Najpierw zakładam operatory skończone wymiarowe: w przeciwnym razie musisz sprawdzić pewne warunki ograniczające na operatorach. Ponieważ seria CBH jest tutaj obcięta przez znikające podwójne komutatory, warunki dla operatorów liniowych na np. $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ będą łagodne.
Musisz poćwiczyć operacje na $ \ mathrm {Ad} $. Spójrz na poniższe. W grupie Lie $ \ mathfrak {G} $ z algebrą $ \ mathfrak {g} $ wektor styczny do ścieżki:
$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$
przy tożsamości to $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Tutaj $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ to Adjoint Representation . Jest to homomorfizm grupy Lie od ogólnej grupy Lie $ \ mathfrak {G} $ do macierzy Grupa Lie $ GL (\ mathfrak {g}) $. Jego jądro znajduje się w środku $ \ mathfrak {G} $. Ponieważ jest to homomorfizm, mamy $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Inna przydatna tożsamość to:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
i ta seria jest uniwersalnie zbieżna , jeśli operator $ B \ mapsto [A, \, B] $ jest odpowiednio ograniczone ( np. $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ dla jakiegoś $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – to z pewnością prawda w skończonych wymiarach).
Teraz, przez (1) i własność homomorfizmu ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), możesz znaleźć, że:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$
Wszystkie powyższe są całkowicie ogólne. Musisz go wyspecjalizować do swojej okrojonej sprawy. Więc użyj uniwersalnie zbieżnego (i tutaj skróconego do dwóch wyrazów) szeregu (2), aby rozwinąć $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ i skróć go do swojego specjalnego przypadku i myślę, że powinieneś zrobić jakiś postęp.
Pedantyczny irytujący: chociaż oba porządki nazwy są dość powszechne, kolejność, która dokładnie odzwierciedla historyczne pierwszeństwo to „Campbell-Baker-Hausdorff”, ponieważ każdy z autorów wniósł swój wkład w latach 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) i 1906 (Hausdorff ), odpowiednio. Każdy zdawał sobie sprawę z „pracy swoich poprzedników”, ale, jak stwierdzono w Fascicule 16 rozdz. 1 Bourbaki (1960), „każdy uważał demonstracje swoich poprzedników za nieprzekonujące (!)”. To stwierdzenie zawsze wywołuje we mnie chichot i dodaje pewnej otuchy, „Nie jestem jedynym, który ma około 5% wskaźnika zrozumienia w czytaniu literatury technicznej (wydaje mi się, że muszę przeczytać artykuł średnio około 20 razy, aby go„ zrozumieć ”). Zabawne jest to, że żaden z tych trzech nie opracował serii. Zamiast tego ustalili twierdzenie, że szereg był zbieżny w pewnym sąsiedztwie $ \ mathbf {0} $ w algebrze Liego i obejmuje tylko operacje liniowe i nawiasy Liego. Sama formuła pochodzi od Dynkina i została w pełni opracowana w 1947 roku!
Komentarze