Czy prawo Biota-Savarta otrzymano empirycznie, czy można je wyprowadzić?

$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ Prawo Biota-Savarta jest konsekwencją równań Maxwella.

Zakładamy Równania Maxwella i wybierz wskaźnik Coulomba, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Następnie $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Ale $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ part \ VE} {\ part t} = \ mu_0 \ VJ. $$ W stanie ustalonym oznacza to $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Zatem mamy równanie Poissona dla każdego składnika powyższego równania. Rozwiązanie to $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r „. $$ Teraz musimy tylko obliczyć $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Ale $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr „)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr „) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3} $$ i tak $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r „. $$ To jest prawo Biota-Savarta dla drutu o skończonej grubości. W przypadku cienkiego drutu zmniejsza się to do $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr „)} {| \ vr- \ vr „| ^ 3}. $$

Dodatek : W matematyce i naukach ścisłych ważne jest, aby zachować mając na uwadze rozróżnienie między historycznym i logicznym rozwojem przedmiotu. Znajomość historii przedmiotu może być przydatna do zrozumienia zaangażowanych osobowości, a czasem do rozwinięcia intuicji na ten temat. Logiczne przedstawienie tematu jest sposób, w jaki myślą o tym praktycy. Zawiera główne idee w najbardziej kompletny i prosty sposób. Z tego punktu widzenia elektromagnetyzm jest nauką o równaniach Maxwella i prawie siły Lorentza. Wszystko inne jest drugorzędne, w tym prawo Biota-Savarta.

Komentarze

• Ale jak ja ' widziałem to zrobione, Maxwell pochodzą z prawa Biota-Savarta, co spowodowałoby, że ten okólnik.
• @JLA: I ' dodałem coś do zajmij się ” cyklicznością „, do którego się odnosisz.
• @JLA, nie można matematycznie wyprowadzić Maxwella ' równania z prawa Biota Savarta. To, co ludzie czasami robią, to wnioskowanie (dochodzenie do) równań Maxwella ' z prawa Biota-Savarta dla konkretnego przypadku, takiego jak prądy stacjonarne, a następnie uogólnianie ich na wszystkie sytuacje słowami.
• Dla jasności operatory różnicowe są stosowane na $ {\ bf r} $, a nie na $ {\ bf r '} $, czyli ' jak są zamieniane całkami powyżej $ {\ bf r '} $.
• @AG Rzeczywiście, wzięcie pochodnej w odniesieniu do $ {\ bf r '} $ nie ma sensu.Mamy $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ Partial / \ Partial x_i $, a nie $ \ sum \ hat e_i \ Partial / \ Partial x ' _i $ (dla którego ja napisałby $ \ nabla ' $ lub coś podobnego).

Może być prawdą, że w dawnych czasach ludzie mierzyli siłę wynikającą z prądu włókienkowego, odkrywając prawo Biota-Savarta, a następnie używali tego jako inspiracji do konstruowania równań Maxwella. jak to się właściwie wydarzyło w historii, dobrze.

Ale to jest analogiczne do tego, że jakiś kosmiczny archeolog za 10 milionów lat znalazł szkieletową dłoń i stopę na Ziemi. Z ręki archeolog zaczyna rozumieć, co lubił z nią robić zwierzę, które miało tę rękę: że potrafiło chwytać i używać narzędzi itd. Na podstawie stopy archeolog zaczyna rozumieć, że zwierzę, do którego należało, chodziło na dwóch nogach i że w wieku dorosłym ważyło około 100-300 funtów.

Dopiero później archeolog stwierdza, że ręka i obie stopy należały do tego samego zwierzęcia – człowieka. Ale natura pracy oznacza, że zagadkę tego, czym był człowiek, trzeba rozbić na kawałki, które można zrozumieć indywidualnie, zanim cały obraz zostanie złożony. To powiedziawszy, sugerowanie, że ręka i stopa są bardziej fundamentalne niż sama istota ludzka, byłoby czymś wstecznym.

Równania Maxwella zostały skonstruowane tak, aby były zgodne z prawem Biota-Savarta i innymi informacjami , jak prawo Coulomba. Zatem możesz wyprowadzić Biot-Savarta z Maxwella, ale nie odwrotnie, ponieważ Maxwell jest bardziej ogólny i wszechstronny.

