myślimy, że istnieje tylko„ liczba ”czegoś, aby zaznaczyć, że istnieje więcej niż zero, jedno lub dwa; zależy nam na tym, który numer. Różnica między sześcioma jajami a siedmioma jajami jest dla nas ważna.

Ale jest jeszcze jedna różnica w przypadku kurczaków: możemy zobaczyć małe kurczaki lub duże kurczaki (jeden rodzaj kurczaka o różnych właściwościach), ale nigdy nie widzimy szóstka jajeczna lub szóstka jabłkowa (pojedynczy tzw rt liczby z różnymi atrybutami). Widzimy sześć jajek lub sześć jabłek. W tym przypadku liczba nie odgrywa roli rzeczownika, ale przymiotnik . Zatem cała ta mowa o „kurczakach”, które są przedmiotami, wprowadzała w błąd. Powinniśmy pomyśleć coś w stylu: „Czy czerwony jest prawdziwy”? „Czy duży jest prawdziwy”?

Cóż, kolory są prawdziwe, a rozmiary prawdziwe, ale co sprawia, że kolor jest „czerwony”? Możemy wymyślić dowolną definicję opartą na częstotliwościach światła, ale potem „uzależniamy definicję koloru od liczb, co nie jest sposobem na rozwiązanie problemu rozumienia liczb. W końcu znowu mamy konwencje oparte na na przykładach.Ale z pewnością rzeczy, które nazywamy numerami, muszą istnieć ? Że naprawdę jest liczba trzy? Oczywiście widzimy to cały czas. Podobnie, musi istnieć kolor czerwony, czy nie?

Kolor czerwony zależy od naszego aparatu sensorycznego i sposobu, w jaki nasz mózg przetwarza sygnały wysyłane do nas przez oczy. Kolor czerwony jest wyłaniającym się doświadczeniem, wynikającym ze struktury naszych mózgów i narządów zmysłów. Pojęcie koloru czerwonego jest użytecznym sposobem zrozumienia naszego świata na podstawie tego, jak go doświadczamy. Nie ma rozsądnego sposobu, aby zaprzeczyć, że są rzeczy, które świecą czerwonym światłem ( światło, które postrzegamy jako czerwone ); rzeczy, które odbijają światło czerwone ( które odbijają preferencyjnie światło, które postrzegamy jako czerwone ); i że czerwone światło pada z grubsza w niektórych częstotliwościach światła ( stworzyliśmy cały teoretyczny aparat do opisu elektromagnetyzmu, który jest wystarczająco użyteczny do budowy wież radiowych, piorunochronów, maszyn rentgenowskich, maszyn NMR i laserów oraz ta teoria światło, które postrzegamy jako czerwone, wpływa w określony sposób na pewne aparaty światłoczułe, a te przewidywania są potwierdzone doświadczeniem ). Pojęcie „czerwieni” jest niezwykle użytecznym i solidnym sposobem opisywania, w jaki sposób doświadczamy świata .

Można nawet powiedzieć, że świat jest opisywany jako „nieracjonalnie skutecznie” przez pojęcie koloru; nie ma żadnego szczególnego powodu, dla którego tak wiele naszych doświadczeń miałoby być opisywane kolorem. Nie mówimy na co dzień o zapachu stali, dźwięku plastiku, smaku granitu. W jakiś sposób świat jest ukształtowany w taki sposób, że nasz dominujący sposób percepcji zmysłowej okazuje się niezwykle przydatny do opisania dużej części świata. Z pewnością kolorowe światło, dokładnie w zakresie częstotliwości, które możemy zobaczyć naszymi oczami, musi odgrywać fundamentalną rolę w funkcjonowaniu wszechświata! Z pewnością „czerwony” ma fundamentalną rzeczywistość poza naszym własnym istnieniem; z pewnością kolor czerwony ma niezmienny, nawet platoński charakter!

Nie zgadzam się. Kolor czerwony jest rzeczywiście bardzo przydatny do wyczucia i zrozumienia, ponieważ jest to sposób, w jaki postrzegamy pewne przydatne zjawiska fizyczne. Ale gdybyśmy dostrzegli nieco szersze spektrum, które obejmowało to, co nazywamy podczerwienią, byłoby to również przydatne; dlaczego tego nie robimy? Przypuszczam, że z przyczyn przypadkowych. Być może w ciepłym klimacie jest za dużo hałasu w tych częstotliwościach; chociaż to nie wyjaśnia, dlaczego niektóre gatunki węży mogą wyczuć je , podczas gdy my nie możemy. Przyczyną, dla której możemy dostrzec czerwień wśród innych kolorów, jest ostatecznie to, że był to użyteczny wypadek .

Jeśli wydaje nam się, że liczba trzy ma niezwykle żywotne istnienie, może to wynikać z tego, że pojęcie liczby jest przydatne do sformułowania w reakcji na otaczający nas świat, i jest tak bardzo, że jest podłączone do naszych mózgów na bardzo głębokim poziomie. Oznacza to, że na świecie jest naprawdę ilości rzeczy i że niektóre pojęcia „ilość” są tak proste i ważne, że można wyewoluować istoty, które uważają, że pojęcie ilości jest tak niezwykle ważne, że może istnieć niezależnie od wszystkiego, aby mieć kwotę równą .

Nieujemne liczby całkowite — „liczby naturalne” — to nasze najprostsze narzędzia do mierzenia ilości. Ale są to nasze narzędzia , znacznie wykraczające poza nasze możliwości natychmiastowego uchwycenia ilości, sięgające dziesiątek, setek i miliardów —, tak jak mamy narzędzia do pomóż nam wyczuć podczerwień, chociaż nie możemy jej bezpośrednio dostrzec.

Liczby to pojęcia. To nasze narzędzia, które pomagają nam zrozumieć przydatne rzeczy o świecie. Są to bardzo, bardzo, bardzo przydatne narzędzia; i na tyle wszechstronne, że mamy wszelkie powody, by sądzić, że można ich użyć do opisania dowolnego wzoru, który jesteśmy w stanie pojąć (i wielu, których nie możemy pojąć), niezależnie od tego, czy ten wzór jest kiedykolwiek urzeczywistniany w świecie materialnym. Ale nie ma więcej powodów, aby sądzić, że liczby (takie jak Trzy) istnieją niezależnie, tak samo jak myślenie, że istnieje platoniczna czerwień, która istnieje niezależnie od jakiegokolwiek czerwonego obiektu.

Komentarze

• Doskonała odpowiedź. +1
• co oznacza ' real '? … bez tej definicji wszystko jest po prostu mumbo-jumbo;)
• Ta odpowiedź nie jest ' tak pouczająca, jak się wydaje; wymaga wielu pytań w filozofii matematyki. Na przykład twierdzenie, że ” Liczby są narzędziami do zrozumienia świata ” nie jest wcale oczywiste i całkowicie ignoruje takie pozycje, jak platonizm matematyczny lub intuicjonizm lub formalizm.Ponadto twierdzenia, takie jak „, pojęcie liczby jest przydatne, ” są empiryczne, ale nie ma dowodów na ich poparcie. @OP: To nie jest dobra odpowiedź. Popiera szczególny, kontrowersyjny pogląd na liczby. Ponadto nie ' nie cytuje żadnych odpowiednich badań na poparcie swoich twierdzeń.
• @Niel: Wszystko, co twierdzi formalizm, to to, że obiekty matematyczne są pewnymi znakami na stronie , zmanipulowane według pewnych zasad (z grubsza – będzie to zależało od marki, którą wybierzesz). Co ważne, formaliści nie ' uważają, że wyrażenia matematyczne wyrażają zdania, co jest sprzeczne z twoim twierdzeniem w PO, że liczby są pojęciami. Odp .: twierdzenie, że ” liczby są przydatne „. Odpowiedziałem, być może nie tak jasno, jak mogłem, na twój quasi-ewolucyjny argument za jakimś rodzajem natywizmu na temat pojęć liczbowych.
• Cont ' d. Jest to ogromna otwarta kwestia zarówno w psychologii, lingwistyce, jak i filozofii języka, i nieuczciwe jest przedstawianie tej kwestii tak, jakby twoje poglądy nie były ' zbyt sporne. Tutaj ' jest jednak moim głównym problemem: pytanie dotyczy ogromnego otwartego pytania z filozofii, a ty przedstawiasz własną odpowiedź, prawie bez odniesienia do ogromnej literatury poświęconej temu tematowi . Niepokoi się, że ktokolwiek zadał pierwsze pytanie, wygrał '. Nie docenia, jak kontrowersyjna jest twoja odpowiedź, modulo stanowiska, które zostały zbadane w tej dziedzinie.

To zależy od tego, co dokładnie rozumiesz przez „prawdziwy”. Z jednego punktu widzenia liczby są tak samo prawdziwe, jak twoja lewa ręka; są bytami, które istnieją niezależnie od umysłu, przyczynowo i nieprzestrzenno-czasowo (tj. poza przestrzenią i czasem). Taki byłby pogląd przynajmniej jednej wersji matematycznego platonizmu i wydaje się wskazywać na pogląd, że odkrywamy coraz głębszą matematyczną strukturę wszechświata.

Moim zdaniem musiałbym powiedzieć – tak; abstrakcyjne obiekty, takie jak pierwiastek kwadratowy z 2, są na przykład tak samo rzeczywiste jak krzesło. Są rzeczywistymi bytami, ale nie są związane prawami przyczynowości ani przestrzeni i czasu.

