Tutaj chcemy pokazać, że metoda Boxa-Mullera generuje parę niezależne standardowe zmienne losowe Gaussa . Ale nie rozumiem, dlaczego używamy wyznacznika? Dla mnie, gdy masz dwie niezależne zmienne, funkcja gęstości stawów jest tylko iloczynem funkcji dwóch gęstości. Ktoś może mi wyjaśnić znaczenie wyznacznika tutaj? Proszę.
Komentarze
- Następuje " zmiana zmiennych " związana z przejściem od X do Y i dlatego masz pomnożyć przez jakobian transformacji, która jest wyznacznikiem, który widzisz powyżej. Zobacz na przykład Propozycja 8 tutaj math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, rozumiem, dziękuję Alex za odpowiedź.
Odpowiedź
Niech $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, mamy
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ left [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ right] = \ mathbb {P} \ left [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ jest jednolicie zdefiniowane na $ [0, 1] $, dlatego $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Rzeczywiście $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Stąd $ X_2 $ jest równomiernie rozłożone na $ [0,1] $, więc $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Ponieważ $ X_1 $ i $ X_2 $ są niezależne, $ Z $ i $ W $ powinny być niezależne. Mamy $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {and} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Zdefiniuj funkcję $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ takie, że $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ więc $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ innymi słowy $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q „(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ możemy łatwo pokazać $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ then $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Answer
Widać, że $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ i że $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Dlatego $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ i $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Biorąc różnicę, aby uzyskać $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Podobnie, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Stąd jakobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ ponad 2 } $ .
W przypadku plików PDF jako $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
daje to $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ ponad 2} $
pokazując, że $ Y_1, Y_2 $ to niezależne zmienne losowe Gaussa.
Commen ts
- zakres $ X_1 $ powinien wynosić (0,1), ale $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ to $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $