Funkcja przenoszenia filtru Bessela jest definiowana przez wielomiany Bessela. Jeśli weźmiemy pod uwagę na przykład filtr drugiego rzędu, funkcja transferu to: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$. Chciałem zbudować symulację dla takiego filtra z architekturą Sallen-Key. Dlatego zapoznałem się z tym przewodnikiem projektowym firmy TI. Definiują funkcję transferu dolnoprzepustowego drugiego rzędu jako:
Ao to 1, ponieważ chcę, aby zyskiem była jedność. Spojrzałem na poniższą tabelę, aby poprawnie obliczyć wartości C i R.
Stąd funkcja transferu to: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Uruchomiłem symulację i spojrzałem na wykres bode. To pokazało pożądany rezultat (częstotliwość odcięcia -3db została obliczona).
Jednak nie rozumiem, dlaczego funkcja transferu wygląda tak inaczej. Zdecydowanie nie jest to wielomian Bessela. Sprawdziłem odpowiedź skokową i zaobserwowałem przeregulowanie o 0,4%, jak można by się spodziewać po filtrze Bessela. Dlatego mam 3 pytania:
- Dlaczego funkcja transferu w przewodniku projektowania ti nie jest wielomianem Bessela.
- Czy położenie bieguna filtra Bessela 2-go rzędu być taki sam dla każdego filtra z określoną częstotliwością odcięcia?
- Czy dolnoprzepustowy Bessel drugiego rzędu może mieć inny współczynnik Q niż 0,5773?
Dzięki!
Komentarze
- Stała w mianowniku ostatniego równania H (s) musi wynosić ” 1 ” zamiast ” 3 „. Ostatnie pytanie: NIE !. Tylko czynnik Q określa odpowiedź Bessela.
- masz rację, to była literówka. Nadal nie ma wiele wspólnego z wielomianem Bessela.
- Dlaczego nie? Jest to typowa funkcja filtrująca o charakterystyce częstotliwościowej o nazwie ” Thomson-Bessel „. Jaki masz problem? Oczywiście, funkcja filtru nie jest identyczna z ” matematycznym wielomianem Bessela „.
- Nie ' Nie rozumiem, dlaczego po jednej stronie masz tę matematyczną definicję, a po drugiej zupełnie inną funkcję przenoszenia. Skąd się biorą te współczynniki?
- Współczynniki tak zwanych filtrów Bessela są obliczane na podstawie wymagania maksymalnie płaskiego opóźnienia grupowego w paśmie przepustowym (do porównania z maksymalnie płaską amplitudą dla filtrów Butterwortha) . Można wykazać, że przy obliczaniu współczynników korzystamy ze znanych wielomianów Bessela (jest to dość skomplikowana procedura) – ale nie oznacza to, że wielkość funkcji przenoszenia ma odpowiedź, która wygląda jak funkcje Bessela. Jest to – jak wspomniano – matematyczna procedura znajdowania współczynników. OK?
Odpowiedź
Dlaczego transfer funkcja w przewodniku projektowania ti nie jest wielomianem Bessela.
Przyjrzyjmy się funkcji transferu, którą napisałeś: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Zmiana układu: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Równanie ma teraz standardową postać: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
I oczywiście \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ stąd 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Ten bit jest ważny, ponieważ jest to \ $ \ sqrt3 \ $.
Dla filtra dolnoprzepustowego 2 rzędu Bessela 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ stąd zeta wynosi 0,866.
Na zdjęciu manipulowałem R, aby uzyskać współczynnik tłumienia (zeta) dokładnie 1,732 – spójrz na szczyt w odpowiedź skokowa – 1,00433 V – dokładnie tak, jak dla Bessela. Spójrz na opóźnienie fazy wykreślone na górnym wykresie – maksymalnie płaskie i stopniowo dochodzące do 90 stopni przy naturalnej częstotliwości rezonansowej. Fd (częstotliwość tłumiona) wynosi dokładnie 0,5 – również wskazuje na Bessela.
Czy dolnoprzepustowy Bessel drugiego rzędu może mieć inny współczynnik Q niż 0,5773?
0,5773 to odwrotność \ $ \ sqrt3 \ $ i nie, to musi być Q dla Bessela LPF.
Komentarze
- Powodem, dla którego wielomian jest inny, jest skalowanie częstotliwości. Nieskalowana pierwsza formuła Bessela (OP ') będzie miała \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, z tłumieniem ~ -1.597 dB przy 1 Hz – nic niezwykłego, Bessel normalnie stosuje płaskie opóźnienie grupowe, a nie częstotliwość – więc TI przeskalowało je tak, aby ' było klasycznym -3dB.
- @aconcernedcitizen dlaczego nie uczynić tej odpowiedzi, zamiast przypinać ją do mojej odpowiedzi, chyba że, oczywiście, jesteś zbyt subtelny, wskazując na błąd w mojej odpowiedzi, że ' jestem zbyt głupi rozpoznać?
- Napisałem to jako komentarz, aby w razie potrzeby można było zaktualizować odpowiedź, do której piszę. Ale jeśli powiesz, że to powinna być odpowiedź, niech tak będzie. Nie ' nie wiem, skąd się wziął ” głupi „.
Odpowiedź
Filtr Bessela ma, jak poprawnie pokazałeś w swojej pierwszej formule, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Nie jest to niezwykłe, jeśli myślisz, że normalnie filtr Bessela jest używany do jego płaskiego opóźnienia grupowego, a nie do zachowania częstotliwości (jak mówi @LvW w swoim komentarzu). Ale implementacja filtru z tą funkcją transferu da ~ Tłumienie 1,597dB przy 1Hz, co nie czyni odpowiedzi klasyczną. Tak więc, TI zastosowało skalowanie częstotliwości, tak że tłumienie wynosi -3 dB przy 1 Hz. Tak się składa, że częstotliwość kwadratu (pulsacja) wynosi \ $ \ phi \ $ = 1,618 …, po czym przestawili wyrazy, aby pasowały do ich topologii opamp.