Komentarze

• Dobra odpowiedź! Może być jednak interesujące posłuchanie trochę więcej o tym, dlaczego poleciłbyś tutaj swoją odpowiedź.
• Twoje pierwsze zdanie określa problem, a potem dygresja …

Natura liczb to naprawdę trudny problem; z punktu widzenia „filozofii matematyki”, najlepszym punktem wyjścia jest jak dotąd Grundlagen Fregea (1884 – Podstawy arytmetyki) – trudny, ale satysfakcjonujący. Drażliwy problem „rzeczywistości” abstrakcji przedmiot (zaczynając od Platona i Arystotelesa) polega na tym, że myślimy, że przedmioty są rzeczywiste, gdy jesteśmy w stanie je zobaczyć i dotknąć, a nie możemy zobaczyć ani dotknąć liczb. Ale jeśli nie są one rzeczywiste, dlaczego są tak … przydatne Niezbędne dla całej ludzkości? Wiele pracy w XX wieku poświęcono filozofowi matematyki, aby znaleźć sposób na poparcie idei, że liczby nie są rzeczywiste (w codziennym tego słowa znaczeniu), ale matematyka i tak jest warta studiowania jako … . gra z symbolami, zestawem stwierdzeń zgodnych z konwencją, konstrukcją społeczną itd.

Liczby są „rzeczywiste” w tym sensie, że są sposobem, w jaki człowiek organizuje względny ruch między obiektami, które obserwuje w swoim otoczeniu. (np. to tutaj + tamto = dwa z tych se). Jednak liczby nie są „rzeczywiste”. Oznacza to, że nie można ich zakwalifikować jako istniejących poza kontekstem obiektów, które czuje człowiek. Jeśli usuniesz „liczbę” z obiektu (ów), które nadają mu określoną wartość, można ją zdefiniować tylko jako „nieskończoną”. Co, praktycznie mówiąc, wynosi zero. Tak więc liczby, jak każda abstrakcyjna koncepcja, wymagają od obserwatora „rzeczywistego” (w tym przypadku człowieka). To oczywiście sprawia, że pion dla WSZYSTKICH wartości (prawdy) jest tym, który obserwuje.

Uważam, że twoje zamieszanie wynika z nieświadomości, że „etykiety” służą do kategoryzowania różnych zestawów liczb są po prostu etykietami. Liczby „rzeczywiste”, „urojone”, „liczby zespolone itp. Są uporządkowanymi zbiorami. Niestety, niektóre z tych etykiet mają inne znaczenie poza matematyką. Poza matematyką„ rzeczywiste ”zwykle oznacza coś namacalnego, czyli postrzegane przez co najmniej jeden z naszych zmysłów, a „wyimaginowany” oznacza coś niematerialnego i nie postrzeganego przez nasze zmysły. Jednak w matematyce te słowa są tylko etykietami używanymi do rozróżnienia różnych zestawów liczb. użyliśmy zielonego zamiast „rzeczywistego” i czerwonego zamiast „wyimaginowanego” i ustawilibyśmy zieloną liczbę, czerwoną itp.

Komentarze

• Problem ” tylko ” W twoim wyjaśnieniu widzę, że: w jakim sensie redukcja liczb do zbiorów jest prawdziwa ” wyjaśnienie „? W jakim sensie jesteśmy bardziej pewni… rzeczywistości, istnienia… zbiorów niż istnienia liczb?
• Nie bez powodu otrzymali nazwy, które nadali. ' to nie tylko etykiety, ale także ' dobre etykiety. Pytanie, które zadajemy, dotyczy po części dlaczego są to dobre etykiety?

Nazwaliśmy je „liczbami”, ale w rzeczywistości „liczby” to po prostu stworzona przez człowieka etykieta dla naturalnie występujących reguł i zasad. Jednak bez względu na to, czy nazwiemy je „liczbami”, „licznikami” czy jakąkolwiek inną dowolną nazwą, nadal będą odgrywać kluczową rolę w manifestacji rzeczywistości, niezależnie od naszej wiedzy o nich.

Gdyby rasa się z nami skontaktowała, liczby i obliczenia matematyczne (w jakimś kształcie lub formie) byłyby czymś, co „mielibyśmy wspólnego. Różne starożytne cywilizacje miały różne systemy liczbowe, ale mimo to były„ liczbami ”. Nawet w dzisiejszych czasach widać wyraźną różnicę między cyframi chińskimi （零 ， 一 ， 二 ， 三 ， 四 ， 五 ， 六 ， 七 ， 八 ， 九） a cyframi arabskimi (0-1-2-3-4-5-6- 7-8-9); pomimo różnicy w symbolach, koncepcja stojąca za nimi jest taka sama.

