Dlaczego energia potencjalna grawitacji jest ujemna i co to oznacza?

O negatywnych energiach: nie stanowią problemu:

W tym kontekście tylko różnice energii mają znaczenie. Energia ujemna pojawia się, ponieważ kiedy dokonałeś integracji, ustaliłeś jeden punkt, w którym ustaliłeś energia do 0. W tym przypadku wybrałeś $ PE_1 = 0 $ dla $ r = \ infty $. Jeśli ustawiłeś $ PE_1 = 1000 $ przy $ r = \ infty $, energia była dodatnia dla jakiegoś r .

Jednak znak minus jest ważny, ponieważ informuje Cię, że cząstka testowa traci energię potencjalną, gdy przemieszcza się do $ r = 0 $, to prawda, ponieważ przyspiesza, powodując wzrost $ KE $:

obliczmy $ \ Delta PE_1 $ dla cząstki poruszającej się w kierunku z $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ i $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

zgodnie z oczekiwaniami: tracimy $ PE $ i wygrywamy $ KE $.

Druga kropka: tak, ty mają rację. Jednak prawdą jest tylko JEŚLI są cząstkami punktowymi: jeśli normalnie mają określony promień, zderzają się, gdy $ r = r_1 + r_2 $, powodując zderzenie elastyczne lub nieelastyczne.

Trzeci pocisk : masz rację z $ PE_2 = mgh $, jednak ponownie wybierasz dany wzorzec: zakładasz, że $ PE_2 = 0 $ dla $ y = 0 $, co w poprzednim zapisie oznacza, że ustawiłeś $ PE_1 = 0 $ dla $ r = r_ {earth} $.

Najwięcej i Istotną różnicą jest teraz to, że mówisz, że wzrost h jest przesuwany dalej w r (jeśli jesteś wyższy, dalej od centrum Ziemi).

Wykonując analogię do poprzedniego problemu, wyobraź sobie, że chcesz otrzymać $ \ Delta PE_2 $. W tym przypadku zaczynasz od $ h_i = 10 $ i chcesz przejść do $ h_f = 1 $ (poruszając się w kierunku środka Ziemi, na przykład $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1mg – 10mg = -9mg < 0 $.

Zgodnie z oczekiwaniami, ponieważ spadamy, tracimy $ PE $ i wygrywając $ KE $, ten sam wynik daje $ PE_1 $

Czwarty punktor: oba reprezentują to samo. Różnica polega na tym, że $ gh $ jest pierwszym wyrazem w szereg Taylora rozwinięcia $ PE_1 $ blisko $ r = r_ {Earth} $. W ramach ćwiczenia spróbuj rozwinąć $ PE_1 (r) $ w szeregu Taylor i pokaż, że wyrażenie liniowe to:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

Ich numerycznie oblicz $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (pamiętaj, że $ m = m_ {earth} $). Jeśli jeszcze tego nie zrobiłeś, myślę, że będziesz zaskoczony.

A więc z tego, co rozumiesz, twoja logika jest całkowicie poprawna, poza dwoma kluczowymi punktami:

• energia jest definiowana jako stała wartość.

• w th e $ PE_1 $, wzrost r oznacza zmniejszenie o 1 $ / r $, co oznacza wzrost $ PE_2 = -Gm / r $. W $ PE_2 $ wzrost h oznacza wzrost $ PE_2 = mgh $.

Komentarze

• Ach, rozumiem, sztuczka polega na tym, że ' jest wartością względną – ciągle myślę o energii jako o czymś absolutnym (chociaż myślę, że nawet energia kinetyczna zmienia się, w zależności od twojego układu odniesienia) . Przypuszczam, że ' d lubimy ustawić PE = 0, gdy r = 0, ale niestety, zgodnie z równaniem, pociągnięcie cząstek wymagałoby nieskończonej energii niezależnie! Więc myślę, że PE = 0, gdy r = ∞ jest jedynym rozsądnym wyborem. Teraz wszystko ma sens – dzięki!
• Ponadto formuła zmienia się wewnątrz masy niepunktowej, więc limit $ r \ do 0 $ jest skończony.

