Rozważ następującą prostą maszynę Atwood z idealnym bloczkiem i idealnym sznurkiem
Zgodnie z moim podręcznikiem, napięcie zacisku, który utrzymuje maszynę do ściany, wynosi 2 T $. Nie rozumiem, dlaczego tak jest. Napięcie w $ T $ w strunie jest równe wielkości $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, zakładając, że $ m_1 $ przyspiesza w górę.
Również , przyspieszenie mas w maszynie do drewna jest podane przez
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
Zastępując to w , otrzymujemy napięcie równe
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Tak więc, zgodnie z moim podręcznikiem, naprężenie zacisku koła pasowego powinno wynosić:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Ale czy nie wszystkie te siły są siłami wewnętrznymi? Jeśli weźmiemy pod uwagę całą maszynę do drewna jako system (bez docisku), jedynymi działającymi na nią siłami są siła ciężkości $ (m_1 + m_2) g $ i naprężenie w docisku $ T_c $. Ponieważ system jest w stanie spoczynku
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Mam rację, czy jest jakiś błąd w mojej argumentacji?
Komentarze
- Znalazłeś $ T $, a podręcznik zawiera to samo równanie pomnożone przez 2. Nie ma tutaj problemu.
- Wskazówka: system nie jest w stanie spoczynku.
- Odpowiedź Nicka ' jest kompletna, ale spodobało mi się Twoje pytanie, ponieważ pokazuje wysiłek zrozumieć ZASADĘ obliczeń. Dlatego ' moim zdaniem ważne jest, aby zrozumieć, dlaczego system nie jest ' w stanie spoczynku.
- To prawda, każde obliczenie powinno być nie tylko sprawdzone matematycznie, ale również interpretacja fizyczna jest bardzo, bardzo ważną częścią! A więc jeśli chodzi o pytanie, ' powiedziałbym dobrą robotę i tak dalej!
- Jeśli to pomoże, możesz pokazać, że centrum masy z dwóch mas $ m_ {1} $ i $ m_ {2} $ przyspiesza w dół i chociaż wygląda na to, że wspornik utrzymuje nieruchomo koło, w rzeczywistości pozwala systemowi koło / masa przyspieszać w dół z tego powodu.
Odpowiedź
Twój wynik jest ważny, gdy obie masy są takie same, w takim przypadku $ a = 0 $ i miałbyś to:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Lub:
$ 2T = 2m_1 g = 2m_2g = (m_1 + m_2) g $.
W przypadku, gdy masy nie są takie same, obie masy przyspieszają, co z kolei powoduje zmniejszenie siły na układ koła pasowego (i na zacisk).
Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru na napięcie!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Jeśli ja miały zdefiniować masę całkowitą jako: $ M = m_1 + m_2 $, wtedy mógłbym wyrazić $ T $ jako:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Możesz sprawdzić, czy narysujesz $ T $ jako funkcję $ m_1 $, że osiąga maksimum w $ m_1 = M / 2 $, co oznacza, że naprężenie staje się maksymalne, jeśli dwie masy są równe, wówczas naprężenie wynosi:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
lub jak myślisz:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Dla dokładności wykres napięcia w funkcji masy $ m_1 $ w kategoriach wielkości bezwymiarowych.
Na tym wykresie można łatwo zobaczyć, że jeśli $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ lub $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, to nie będzie napięcia, ponieważ jedna z dwóch mas byłaby wolna spadanie. W pośrednich przypadkach wystąpiłoby napięcie, ponieważ po obu stronach struny występuje „ciągnięcie”, im bardziej masy $ m_1 $ i $ m_2 $ są sobie równe, tym mniejszy jest ruch i tym większe jest ciągnięcie ciąg.
Komentarze
- Jeśli więc mój argument był niepoprawny, może to tylko oznaczać, że system nie jest w stanie spoczynku. Ale jak możesz powiedzieć, że system nie jest w stanie spoczynku?
- W powyższym przypadku mamy beztarciowe koło pasowe z nicią o masie. Jedynym sposobem, w jaki system może znajdować się w stanie spoczynku, jest sytuacja, gdy dwie masy są równe (w obliczeniach ' jest jedynym przypadkiem, gdy przyspieszenie jest równe zero). W takim przypadku obie masy ciągną z jednakową siłą na obu końcach struny. Zwróć uwagę, że nie ' nie oznacza to koniecznie, że system jest w spoczynku, może również poruszać się ze stałą prędkością!
- @Gerard Jeśli dodasz masę do żądło i / lub tarcie o pully, mogą wystąpić inne sytuacje, w których system jest / zatrzymuje się.
- To ' nie jest prawdą, że pozostaje w tym samym miejscu.Jego środek masy przyspiesza, ponieważ nawet jeśli m_1 porusza się w górę, a m_2 w dół, masy są różne, więc mają one inną " wagę " w ruchu globalnym. Więc jeśli m_2 > m_1 i m_2 przyspiesza w dół, to środek ciężkości spada w dół.
- @Gerard: Racja, zwróć uwagę, że w swoim celu (tj. całkowita siła działająca na system) spoczynek lub ruch nie są tym, czego ' naprawdę szukasz. ' niechlujnie Ci powiedziałem: " system nie jest w spoczynku " . ' jest ważne, to całkowite przyspieszenie iw tym przypadku ' różni się od 0. Ruch ze stałą prędkością nie wymaga działania siły system. Zatrzymam się na tym ', ponieważ ' trochę niewłaściwie wykorzystujemy miejsce na komentarze.
Odpowiedź
System nie jest w spoczynku. Jeśli weźmiesz pod uwagę masy i koło pasowe jako jeden system, możesz zrozumieć zachowanie systemu na podstawie zachowania jego środka masy. Jeśli masy nie są równe, środek masy układu nie jest w spoczynku.
Warto pomyśleć o tym w ten sposób – Wewnątrz systemu masa $ m_1 $ przesuwa się w dół na pewną odległość podczas gdy masa $ m_2 $ porusza się w górę o tę samą odległość. Tak więc środek masy przesunął się w dół (lub w górę, w zależności od tego, czy $ m_1 > m_2 $).
Zatem naprężenie byłoby określone przez równanie:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Możesz dalej sprawdzić, że
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, gdzie a jest wartością przyspieszenia masy $ m_1 $, o którym wspomniałeś.
Podłącz to do równania i przekonasz się, że:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Komentarze
- W ten sposób spróbuję nauczyć tego problemu. Dziękuję.
- Czy jest szansa, że Ty lub @Nick moglibyście skomentować rozwiązanie w postaci 4g * mu? Wiem, że może to wykraczać poza zakres problemu, ale kiedy widzę takie połączenia, staram się je zrozumieć.
Odpowiedź
Tam jest rzeczywiście błędem w twojej argumentacji. Krótko mówiąc, naprężenie klamry koła pasowego jest wymagane tylko do zniesienia całkowitej siły grawitacji w układzie, gdy wszystko jest w równowadze ibr i nie ma przyspieszenia. Jeśli jednak masy są niezrównoważone, jedna z nich spadnie, a druga wzrośnie, i nie jest jasne, czy utrzyma to całkowitą siłę na tej samej wartości, co w przypadku wyważonym.
W rzeczywistości możesz sprawdzić, czy gdy dwie masy są równe , wtedy odpowiedzi pokrywają się: prawidłowe naprężenie klamry koła pasowego to $$ T_ \ text {zapięcie} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$