Czym dokładnie jest wskazówka?

Pomyśl o kombinacji płaszczyzny zespolonej i zwykłych wektorów.

Wskaz jest liczbą zespoloną, reprezentującą funkcję sinusoidalną, której amplituda (A), częstotliwość kątowa (ω) i faza początkowa (θ) jest niezmienna w czasie.

Obraz i tekst z Wikipedii Phasors

Załóżmy, że masz sieć złożoną z wielu sinusoid (fal). Wszystkie mają tę samą częstotliwość, ale z różnymi amplitudami i fazami. Jedyną różnicą w ich reprezentacjach analitycznych jest złożona amplituda (wskazówka). Liniowa kombinacja takich funkcji może być uwzględniona w iloczynu liniowej kombinacji wskazów (znanej jako arytmetyka wskazowa) i współczynnika zależnego od czasu / częstotliwości, które mają wspólne.

Gdy funkcja $ {\ displaystyle \ scriptstyle A \ cdot e ^ {i (\ omega t + \ theta)}} $ jest przedstawiony w złożonej płaszczyźnie, wektor utworzony przez jego części urojone i rzeczywiste obraca się wokół początku. Jego wielkość wynosi $ A $ i kończy jeden cykl co 2 π / ω $ sekundy. $ θ $ to kąt, który tworzy z osią rzeczywistą w $ t = n • 2π / ω $, dla wartości całkowitych n.

Komentarze

• Dla wyjaśnienia, wskazówka to liczba zespolona, a nie wektor. Tak więc żadna wielkość fizyczna nie może być wskazem, ale może być reprezentowana jako wskazówka. (Prawda?)
• Matematycznie można traktować liczby zespolone jako wektory, przestrzegając praw wektorów dodawania i odejmowania, biorąc pod uwagę części rzeczywiste i urojone . W odniesieniu do mnożenia przez liczby rzeczywiste i prawa dodawania / odejmowania wektorów, liczby zespolone tworzą przestrzeń wektorową równoważną przestrzeni wektorów translacji w rzeczywistej płaszczyźnie 2-D

Wszystkie wektory są zgodne z prawami dodawania i mnożenia. Więc jeśli dodasz dwa wskazy, zostaną one dodane jak wektory, ale jeśli je pomnożesz, zostaną pomnożone jak proste liczby. Dlatego wskazy są jak wektory, ale nie są wektorami. Podobnie jak wektory obszaru, które są mnożone jak wektory, ale dodawane jak liczby.

Wzory są wielkościami złożonymi używanymi do częściowego przedstawienia rzeczywiste wielkości, które zmieniają się sinusoidalnie w czasie i być może w przestrzeni. Wszystkie fazy są niezależne od czasu. Reprezentują one częściowo rzeczywistą ilość, a nie całkowicie, ponieważ nie mają informacji o częstotliwości.

Powiedzieć, że wskazówki są jak wektory, to powiedzieć, że liczby zespolone są jak wektory, co jest błędne Po pierwsze, podobieństwa dotyczą tylko wektorów dwuwymiarowych . Tak, dodawanie i odejmowanie dwóch wektorów 2D jest analogiczne do dodawania i odejmowania dwóch liczb zespolonych; a pomnożenie wektora 2D przez skalar jest analogiczny do mnożenia liczby zespolonej przez liczbę rzeczywistą.Ale dzielenie dwóch wektorów nie jest nawet zdefiniowane, jednak definiowany jest podział dwóch liczb zespolonych; również nie można „po prostu” pomnożyć dwóch wektorów 2D. Musisz określić, czy jest to iloczyn skalarny czy krzyżowy, jednak można „po prostu” pomnożyć dwie liczby zespolone.

W przypadku obwodów elektrycznych napięcie wskazowe $ \ tilde V $ jest stałą zespoloną i reprezentuje amplituda i faza sygnału, ale nie jego częstotliwość. Sygnał $ v (t) $ jest wartością rzeczywistą jednej zmiennej rzeczywistej (jednej czasowej, $ t $ ) i reprezentuje rzeczywistą chwilową wartość sygnału. Sinor $ v_c (t) $ jest funkcją o wartościach zespolonych jednej zmiennej rzeczywistej (jednej czasowej, $ t $ ) i reprezentuje złożoną chwilową wartość sygnału. Niektóre relacje:

$ v (t) = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} = \ Re [\ tilde V e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V = V_m e ^ { j \ phi} = V_m \ cos {(\ phi)} + j V_m \ sin {(\ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j (\ omega t + \ phi) } = V_m \ cos {(\ omega t + \ phi)} + j V_m \ sin {(\ omega t + \ phi)} \ tag * {} $

Uwaga: $ v (t) = \ Re [\ tilde V] $ tylko wtedy, gdy $ \ omega t = \ ldots, -4 \ pi, -2 \ pi, 0, 2 \ pi, 4 \ pi, \ ldots $ ; innymi słowy, tylko wtedy, gdy $ \ omega t = 2 \ pi k $ , gdzie $ k $ to dowolna liczba całkowita.

W przypadku długich linii przesyłowych (obwody elektryczne o parametrach rozłożonych, a nie skoncentrowanych), napięcie wskazowe $ \ tilde V (x) $ jest funkcją o wartościach zespolonych jednej zmiennej rzeczywistej (jednej przestrzennej, $ x $ ). Sygnał $ v (x, t) $ jest wartością rzeczywistą dwóch zmiennych rzeczywistych (jednej przestrzennej, $ x $ ; i jeden czasowy $ t $ ) i reprezentuje rzeczywistą wartość chwilową. Sinor $ v_c (x, t) $ jest funkcją o wartościach zespolonych dwóch rzeczywistych zmiennych (jednej przestrzennej, $ x $ ; i jeden czasowy $ t $ ), który reprezentuje złożoną wartość chwilową. Niektóre relacje:

$ v (x, t) = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} = \ Re [\ tilde V (x) e ^ {j \ omega t}] = \ Re [v_c (x, t)] \ tag * {} $

$ \ tilde V (x) = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ beta x + \ phi)} = V_m e ^ {ax} \ cos {(\ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

$ v_c (x, t) = \ tilde V e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {j \ phi} e ^ {ax} e ^ {j \ beta x} e ^ {j \ omega t} = V_m e ^ {ax} e ^ {j (\ omega t + \ beta x + \ phi)} = V_m e ^ { ax} \ cos {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} + j V_m e ^ {ax} \ sin {(\ omega t + \ beta x + \ phi)} \ tag * {} $

W ogólnej teorii elektromagnetycznej, wskazy są funkcjami o wartościach zespolonych trzech zmiennych rzeczywistych (trzech przestrzennych, $ x $ , $ y $ , $ z $ ). Dla chwilowego wektora pola elektrycznego, $ \ mathbf E (x, y, z, t) $ , jego wskazówka to $ \ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) $ i relacja $ \ mathbf E (x, y, z, t) = \ Re [\ mathbf {\ tilde E} (x, y, z) e ^ {j \ omega t}] $ jest spełnione.