Dlaczego pole elektryczne jest zerowe w miejscu przecięcia się powierzchni ekwipotencjalnych?

Przede wszystkim oczyśćmy atmosferę prostym przykładem, który prezentuje pożądane zachowanie (i który jest zasadniczo izomorficzny w większości nietrywialnych przypadków). w szczególności następujące twierdzenie:

Potencjał $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ jest doskonale poprawnym potencjałem elektrostatycznym, i można to bardzo naturalnie postrzegać jako dwie ekwipotencjalne powierzchnie (płaszczyzna $ yz $ i $ xz $), które przecinają się wzdłuż prostej.

Ten przykład może być wstrząsający dla zwykłej intuicji, że powierzchnie ekwipotencjalne, takie jak linie pola, nigdy się nie przecinają, ale sprawdza się doskonale – i jest zgodny z twierdzeniem twojego profesora, że pole elektryczne, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van kreski na przecięciu $ x = y = 0 $.

(Dla tych, którzy chcieliby nieco rozszerzyć obwiednię: to naturalnie uogólnia się na przecięcie dowolnej liczby $ n $ powierzchni ekwipotencjalnych wzdłuż po prostu zmieniając na $ n $ -polarny potencjał $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Więc o co chodzi lub jak możemy dodać trochę matematycznej części do tego stwierdzenia?

Cóż, zacznijmy od zdefiniowania powierzchni ekwipotencjalnych: powierzchnia $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ jest ekwipotencjałem potencjału elektrostatycznego $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ jest stałe dla wszystkich $ (u, v) \ w D $. Ponadto wiemy, że w dowolnym momencie $ \ mathbf r = S (u, v) $ na powierzchni, pole elektryczne $ \ mathbf E = – \ nabla V $ ma zerowy iloczyn wewnętrzny z dowolnym wektorem leżącym wewnątrz płaszczyzny stycznej $ TS_ \ mathbf r $ do powierzchnia w $ \ mathbf r $, jako konsekwencja wzięcia krzywych $ \ gamma: (a, b) \ do D $ i zróżnicowania relacji stałości $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ z szacunkiem do parametru $ t $, dając $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ dla wszystkich wektorów $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Ponieważ ta płaszczyzna jest dwuwymiarowa, a przestrzeń trójwymiarowa, wnioskujemy, że istnieje unikalny normalny kierunek $ \ hat {\ mathbf n} $ do powierzchni i że $ \ mathbf E $ musi być równoległe do tego normalnego (lub być może zero), ale głównym rezultatem jest to, że składnik $ \ mathbf E $ „wzdłuż dowolnego kierunku wewnątrz płaszczyzny stycznej musi zniknąć.

OK, więc teraz podnieśmy stawkę i rozważmy dwie różne powierzchnie $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, które przecinają się w pewnym punkcie $ \ mathbf r_0 $ i zastrzegamy również, że obie powierzchnie są ekwipotencjalne $ V $.

Od razu możemy wywnioskować, że potencjał we wszystkich punktach na obu powierzchniach musi być równy tej samej stałej, ponieważ $ V = V (\ mathbf r) $ jest (o pojedynczej wartości ). Jeśli wynosi $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ dla $ \ mathbf r_0 \ w S_1 $, to musi równać się $ V_1 $ przez $ S_1 $ – ale $ \ mathbf r_0 $ jest również w $ S_2 $, więc $ V $ musi również wynosić V_1 $ w całym $ S_2 $. Prawdopodobnie o tym mówił twój profesor w twierdzeniu, które zgłaszasz jako

Twierdził również, że dwie powierzchnie ekwipotencjalne nie mogą się przecinać, ponieważ dałoby to dwa różne potencjały w tym samym punkcie

, ale prawdopodobnie znacznie bliżej

dwie ekwipotencjalne powierzchnie o różnym potencjale nie mogą się przecinać, ponieważ dałoby to dwa różne potencjały w tym samym punkcie.

To łatwa sprawa.Powiedzmy teraz coś nietrywialnego: co z polem elektrycznym na przecięciu?