Najpierw (1) podsumuję różnice między definicjami PE1 i PE2, a następnie (2) zrównam je.

(1) Najpierw jako odpowiedź na pytanie „Dlaczego energia grawitacji jest ujemna?” mówi , PE1 definiuje energię potencjalną ciała o masie m w polu grawitacyjnym o masie M jako energię (pracę) potrzebną do jej odebrania jego aktualna pozycja $ r $ do nieskończoności. PE1 zakłada, że $ r = \ infty $ to $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

Z drugiej strony PE2 jest definiowane jako ujemna praca grawitacyjna polegająca na uniesieniu ciała o masie m z powierzchni planety na wysokość h nad planetą.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 ma inną ramkę odniesienia niż PE1 , ponieważ zakłada, że $ PE = 0 $ przy $ r = R $ lub na powierzchni planety. Ponadto, co bardzo ważne, PE2 jest używane tylko wtedy, gdy obiekt znajduje się blisko powierzchni planety , gdy $ h < < < R $ (R to promień planety) i g można założyć, że jest stała:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ około \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, teraz do zrównania tych dwóch. Chociaż ramy odniesienia dla PE1 i PE2 są różne, $ | \ Delta PE | $ między dwoma punktami z pewnością powinny być takie same. Dla przykładu załóżmy, że te dwa punkty to powierzchnia planety i wysokość h nad planetą.

PE1 mówi $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 mówi $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

a ponieważ $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ około \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

A zatem, PE1 i PE2 reprezentują tę samą formę energii, ale musimy pamiętać o punktach odniesienia i warunkach ich używania.

Mam nadzieję, że to pomoże !! Pokój.

Dzieje się tak, ponieważ siła grawitacji jest atrakcyjna, a praca jest wykonywana przez samą siłę grawitacji. Kiedy system działa sam, energia jest traktowane jako negatywne, a gdy praca jest wykonywana przez agencję zewnętrzną nad energią systemu, jest uważana za pozytywną.

Myślę, że to tylko preferencja.

Możemy postrzegać grawitacyjną energię potencjalną jako pozytywną reprezentującą energię „zainwestowaną” w naszą pozycję względem masywnego obiektu. Możemy „odzyskać” tę energię (zwiększyć energię kinetyczną), zbliżając się do obiektu, w którym to momencie zmniejszyliśmy ilość energii, którą moglibyśmy uzyskać, poruszając się dalej.Zatem energia potencjalna maleje, gdy się zbliżamy (zbliżamy się do zera w zerowej odległości), rośnie, gdy oddalamy się od nas, a suma PE i KE jest stała.

Ale jaka wartość jest stała? Kiedy jesteśmy bardzo, bardzo daleko od masywnego obiektu, powinniśmy mieć bardzo dużą energię potencjalną. Ale nawet kiedy „jesteśmy dość blisko masywnego obiektu”, jesteśmy bardzo, bardzo daleko od każdego innego masywnego obiektu we Wszechświecie, a zatem powinniśmy mieć bardzo duże potencjalne energie grawitacyjne w stosunku do wszystkich tych obiektów. Możemy w przybliżeniu obliczyć wartość KE + PE, biorąc pod uwagę tylko najbardziej odpowiednie obiekty (najbliższe i / lub największe), ale nasza przybliżona wartość rośnie i rośnie i rośnie, gdy próbujemy uzyskać dokładniejsze przybliżenia, uwzględniając mniejsze i więcej -odległe obiekty w naszej kategorii „odpowiednich” obiektów. Więc nasza stała KE + PE jest jakąś niemożliwie dużą wartością, której tak naprawdę nigdy nie możemy obliczyć ani oszacować jako jakiejś konkretnej wartości. W pewnym sensie nie ma znaczenia , że nigdy nie możemy żądać wartości, ponieważ różnice energii to wszystko, z czym naprawdę potrzebujemy, a nadal możemy obliczyć te (zakładając, że nasz PE w stosunku do wszystkiego innego we wszechświecie zmienił się tylko nieznacznie, gdy poruszamy się w pobliżu masywnego obiektu, który rozważamy). Ale wydaje się to niezadowalające.