Jeśli już wiesz prawo siły Lorentza, możesz wywnioskować siłę pola magnetycznego z drutu po prostu strzelając naładowanymi cząstkami testowymi w pobliżu drutu i obserwując ich ruch. Ale to stawia pod znakiem zapytania, skąd już znasz prawo siły Lorentza, i tak

Możesz cały dzień krążyć w kółko nad tym, co jest fundamentalne, a co nie, co musi być oparte na obserwacji eksperymentalnej, a co jest jedynie skonstruowane tak, aby było zgodne z tymi obserwacjami, ale często istnieje taka preferencja dla „prostych” obserwacji eksperymentalnych uznawanych za fundamentalne vs. konstrukcje teoretyczne t Uwzględniają wiele takich obserwacji – patrz komentarz Chrisa Whitea, że równania Maxwella można wyprowadzić z prawa Coulomba i kilku innych rzeczy.

Dla mnie to głupie. Równania Maxwella zawierają sumę wszystkich naszych obserwacji (przynajmniej tych, które pasują do reżimu klasycznego). Dla mnie to jest tym, co wiemy o klasycznym elektromagnetyzmie. Powiedzieć, że możesz wyprowadzić Maxwella ” równanie z tylko jednym wynikiem plus kilka założeń … no cóż, mija się z celem, że te założenia także musiały zostać przetestowane i zweryfikowane w pierwszej kolejności. Dla mnie wyróżnianie specjalnych przypadków (czystych pól elektrycznych, czystych pól magnetycznych, statycznych lub dynamicznych) i traktowanie ich jako „podstawowych” jest bardzo, bardzo odwrotne.

Edycja: ale tak naprawdę fizyk musi pracować w obu kierunkach. Aby stworzyć nową teorię, często mamy specjalne przypadki, o których nie wiemy, że są połączone i musimy je połączyć. To właśnie buduje równania Maxwella z prawa Coulomba i Biot-Savarta. Aby najłatwiej przeanalizować konkretny problem, dla którego nie jesteśmy pewni, czy istnieje formuła dla szczególnego przypadku, musimy odwołać się do opisu najbardziej ogólnego (Maxwell) i spróbować sprowadzić go do czegoś prostszego i łatwiejszego do rozwiązania (w przypadku braku prądu i zależności czasowej, możesz wrócić do prawa Coulomba). Oba podejścia są konieczne, aby być jak najbardziej elastycznym.

Rozpoczynając od eksperymentu typu Rowland Ring, można zdefiniować przepuszczalność jako miara strumienia wytwarzanego w jednostkowej objętości na amperobrot. Jeśli następnie przyjmiemy, że ten strumień rozprasza się jako odwrotne prawo kwadratu, otrzymamy prawo biot savarta jako magiczny odpowiednik prawa Coulomba z dodatkiem iloczynu poprzecznego dbającego o prostopadłość kierunku pola i ściśle biorąc pod uwagę, że jest to hipoteza robocza potwierdzona jej użytecznością, ponieważ obecny element nie może istnieć w oderwaniu od reszty swojego obwodu. Moja rada – zignoruj wszelkie pokusy, by wpadać w więcej matematyki niż wymagane minimum, co doprowadzi cię do zrozumienia. Mam nadzieję, że to pomoże .

Prosimy kliknąć poniższy link. i przejdź do nagłówka „Praca”. Mówi, że prawo zostało odkryte eksperymentalnie w roku 1820, czyli 45 lat przed opublikowaniem równań Maxwella. Ogólne sformułowanie do Prawo Biota-Savarta zostało podane przez P. Laplacea. Wyrażenie prawa Biota-Savarta (integracja) pokazuje, że pri sutek superpozycji jest już w nim zawarty.Równania Maxwella zostały opracowane później i zostały zaprojektowane tak, aby obejmowały implikacje prawa Biota-Savarta. Być może jest to powód, dla którego możemy wyprowadzić równania Maxwella z prawa Biota-Savarta i odwrotnie.

Przejdź do tego linku https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force i przejdź do sekcji „Historia”. W w roku 1881, czyli 16 lat po opublikowaniu równań Maxwella, Thomson po raz pierwszy wyprowadził postać prawa Lorentza z równań Maxwella. Wreszcie, współczesna forma prawa siły Lorentza została wyprowadzona przez Lorentza w 1892 roku z równań Maxwella.

A więc sekwencja historyczna wygląda tak:

Prawo Biota-Savarta ==> Równania Maxwella ==> Prawo siły Lorentza.