Zacznijmy jednak od prostego przypadku i załóżmy, że ekwipotencjały mają właściwy wymiar – jeden przecięcie wzdłuż krzywa, co oznacza, że w dowolnym punkcie $ \ mathbf r $ wzdłuż przecięcia płaszczyzny styczne do dwóch powierzchni przecinają się na linii, a każda z nich będzie miała oddzielny, liniowo niezależny kierunek, który nie należy do drugiej płaszczyzna.

To pozwala nam wprowadzić narzędzia, które opracowaliśmy wcześniej: wiemy, że $ \ mathbf E $ musi mieć znikający iloczyn skalarny z dowolnym wektorem, który leży wewnątrz którejkolwiek płaszczyzny stycznej, z wyjątkiem tego mają trzy liniowo niezależne wektory $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ i $ \ mathbf e_3 $, na tle których znikają, jeden wzdłuż przecięcia i jeden inny niezależny wektor wzdłuż każdej płaszczyzny. Jedynym sposobem, w jaki każdy wektor $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ może spełnić $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ dla liniowo niezależnych $ \ mathbf e_i, $ jest $ \ mathbf v = 0 $ . Stąd pochodzi twierdzenie twojego profesora.

Na koniec zajmijmy się nieco bardziej patologicznym przypadkiem, o którym wspomniałeś na końcu swojego pytania:

Dlaczego„ nie mogą istnieć po prostu dwie różne powierzchnie ekwipotencjalne o tym samym potencjale, które […] stykają się?

To nie jest „złe pytanie, a odpowiedź jest zasadniczo taka, że może się to zdarzyć, ale okoliczności, w których to się dzieje, są tak patologiczne, że jesteśmy w większości gotowi wyrzucić to dziecko z w wannie. Kiedy mówimy „przecinają się dwie powierzchnie”, zwykle mamy na myśli, że przecinają się one w wymiarze jeden wzdłuż krzywej; jeśli chcemy pozwolić powierzchniom się stykać lub zachowywać się podobnie patologicznie, wyraźnie zauważymy, że . (Matematycy są nieco bardziej ostrożni ze swoim językiem, ale z drugiej strony fizycy robią bardziej interesujące rzeczy i nie można tracić czasu na majstrowanie przy drobnych szczegółach).

W każdym razie, jeśli chcesz mieć potencjał z dwoma ekwipotencjalnymi dotknąć w jednym punkcie, najczystszym przykładem, jaki przychodzi mi do głowy, jest $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$, gdzie ekwipotencjalne $ V (\ mathbf r) = 0 $ to dwie okrągłe paraboloidy, które dotykają się na swoim wierzchołku. To nie jest rozwiązaniem równania Laplacea, co oznacza, że nie jest to rozsądny potencjał w wolnej przestrzeni, ale ty wystarczy ustawić gęstość ładunku $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, a uzyskasz rozsądną dystrybucję. Jeśli chcesz na tym zaoszczędzić, lepiej wybrać $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$, dla którego gęstość ładunku $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ jest niezwykle rozsądne i zamienia jedną z paraboloid na płaszczyznę $ z = 0 $.

Teraz w obu tych przykładach Potencjał ma wielomian dość wysokiego rzędu, a pole elektryczne zanika w punkcie przecięcia ekwipotencjałów. Jeśli chcesz mieć coś z dotykającymi ekwipotencjałów i niezerowym polem elektrycznym, najbliższe, na co wpadłem w czysty sposób, to połączenie dwóch powyższych przykładów, dając trzy wyrównania (dwie paraboloidy i płaszczyzna $ xy $) w punkcie $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ z $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ zależność wzdłuż osi $ z $, a następnie rozliczyć to, biorąc pierwiastek sześcienny, dając $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$, która ma takie same stykające się ekwipotencje jak powyżej, ale teraz ma stałe pole elektryczne $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ za wszystkie punkty $ (0,0, z) $ z $ z \ neq 0 $. Niestety, nie można jednak „t naprawdę wywnioskować, że pole elektryczne jest niezerowe, ponieważ granice do $ \ mathbf r \ to0 $ wzdłuż osi $ z $ i wzdłuż płaszczyzny $ xy $ don „t dojeżdżać do pracy – i rzeczywiście, $ \ nabla V $ rozbiega się wszędzie na płaszczyźnie $ xy $.