Etykieta „liczby” jest próbą opisania „kodu wszechświata”. Więc, z grubsza mówiąc, powiedziałbym, że tak, liczby istnieją.

Stare pytanie. Ale fajnie! Ja ” Jestem zaskoczony, że nikt nie wspomniał o Principia Mathematica , w której ponad 100 stron (163, jeśli dobrze pamiętam) poświęcono na zdefiniowanie liczby ” 1 „.

Grałbym w grę, gdy byłem w liceum, sugerując, że 2 + 2 = 7, a kiedy inne studenci twierdzą, że po prostu poprosiłbym ich, aby udowodnili, że się mylę. Zwykle prowadziło to do wielu gestów dłoni zaczynających się od dwóch palców plus dwa palce, a kończących się jednym palcem.

Summum bonum jest takie, że liczby są po prostu ideami (konstrukcjami myślowymi reprezentującymi percepcję, a w tym sens, istnieją platonicznie). Jak już zostało bardzo dobrze wyjaśnione, pomysły te są przydatne przy opisywaniu otaczającego nas świata, dlatego nadal je wykorzystujemy i ulepszamy. Moja sugestia, że 2 + 2 = 7 łamie zasady nakreślone przez Alfreda North Whiteheada i Bertranda Russella; ale reguły wynikające z mojej sugestii są nie mniej arbitralne niż ich własne, tylko mniej przydatne.

Oczywiście należy również zdefiniować ” istnienie ” kiedy zadajesz takie pytanie.

Komentarze

• czy Twoje myśli istnieją? co z kimś innym ' s (w TWOIM kontekście, a nie z inną osobą ' s)?
• @slashmais Zdefiniuj ” istnieje „, a następnie ' odpowiem;)
• Widzę, co tam zrobiłeś 🙂 Próbowałem wskazać, gdzie według mnie odpowiedź na definicję ' istnieje ' można znaleźć tutaj: filozofia.stackexchange.com/a/10552/112 . W tym sensie masz całkowitą rację, mówiąc, że liczby to idee – wszystko jest . Aby odpowiedzieć na moje zapytanie dotyczące myśli kogoś innego ': będzie ono ' istnieć ' w Twój kontekst tylko wtedy, gdy druga osoba wyraża myśl (bezpośrednio / bezpośrednio) poprzez zachowanie, którego możesz być świadomy iz którego możesz wywnioskować taką myśl.

Wprowadzenie ułamkowych i ujemnych liczb wymiernych może być uzasadnione z dwóch punktów widzenia. Liczby ułamkowe są niezbędne do przedstawienia podziału jednostki wielkości na kilka równych części, a liczby ujemne tworzą wartościowe narzędzie do pomiaru wielkości, które można liczyć w przeciwnych kierunkach. Można to przyjąć jako argument zastosowanego matematyka. Z drugiej strony jest argument czystego matematyka, u którego pojęcie liczby, dodatniej i ujemnej, całkowej i ułamkowej, opiera się na fundamencie niezależnym od wielkości mierzalnej, a dla którego analiza jest schematem, który zajmuje się tylko liczbami. i nie ma per se obaw o mierzalną ilość. Analizę matematyczną można znaleźć na pojęciu dodatniej liczby całkowitej. Następnie kolejne definicje różnych rodzajów liczb, równości i nierówności między tymi liczbami oraz czterech podstawowych operacji można przedstawić abstrakcyjnie (autor: h.s carslaw)

Jakie liczby znajdujemy w przyrodzie? czy znalazłeś liczby ujemne?jak sama nazwa wskazuje, liczby naturalne występują w przyrodzie. powiedz, że określona długość (na przykład kij s ) jest traktowana jako 1 jednostka długości (np. 1m ) teraz, jeśli jest inny drążek ( s2 ) o długości równej dwóm s patyki, mówimy, że jego długość to 2 jednostki. podobnie długość może być wyrażona w jednostkach ułamkowych z s . liczby to etykiety reprezentujące określoną długość. ten sam pomysł można rozszerzyć na wszystkie mierzalne wielkości. dla liczb -ve rozważ wyrażenie
(ab) * (cd) = ac-bc-ad? bd