Ale w salach lekcyjnych jesteśmy nauczane w następującej kolejności:

Po pierwsze: Prawo siły Lorentza, aby wprowadzić koncepcję, że pole magnetyczne wywiera siłę na poruszający się ładunek.

Po drugie: Prawo Biota-Savarta, aby wprowadzić koncepcję, że przenoszenie cha granice wytwarzają pole magnetyczne.

Po trzecie: równania Maxwella; uogólnienie wszystkich eksperymentalnych obserwacji w elektromagnetyzmie.

Wniosek jest taki:

(1) Prawo Biota-Savarta jest prawem obserwowanym eksperymentalnie. Prawo to obejmuje również ideę że zasada superpozycji jest również ważna w magnetostatyce. To prawo stanowiło podstawę dla magnetostatyki.

(2) Równania Maxwella zostały wyprowadzone w taki sposób, aby objąć ustalenia prawa Biota-Savarta ( wraz z innymi doświadczalnymi obserwacjami elektromagnetyzmu) Jest to uogólnienie teoretyczne. Równania Maxwella są bardziej fundamentalne niż jakakolwiek inna obserwacja eksperymentalna, ponieważ eksperymenty są zwykle wykonywane w pewnych okolicznościach i dlatego nie mogą dać uogólnionych informacji.

(3) Prawo siły Lorentza zostało wyprowadzone z równań Maxwella, można bezpośrednio zweryfikować eksperymentalnie.

UWAGA

„Obserwacja, a następnie uogólnienie”: Myślę, że w ten sposób rozwija się fizyka. Obserwacja (eksperyment) zawsze stanowi podstawę. Uogólnienie obejmuje obserwację i rozszerza jej użyteczność na inne wyobrażalne konfiguracje, przypadki i okoliczności. Dlatego zawsze można wyprowadzić uogólnienie na podstawie obserwacji i odwrotnie [Prawo Biota-Savarta można wyprowadzić z równań Maxwella, a równania Maxwella z prawa Biota-Savarta ] .

Tutaj podkreśla się, że prawo Biota-Savarta jest ważną obserwacją, która zapoczątkowała dziedzinę magnetostatyki. Można zastosować równania Maxwella (uogólnienie) i koncepcję potencjału wektorowego (ogólna właściwość pola wektorowego) wyprowadzić prawo Biota-Savarta, ale nie oznacza to, że Prawo jest tylko pośrednim krokiem w rozwoju wiedzy dotyczącej magnetostatyki. To, że można wyprowadzić równania Maxwella z prawa Biota-Savarta, a koncepcja potencjału wektorowego tylko potwierdza, że uogólnienie w równaniach Maxwella jest poprawne.

Komentarze

• Ale OP nie pytał o historyczny porządek wydarzeń.

Musimy spojrzeć na linię czasu (historię). Prawo Biota-Savarta zostało opublikowane przed publikacją Równań Maxwella. Zatem to prawo Gaussa dla pól magnetycznych (drugie równanie Maxwella) wywodzi się z prawa Biota-Savarta, a nie odwrotnie. Wyprowadzenie prawa Gaussa dla pól magnetycznych (drugie równanie Maxwella ) z Prawa Biota-Savarta można przeczytać tutaj Prawo Gaussa dla pól magnetycznych

Problem z prawem Biota-Savarta polega na tym, że teoretycznie jest ono sformułowane w oparciu o aktualne elementy $ Idl $ , a następnie zintegrowane. Ale w większości podręczników jest on sformułowany również dla opłat POINT, w kategoriach $ qv $ . Problem polega na tym, że gdy ładunek punktowy $ q $ porusza się z prędkością $ v $ , pole magnetyczne w pobliskie przestrzenie ZMIENIAJĄ SIĘ z czasem, tj. mamy $ \ frac {dB} {dt} $ , a następnie zachodzą efekty indukcyjne i naruszany jest warunek magnetostatyczny. W przeciwieństwie do tego, gdy $ Idl $ jest zintegrowany wzdłuż ciągłego przewodu, pole $ B $ jest stałe (magnetostatyczne ). Te dwie sytuacje są bardzo różne i według mojej najlepszej wiedzy pole opłaty punktowej $ B $ nigdy nie zostało zmierzone bezpośrednio. Force on $ qv $ , tak, ale nie pole utworzone przez $ qv $ .