Narysuję tutaj krajobraz ekwipotencjalny, przecięty wzdłuż płaszczyzny $ xz $, aby dać wyobrażenie typu struktury patologicznej, do której zostaniesz popchnięty, rozważając tego typu przypadki:

^{Źródło: import [„ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m „] [„ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png „]}

Ostry klif jest skierowany na ekwipotencjały w widoku 3D z $ V (x, 0, z) $ są wyraźnymi oznakami tego, że pole elektryczne jest nieskończone wszędzie na ekwipotencjalnych potencjałach $ V = 0 $, z jedynym wyjątkiem punktu początkowego, gdy zbliżamy się do osi $ z $.

Tak czy inaczej, to jest cena, jaką musisz zapłacić, aby mieć Ekwipotencjały, które stykają się, nie wymagając zerowego pola elektrycznego w punkcie styku, aby wszystko było ładne i gładkie. Jednak ogólnie rzecz biorąc, po prostu odrzucasz te przypadki dekretem, wymagając regularnego przecięcia.

Pole elektryczne jest zdefiniowane jako (ujemny) gradient potencjału elektrostatycznego.Dlatego nie może istnieć żadne pole elektryczne wzdłuż linii / powierzchni określonej przez ekwipotencjał.

Oznacza to, że jedyne pole elektryczne dozwolone w punkcie na ekwipotencjale musi być prostopadłe do powierzchnia ekwipotencjalna, w przeciwnym razie miałaby niezerową składową wzdłuż powierzchni.

Jeśli są dwa różne przecinające się ekwipotencjały, wówczas jedynym prawidłowym polem elektrycznym jest zero, ponieważ każde niezerowe pole miałoby -zero na co najmniej jednym z ekwipotencjałów.

Wyjątkiem wydaje się być sytuacja, w której powierzchnie ekwipotencjalne są równoległe na ich przecięciu.

Komentarze

• ' próbowałem i jak dotąd nie udało mi się wytworzyć potencjału o ekwipotencjach, które stykają się w jednym punkcie z równoległymi normalnymi, a mimo to wytwarzają niezerowe pole tam. Czy potrafisz to przejrzeć?
• @ Rob, zdrap to, znalazłem przykład – ale ' nie jest najprostszą funkcją I ' kiedykolwiek widziałem. Podejrzewam, że można wykazać, że dotykanie ekwipotencjałów niezerowym polem elektrycznym wymaga tego rodzaju patologicznego zachowania, ale nie ' nie widzę, jak ' d udowodnij, że (lub rzeczywiście, dlaczego ' dba o to na tyle, aby spędzić dużo czasu na próbach).

Dwie ekwipotencjalne powierzchnie nie mogą się przecinać. Kierunek pola elektrycznego w dowolnym punkcie ekwipotencjalnej powierzchni jest prostopadły do powierzchni w tym punkcie. Gdyby przecinały się dwie powierzchnie ekwipotencjalne, wówczas pole elektryczne w punktach przecięcia byłoby prostopadłe zarówno do pierwszej, jak i drugiej powierzchni w tych punktach … innymi słowy, gdyby dwie powierzchnie ekwipotencjalne mogły się przecinać, masz pole elektryczne skierowane w dwóch kierunkach w każdym punkcie przecięcia… jeden skierowany prostopadle do pierwszej powierzchni, a drugi prostopadły do drugiej powierzchni. To niemożliwe.

