Zadałem to pytanie, aby obliczyć pole elektryczne w pewnym punkcie kuli (długość $ r $ od środka), gdzie gęstość ładunku jest podane przez równanie. Kiedy sprawdziłem rozwiązanie tego pytania, powiedziałem, że mam obliczyć ładunek elementarny $ dQ $ za elementarną objętość kuli $ dV $, używając równania gęstości ładunku. Mówi się, że objętość między dwiema koncentrycznymi powłokami wewnątrz kuli, w odległościach $ r $ i $ r + dr $, wynosi
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Dlaczego to jest równe 4 $ \ pi r ^ 2dr $?
Komentarze
- Heurystyka zastosowana w tych obliczeniach jest taka, że , ponieważ $ dr $ jest bardzo małe, podniesienie do kwadratu lub zwiększenie do kostki czyni go znacznie mniejszym. Dlatego terminy $ 3rdr ^ 2 $ i $ dr ^ 3 $ są pomijalne i można je po prostu pominąć.
- To nie ma absolutnie nic wspólnego z fizyką! Zapytaj w witrynie matematycznej q &. Właściwie @sourisse udzieliło poprawnej odpowiedzi.
- Myślę, że jest to całkiem istotne dla fizyki, jest to przybliżenie / metoda / narzędzie, które jest dużo używane w fizyce, np. elektrostatyka, grawitacja, ciało stałe itp. itd. itp.
- Przy okazji możesz również pomyśleć o 4 $ \ pi r ^ 2 dr $ jako objętości kulistej powłoki o promieniu $ r $ i grubości $ dr $ – tylko powierzchni obszar pomnożony przez grubość
- @FraSchelle Myślę, że gdybyś zapytał o to na math.stackexchange, zostałbyś skierowany tutaj …
Odpowiedź
Komentarz Sourisse „odpowiada na twoje pytanie, ale tak dla przypomnienia, rozwinę go tutaj jako odpowiedź na Wiki. Zauważ, że jest to odpowiedź fizyka – każdy obecny matematyk mądrze byłoby teraz odwrócić wzrok.
Pamiętaj, że kiedy mówimy, że element objętości to:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Mówimy o limicie, w którym $ dr \ rightarrow 0 $. Jeśli $ dr $ jest bardzo mały, to $ dr ^ 2 $ jest ekstremalnie bardzo mała, a $ dr ^ 3 $ jest ekstremalnie ekstremalnie mała. Więc w granicy $ dr \ rightarrow 0 $ możemy po prostu zignorować wyższe potęgi i twoje pełne równanie zamieni się w równanie (1). h3> Komentarze
- Proszę pana, to jest to samo, czego nas nauczono, ale czy jest jakikolwiek sposób użycia terminów $ (dr) ^ 2 $ lub wyższych moc obliczeń czy integracji? Dziękuję bardzo!
Odpowiedź
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Różniczkowanie względem $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Komentarze
- zaraz! To jest rodzaj elementu entary " sztuczka " zbyt często zapominana. Szkoda, że możesz ' uzyskać w ten sposób współczynnik $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ z $ 4 \ pi $.