Poniżej znajduje się pytanie do wywiadu przeprowadzone przez Marka Joshiego i in. Quant Job Interview.
Pytanie: Dlaczego ruchy Browna są przydatne w finansach?
Jestem z doktoratu z czystej matematyki (analiza funkcjonalna, zwłaszcza teoria przestrzeni Banacha). Chciałbym rozpocząć przygodę z branżą finansów kwantowych po ukończeniu studiów doktoranckich.
W związku z tym nie mam pojęcia, jak odpowiedzieć na powyższe pytanie, ponieważ wydaje się, że większość książek o rachunku stochastycznym wymagałaby mówienia o ruchach Browna, ale nigdy nie podawałaby motywacji.
Komentarze
- Cześć: Jednym z powodów jest to, że ' jest martyngałem, a niektórzy nie mają nic przeciwko przeglądaniu cen dzienników jako martyngału. Dlatego BW może być rozsądnym procesem do modelowania zmian cen kłód. W rzeczywistości cała czarna struktura scholesa opiera się na tym założeniu.
- standardowe ruchy Browna czy geometryczne ruchy Browna?
- Myślę, że mogę odpowiedzieć na jedno i drugie?
- Główną użytecznością BM i Ito Calculus, w przeciwieństwie do rzeczy takich jak dyskretne spacery losowe, jest możliwość ciągłego zabezpieczenia portfela instrumentów pochodnych w takim wszechświecie.
Odpowiedź
Ruchy Browna to po prostu granica skalowanego (dyskretnego) spaceru losowego, a zatem naturalny kandydat do użycia. Jest to bardzo intuicyjny i prawdopodobnie jeden z najprostszych i najlepiej rozumianych procesów stochastycznych ciągłych w czasie. Nie zapominaj również, że otrzymujesz znacznie więcej procesów stochastycznych jako funkcji (zmienionych w czasie) ruchów Browna. W wielu książkach o rachunku stochastycznym najpierw definiujesz całkę Ito względem ruchu Browna, zanim rozszerzysz ją na ogólne semimartingales. Zakładając, że log-zwroty podążają za ruchami Browna (z dryfem), można łatwo wyprowadzić rozwiązania w formie zamkniętej dla cen opcji. Ruch Browna jest ponadto markowem i martyngałem, które reprezentują kluczowe właściwości w finansach.
Ruch Browna został po raz pierwszy wprowadzony przez Bacheliera w 1900 roku. Następnie Samuelson zastosował wykładniczy ruch Browna (geometryczny ruch Browna), aby uniknąć negatywności dla modelu ceny akcji. Na podstawie tej pracy Black i Scholes znaleźli swój słynny wzór w 1973 roku.
Komentarze
- To wygląda na odpowiedź, którą chcą, abyś udzielił w wywiadzie. Słowo ostrzeżenia, ponieważ masz czyste podstawy matematyczne. Wszystkie te modele założyć, że różne ilości ar Rozkład normalny e Gaussa. Dane z życia nie są. To, czy modele są nadal przydatne, czy nie, jest dokładnie pytaniem, do którego powinni zatrudnić doktora z matematyki.
- Ale dlaczego przypadkowy spacer jest naturalnym kandydatem do modelowania zasobów? Odpowiedź jest raczej pytaniem ekonomicznym niż matematycznym (jeśli zwroty mogłyby być " przewidywane ", wówczas handel miałby taki skutek nie jest już " przewidywalny ")
Odpowiedź
Obiekty fizyczne poruszają się po prostych, gładkich krzywych, które mogą być reprezentowane przez wielomiany niskiego rzędu: linia prosta, parabola, elipsa itp.
Ceny na rynkach finansowych zmieniają się w zupełnie inny sposób, co widać patrząc na dowolny wykres cen akcji, stóp procentowych itp. w gazecie: występują stałe, nieregularne wahania, czasem w jednym kierunku, czasem w drugim, czasem małe, a czasem duże, które nadają krzywej szorstki, przypadkowy wygląd. Ruch Browna jest odpowiednim modelem dla tego rodzaju krzywej.