Komentarze

• Chyba że pole ma wartość zero w punkcie przecięcia?
• Potencjał $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ jest doskonale poprawnym potencjałem elektrostatycznym i można go bardzo naturalnie postrzegać jako dwie powierzchnie ekwipotencjalne (płaszczyzna $ yz $ i płaszczyzna $ xz $), które przecinają się wzdłuż prostej.
• Bardzo interesujące … Będę ' będę musiał wyciągnąć książkę Griffitha ' w weekend i zrobić trochę recenzji … Przystań ' Nie studiowałem elektrostatyki odkąd ukończyłem szkołę w maju.

Ponieważ gdyby się przecinały, to kierunek pola elektrycznego jest niejednoznaczny, więc nie jest to możliwe.

Komentarze

• Jednoznaczne ? Dlaczego jest to problem?
• Tak, jest niejednoznaczne a nie jednoznaczne , jak mówi Twoja odpowiedź.

Twierdził również, że dwie powierzchnie ekwipotencjalne nie mogą się przecinać, ponieważ dałoby to dwa różne potencjały jednocześnie punkt.

Weź pod uwagę pole elektryczne i powierzchnie ekwipotencjalne dipola elektrycznego

Kredyt obrazu

Żadna z powierzchni ekwipotencjalnych nie przecina się. Ponadto gęstość powierzchni jest największa wzdłuż linii pomiędzy dwoma ładunkami i przechodzącymi przez nie.

Rozważmy teraz te ekwipotencjalne powierzchnie w granicach idealnego dipola elektrycznego.

Źródło obrazu

Dla stałego momentu dipolowego ładunek (plus / minus) musi rosnąć wraz ze spadkiem odległości separacji, gęstość powierzchni ekwipotencjalnych wzdłuż linii przechodzącej przez powierzchnia musi odbiegać od granicy; wydaje się, że wszystkie powierzchnie ekwipotencjalne muszą przecinać się w miejscu idealnego dipola, a pole elektryczne jest tam pojedyncze.

Komentarze

• Rozumiem twój punkt widzenia, ponieważ sfery nie są ekwipotencjalne, nie jest oczywiste, że istnieje nieskończenie wiele ekwipotencjalnych powierzchni przechodzących przez punkt kontaktowy … Nie wiem ….
• @ValterMoretti, OK, więc dwie nieprzewodzące sfery, każda o stałej, jednorodnej gęstości ładunku o przeciwnych znakach i identycznym promieniu oraz symetrycznie umieszczona powyżej i poniżej płaszczyzny xy wzdłuż osi z, ale nie dotykająca płaszczyzny. To pachnie jak metoda problemu z obrazami, a jeśli tak, płaszczyzna x-y jest zerową potencjalną powierzchnią?Następnie dodatnie (ujemne) powierzchnie ekwipotencjalne otaczają dodatnio (ujemnie) naładowaną kulę, a gdy kule są zbliżane, powierzchnie te są ' ściśnięte ' razem wzdłuż linii przechodzącej przez środek sfer w końcu stykających się ze sobą?
• Cóż, teraz myślę, że powierzchnie ekwipotencjalne różne od płaszczyzny oddzielającej wchodzą w (nieprzewodzące) sfery, a mój przykład nie praca: gdy kule stykają się ze sobą, istnieje tylko jedna ekwipotencjalna powierzchnia przez punkt styku. Więc mój przykład nie działa.
• @ValterMoretti, zastanawiałem się tylko, czy ekwipotencjały mogą wejść w sferę i zacząłem przeglądać Jacksona, gdy pojawił się twój komentarz.
• Tak, powierzchnie ekwipotencjalne muszą wejść w sferę: weź dowolny punkt wewnątrz lewej sfery, tam pole elektryczne spowodowane samą kulą zanika. Pole elektryczne wewnątrz lewej kuli jest zatem w całości spowodowane przez prawą kulę i jest takie samo, jak w przypadku ładunku punktowego wyśrodkowanego poza lewą kulą. Jest oczywiste, że w ten sposób powierzchnie ekwipotencjalne wchodzą w lewe sfery. Myślałem tutaj o pozornie naładowanych kulach! Jeśli opłata jest w objętości? Nie wiem