if „a” is length> „b „ length and ” c „ length> ” d „ długość, to iloczyn powinien być + ve spróbuj wstawić wartości do wyrażenia. Przekonasz się, że wyrażenie jest prawidłowe, jeśli „?” = „+” utwórz kwadrat o długości a i szerokości „c” , a następnie inny o długości „b” i „d” przez nałożenie „b” na „a” i „d” on „c” rozważ teraz każdy produkt w wyrażeniu jako odpowiadający obszar na diagramie. wkrótce zauważysz, że „?” powinno zostać zastąpione przez „+ „ lub możesz utworzyć regułę, że prawo podziału jest ważne, jeśli weźmiemy pod uwagę dwie -ve liczby mające taką właściwość, jak (-b * -d) = (+ b * d) wyobraź sobie, jak ważne jest prawo podziału, które tworzy formułę taką jak (ab) ^ 2 = a ^ 2 – b ^ 2 + 2ab. ta formuła daje nam skrót do wykonywania obliczeń, co stało się możliwe tylko wtedy, gdy mamy -ve liczby takich właściwości (pomnóż dwa -ve liczba oznacza + ve iloczyn ich wielkości). z pewnością jeśli nie zdefiniujemy -ve liczb, zawsze będziemy mieć długie obliczenia.

złożone nie „s:

A * sin (wt) = RE [e ^ {jwt}] ta koncepcja była używana wiele razy aby zredukować obliczenia, jak w przypadku analizy sieci, która obejmuje impedancje.

przeczytaj: Lloyd L. Lowenstein (autor): Beginning Algebra for College Students 2nd Edition (Autor)

Czy liczby istnieją poza naszymi głowami? Nie.

Czy to, co istnieje w naszych głowach, jest prawdziwe? Tak.

Czy liczby istnieją? Tak.

Jeśli wiedza, że coś jest rzeczywiste, jest definicją tego, co jest rzeczywiste, to może liczby są tak samo rzeczywiste jak wszystko we wszechświecie.

Mam chomika, uwielbiam go. Czy chomik jest prawdziwy? Moje doświadczenie z chomikiem jest prawdziwe, ale chomika można sobie wyobrazić, taka jest natura snów, że wydają się rzeczywiste. Taka jest natura liczb, że nie są niczym innym, jak tylko naszymi najgorętszymi snami.

Ale co jest ważniejsze dla wszechświata, marzenia czy skały? Na tej skale zbudowaliśmy nasze marzenia. A bez naszych marzeń i marzeń o wszystkim nie byłoby tu nic.

A jednak jak to jest, że mam dwoje oczu i 10 palców u nóg? Czy to dlatego, że natura może liczyć? Czy jest to przypadkowe? Czym jest palec u nogi, jeśli nie mały, zniekształcony palec u nogi przyczepiony do większego palca? Przypadkowe, mięsiste spotkania zdobiące większy mięsisty wyrostek tak nazwany i ponumerowany przez przypadek myśli obserwujących jego własne mięsiste ciało.

Kim jesteś, czytając to palcami i oczami i dlaczego czytasz, proszę pana lub pani , czy to ciekawość, strach, miłość czy coś innego, co cię dzisiaj napędza?

Dlaczego pomyślałeś o tym, czym jest liczba i przyszedłeś tutaj, aby o tym poczytać?

Ponieważ w jakiś sposób chcesz wiedzieć, czy TY jesteś prawdziwy. Być może uważasz, że jesteś liczbą. Być może potrzebujesz czegoś, czegokolwiek, czego mógłbyś się dziś uczepić, aby dać ci miejsce, w którym twój zmęczony umysł będzie mógł odpocząć podróżując po tym ogromnym obszarze możliwości.

Tyle możliwości!

Zastanawiam się, co jest prawdziwe. A najbardziej prawdziwe rzeczy, o których możemy pomyśleć, to rzeczy, którym możemy najbardziej ufać. Myślę więc, że jestem niepodważalny. Ale kim jesteś? Nie wiem, kim jestem, więc czy myślę „ja”?Nie mam pewności, bo to może być inna osoba, która myśli za mnie, może po prostu patrzę, jak myślą. A jednak znam liczbę 1. Tak, i jeśli wezmę jedną z jednej rzeczy, a drugą z tego samego, „Będę miał 2 takie rzeczy. I temu mogę ufać na zawsze … Ale zacząłem się zastanawiać, czy dodawanie rzeczy jest prawdziwe? Czy naprawdę jest coś 2? Kiedy patrzę, czy widzę na własne oczy 2 różne obrazy? Nie, widzę jeden obraz, moje 2 oczy działają jako 1. Co WIDZĘ? Widzę 1 obraz, więc myślę o jednym oku.

Czym właściwie jest liczba? Czy to konstrukt percepcyjny? Czy to jest definicja?

To jest przekonanie. Jak wszystko, wierzymy, wierzę. WIERZĘ. TY jesteś Ja. WIERZĘ W CIEBIE I MNIE. Wierzę w nas. Wierzę … w liczby.