Z drugiej strony, zamiast tego traktowania PE jako dodatniej ilości energii „zainwestowanej” w naszej pozycji (energia, którą już „wydaliśmy”, gdybyśmy oddalali się od masywnego obiektu, którą moglibyśmy zyskać, zbliżając się), możemy zamiast tego uznać ją za ujemną ilość energii, którą „jesteśmy winni” z powodu naszej pozycji (energia, którą „zdobyliśmy” za darmo ”, gdybyśmy zbliżyli się do obiektu z nieskończoności, którą musielibyśmy„ wydać ”, aby ponownie uciec w nieskończoność).

Wszystkie obliczenia różnic energii i tak działają tak samo. Ale teraz nasz PE względem obiektu spada do zera, ponieważ jesteśmy bardzo, bardzo daleko od obiekt. Oznacza to, że ponieważ możemy obliczyć przybliżenie naszej stałej KE + PE, biorąc pod uwagę tylko najbardziej odpowiednie obiekty, a gdy staramy się uzyskać lepsze przybliżenia, włączając do naszych obliczeń mniejsze i bardziej oddalone obiekty, efekty tych dodatkowych obiektów stają się coraz bliższe. i bliżej zera. Mamy więc rzeczywistą liczbę, którą możemy zasadnie powiedzieć, że jest wartością naszej stałej KE + PE.

Fakt, że energia potencjalna grawitacji, podobnie jak wszystkie potencjalne energie sił przyciągających, jest ujemna, opiera się na fakcie, że chcemy założyć, że kiedy cząstki są w nieskończoności względem siebie i w stanie spoczynku, system ma zerową całkowitą energię. Wyobraź sobie, że gdyby tak nie było i układ dwóch cząstek znajdujących się w nieskończonej separacji w spoczynku zostałby potraktowany jako posiadający energię netto, to powstałoby pewne zamieszanie co do energii związanej z masą spoczynkową. Całkowita energia układu nie byłaby wtedy równa $ E = Mc.c $, gdzie $ M $ jest sumą dwóch mas. Skąd w takim razie miałaby pochodzić ta dodatkowa energia?

Błędem jest uważanie grawitacyjnej energii potencjalnej za ujemną – chociaż powszechne.

Dużym błędem jest przypisywanie PE w nieskończoności = 0. To jest ewidentnie błędne – P.E. jest wyraźnie 0 przy zerowej separacji i duża przy dużych odległościach. PE. obiektów oddalonych od siebie musiałaby być sumą P.E. za pierwsze 100 „oddzielenia plus P.E. za drugie 100” oddzielenia plus — P.E. na każde 100 cali, aż rozliczy się całe rozdzielenie. (Wyrażę to jako całkę po odświeżeniu rachunku różniczkowego). Mianowicie, PE INCEAZUJE wraz ze wzrostem separacji – zaczynając od 0 przy braku separacji.

Wiele osób popełnia duży błąd, uznając potencjalną energię grawitacji za ujemną!

Komentarze

• Gdy pole ze źródła punktowego jest zgodne z odwrotnością -Prawo kwadratowe, siła jest proporcjonalna do $ r ^ {- 2} $, a potencjał (i energia potencjalna) jest zatem proporcjonalna do $ r ^ {- 1} $. Liniowa $ P = mgh $ jest tylko przybliżeniem dla małych zmian odległości.
• @ HDE226868 Czy chciałeś skomentować inną odpowiedź?
• @diracula Nie – powinienem był wyrazić się jaśniej. Matematycznie pokazywałem, dlaczego potencjał energia znika w nieskończoności zamiast rosnąć w nieskończoność; ponieważ $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ idzie do $ 0 $.