Po prostu dodaję do doskonałej odpowiedzi udzielonej przez @Niel de Beaudrap. Zakwestionował nadużywane przez ludzi dychotomię „rzeczywista kontra stworzona przez człowieka”. Celem tej odpowiedzi jest pokazanie innych aspektów pytania, na które nie ma jeszcze odpowiedzi.

• Czy liczby występują w naturze? (przypuszczam, że właśnie to miał na myśli przez słowo rzeczywiste)
• Jeśli nie, jak możemy je zastosować do prawdziwe rzeczy?

I dwa drobne pytania

• Dlaczego liczby urojone są bardziej urojone niż liczby rzeczywiste?
• Dlaczego można „Czy liczbom zespolonym nie nadać określonej kolejności?

Czy liczby występują w przyrodzie?

Nie. Liczby są nie występuje w naturze. W naturze można znaleźć „dwa jabłka”, ale nie „dwa”. Ponownie warto zauważyć, co mamy na myśli, mówiąc „dwa jabłka”. Czy mamy na myśli dwa identyczne przedmioty? W takim razie nie możemy mówić o dwa jabłka, bo żadne jabłko nie jest podobne do drugiego w są podobne. Następnym pytaniem jest „Jak podobne”. Oczywiście nie chcemy liczyć pomarańczy jako jabłka. Ale my chcemy to policzyć, kiedy liczymy owoce. Nie możemy też liczyć jabłka, gdy liczymy „małe jabłka”. Więc oczywiście liczenie jest sztuczne. Ale tak samo jak wiele innych rzeczy, które bierzemy za pewnik w życiu. I oczywiście nie chodzi tylko o liczby rzeczywiste lub zespolone; nawet liczenie liczb jest sztuczne. Przyjmujemy liczenie liczb jako rodzaj rzeczywistych i kwestionujemy tylko bardziej sztuczne, takie jak liczby rzeczywiste, ponieważ jesteśmy przyzwyczajeni do liczenia liczb.

Mimo wszystko pojęcia liczenia liczb, ułamków i kwot są dziś bardzo przydatne do naszych celów, jak wyjaśnił @Niel de Beaudrap. Tak więc liczby nie występują w naturze. Liczby pomagają nam uchwycić ideę wzorców spotykanych w naturze . Zwróć uwagę, że to, co znajdujemy w naturze, nie musi być tym, co w naturze. Jest to dla nas rzeczywiście realne, ponieważ nasz świat jest tym, co czujemy.

Jeśli nie, jak możemy je zastosować do prawdziwych rzeczy?

Cóż, to „To trudna część. Liczby są narzędziami w matematyce. Gałęzie nauk ścisłych, takie jak matematyka i logika, nie dotyczą rzeczywistych rzeczy; nie mają nimi być. Rzeczywiście są abstrakcyjne. Na tym polega ich siła i słabość.

Jeśli podasz im jakieś zasady świata, który może istnieć lub nie, powiedzą Ci wiele innych rzeczy o tym świecie. Jeśli więc dasz im zasady (jakiekolwiek zasady), powiedzą Ci wiele konsekwencji tych reguł. To jest ich moc. Dlatego są stosowane prawie wszędzie. I powiedzą ci tylko konsekwencjach tych zasad, nie ma tam miejsca na osobiste przekonania wyroczni. To dlatego kładą nacisk na rygor.

Ale jeśli interesuje cię świat, którego zasady są ci nieznane, są tam bezradni. To jest dokładnie prawdą w naszym fizycznym świecie, jaki znamy. Fizyka jest interesują się zasadami naszego świata, ale matematyka ich nie zapewnia. (Z kolei fizyka teoretyczna i matematyka są bliskimi przyjaciółmi). Dlatego potrzebujesz pomostu między nimi, aby utworzyć połączenie. Tę lukę może wypełnić tylko filozofia. A narzędzia filozoficzne, takie jak modele, są zwykle stosowane.

Drobne pytania

Dlaczego liczby urojone są bardziej urojone niż liczby rzeczywiste? Cóż, liczby urojone nie są o uncję bardziej urojone niż liczby rzeczywiste. Podczas wykładu na temat liczb zespolonych profesor poprosił studentów, aby podnieśli ręce, jeśli uważają, że liczby urojone są urojone, a liczby rzeczywiste są rzeczywiste. Około trzynastu uczniów podniosło ręce. Potem powiedział: „Dobra, możemy o tym porozmawiać. Połowa z was przychodzi na scenę”.

Dlaczego „liczbom zespolonym nie można nadać określonej kolejności? Porządek nie oznacza ogólna rzecz; Mówią o konkretnej koncepcji zwanej łącznym zamówieniem .Mówienie, że liczby zespolone nie mogą być uporządkowane, oznacza, że bez względu na to, jaki porządek wymyślisz, nie spełni co najmniej jednego z warunków całkowitego porządku zgodnego ze zwykłymi polowymi działaniami dodawania i mnożenia. Więcej informacji można znaleźć w pytaniu w witrynie stackexchange i tej stronie z cut-the-knot . W rzeczywistości zbiór {0,1, -1, i, -i} samych liczb zespolonych będzie stanowić problem, gdy spróbujemy podać całkowity porządek zgodny ze zwykłymi operacjami na polach. Jeśli jesteś zainteresowany, podam szczegóły (nie jest to trudne, ale myślę, że nie będzie to miało dla ciebie żadnego znaczenia filozoficznego).

Komentarze

• Zbiór {0,1, -1, i, -i} jest całkowicie uporządkowany tak, jak go napisałeś, od lewej do prawej. Nie ma ' uporządkowania liczb zespolonych zgodnych z ich strukturą algebraiczną. Ale na liczbach zespolonych jest wiele zamówień całkowitych. Jedną z takich jest kolejność leksykograficzna na + bi.
• Edytowano. Dziękuję @ user4894. Starałem się, aby szczegóły były minimalne.
• Definicje (całkowitego) zamówienia i uporządkowanego pola można znaleźć na stronie 246 w książce Stephena Abbota ' ” Analiza zrozumienia ”

Liczby to pojęcia, które istnieją w naszym umyśle, aby pomóc nam zrozumieć różne zjawiska lub rzeczy we wszechświecie lub w samym wszechświecie. Nie możesz zobaczyć cyfry 2 idącej wzdłuż drogi. Powiedzmy, że masz przed sobą 6 kurczaków & 6 jabłek. Liczba 6 to nie sam kurczak ani samo jabłko. Kurczak to kurczak & jabłko to jabłko. Aby jednak określić, ile jest kurczaków lub jabłek, używamy pojęcia liczb. Dodajemy 6 przed kurczakiem lub jabłkiem &, powiedzmy 6 kurczaków lub 6 jabłek. Czy widzisz 6? Nie. Ale widzimy 6 kurczaków lub 6 jabłek; nie sama cyfra 6. Liczby są więc rodzajem koncepcji. A pojęcia istnieją w naszym umyśle. Mamy też wiele innych pojęć, takich jak litery, słowa itp. Nie widzisz, jak mówi do ciebie alfabet B. To tylko pojęcia aby pomóc Ci tworzyć słowa & zdania & w ten sposób komunikować się z innymi. Koncepcje to wytwory naszego umysłu służące do nazywania lub wyjaśniania rzeczy lub zjawisk, istnieją lub nie istnieją w rzeczywistości. Liczby są więc rodzajem pojęcia, które w rzeczywistości nie istnieją same w sobie, ale tak jest w naszym umyśle.

Jeśli wszystko w porządku, wolałbym skupić się na geometrii, a nie na liczbach. Czuję to samo w obu obszarach, ale geometria lepiej pasuje do mojego przykładu.

Rozważ następującą instrukcję:

Kąty dowolnego trójkąta są sumowane do 180 stopni.

Jeśli dobrze znasz podstawową geometrię, będzie to oczywiście prawdą.

A co z tym stwierdzeniem?

James Kirk jest kapitanem USS Enterprise .

Moglibyśmy twierdzić, że to nieprawda, ale jeśli bierzemy udział w konwencji Star Trek , to po prostu nie jest zbyt uprzejme. Ale jest gorzej. Jeśli twierdzimy, że powyższe stwierdzenie jest fałszywe, zapewniamy, że:

James Kirk nie jest kapitanem USS Enterprise .

A to wciąż sugeruje, że istnieje zarówno Kirk, jak i USS Enterprise , oprócz irytującego Treka fans. Istnieją bardziej skomplikowane sposoby interpretacji operatora negacji, ale to nie jest trywialny problem .

Załóżmy, że akceptujemy, że Kirk jest kapitanem, aby uspokoić fanów. Ale wtedy jeden z nich podchodzi do nas i mówi:

Jestem fanem Star Trek: The Next Generation i Myślę, że twoje oświadczenie Kirka jest fałszywe. Kapitanem Enterprise jest Picard, a nie Kirk.

W takim razie my ” zastanawiając się nad tym, podchodzi do nas matematyk i mówi:

Jestem fanem geometria nieeuklidesowa . Myślę, że twoje zdanie o trójkącie jest fałszywe.

Zdania matematyczne są prawdziwe w kontekście ich aksjomatów. Stwierdzenia na temat fikcji są prawdziwe w kontekście ich źródeł kanonicznych. Jeśli wybierzesz różne aksjomaty lub różne źródła kanoniczne, otrzymasz różne prawdy (jeśli przykład Kirka / Picarda jest zbyt subtelny, porównaj i porównaj Dracula Twilight ). Chociaż matematyka jest bardziej rygorystyczna iw większości przypadków bardziej bezpośrednio użyteczna niż fikcja, obie są formami sztuki.

Jak wiele sztuk, zarówno matematycznych, jak i fikcyjnych, aspiruje zarówno do prawdy, jak i do piękna . Ale to są walory estetyczne, a nie obiektywne rzeczywistości.Matematyka jest „prawdziwa”, gdy znajdziesz rzeczywistą sytuację, którą dokładnie opisuje i zastosujesz ją poprawnie. Fikcja jest „prawdziwa”, kiedy odkryjesz, że rezonuje z twoimi życiowymi doświadczeniami i celami, i spróbujesz żyć zgodnie z jej naukami. Te prawdy nie mogą istnieć w izolacji; zależą od obserwatora, aby je zaktualizować.

Odpowiadając na pytanie, liczby lub trójkąty są tak samo „prawdziwe” jak aplikacja , którą dla nich znalazłeś. Ale jeśli „po prostu zajmujesz się matematyką , ponieważ uważasz, że to„ piękne ”, nie musisz się przejmować, czy to jest„ prawdziwe ”. Może ktoś inny kiedyś znajdzie jakieś zastosowanie, jak to się stało z teorią liczb i kryptografią. Może nie. Tak czy inaczej, martwienie się o to nie miałoby sensu. Nie robisz tego dla prawdy. Robisz to dla piękna.

Leopold Kronecker stwierdził, że nie -Ujemne liczby całkowite zostały stworzone przez Boga. Wszystko inne jest „stworzone” przez ludzi. Idąc za tym pomysłem, wiemy na pewno, że nieujemne liczby całkowite są rzeczywiste. Teraz stwierdzenie „Liczby są prawdziwe”. jest równoważne z „Liczby istnieją”. Istnienie można udowodnić, zapisując jeden odrębny element spełniający daną właściwość. Korzystając z istniejących nieujemnych liczb całkowitych i stosując założenie, że nieujemne liczby całkowite są liczbami, wnioskujemy „Liczby są rzeczywiste”.

Edytuj: Właściwie chciałem zwrócić uwagę, że pytanie naprawdę zależy od tego, jak rozumiane są liczby.

Z drugiej strony chciałbym lubią zadawać cios punktowi Kroneckers. Mówiąc bardziej ogólnie, opisał naturalną skłonność istot ludzkich do liczenia rzeczy. To nie jest całkowicie nierozsądne. Weź pod uwagę, że znaleziono kości ze znakami liczenia, które mają około 30000 lat (mam nadzieję, że nie będziesz mnie winić, jeśli nie podam bibliograficznej weryfikacji) – na długo zanim ludzie zaczęli myśleć o aksjomatach konstruowania liczby naturalne.

Komentarze

• Argument autorytetu?
• @NieldeBeaudrap, nie ' nie spierać się z argumentem indukcyjnym. Czy nie ' czy nie jest to sprzeczne z wymaganiem argumentu z autorytetu?
• ” Leopold Kronecker stwierdził, że nieujemne liczby całkowite zostały stworzone przez Boga ” [podkreślenie moje].
• Fakt fakt, że ludzie używali idei bez aksjomatyzacji, nie oznacza, że ” istnieje ” niezależnie od ludzi. Czy magia jest prawdziwa? Czy szczęście jest prawdziwe?
• Myślę, że pozwalasz sobie myśleć o słowie ” użyj ” inaczej dla ' magic ' i dla ' liczby ', ale nieważne.

1. Liczby służą do liczenia.

2. Liczymy formularze.

3. Jedna Najbardziej prymitywną formą, jaką liczymy, jest linia.

4. Linia jest formą, która ma takie same zakończenie jak początek.

5. Zatem linia jest 1-wymiarową pętlą, a wszystkie liczby obserwujemy jako 1 zapętloną jako 1 zbiór (tj. 7 pomarańczy to 1 (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) lub 1 zestaw 1 „s, gdzie„ pomarańczowy ”to zestaw i część zestawu).

6. Wszystkie zjawiska są formami, gdy nabierają kształtu. Wszystkie zjawiska mające kształty są pętlami, gdy kończysz w miejscu, w którym zaczynasz, gdy obrysujesz kontur.

7. Liczenie jest pętla między podmiotem a przedmiotem (przedmiotami).

8. Tak więc liczymy pętle, używając liczb, które występują w pętli 1 o wartości 1 przez zapętlenie podmiotu i obiektu z obiektem, które mają kształt będący pętlą, a także racjonalne, że podmiot jest pętlą.

9. Liczby są formami przestrzennymi i istnieją poprzez procesy, które zachodzą poprzez formy przestrzenne.