Gdzie w fizyce stosuje się twierdzenie o indeksie Atiyaha-Singera?

Równania ruchu, czyli równania instantonów, solitonów, równania Einsteina, czy prawie wszystkie równania w fizyce, są równaniami różniczkowymi. W wielu przypadkach interesuje nas przestrzeń rozwiązań równania różniczkowego. Jeśli zapiszemy całkowite (prawdopodobnie nieliniowe) równanie różniczkowe będące przedmiotem zainteresowania jako $ L (u) = 0, $ możemy zlinearyzować w pobliżu rozwiązania $ u_0, $ tj. Zapisać $ u = u_0 + v $ i expand $ L (u_0 + v) = 0 + L ' | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $, aby utworzyć równanie liniowe $ D (v) = 0 $ w przemieszczeniu $ v. $

Liniowe równanie różniczkowe jest podobne do równania macierzowego. Przypomnijmy, że $ n \ razy m $ matrix $ M $ to mapa od $ R ^ n $ do $ R ^ m $, a $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ niezależne od konkretnej macierzy (lub bardziej ogólnie transformacji liniowej). Ta liczba jest nazywana „indeksem”. W nieskończonych wymiarach liczby te na ogół nie są skończone, ale często (szczególnie w przypadku eliptycznych równań różniczkowych) są i zależą tylko od pewnych „globalnych” informacji o przestrzeniach, w których działają.

Twierdzenie indeksowe mówi, jaki jest indeks liniowego operatora różniczkowego ($ D, $ powyżej). Możesz go użyć do obliczenia wymiaru przestrzeni rozwiązań równania $ L (u) = 0. $ (Gdy przestrzeń rozwiązań jest rozmaitością [inną historią], wymiar jest wymiarem przestrzeni stycznej, którą opisuje równanie $ D (v) = 0 $.) nie mówi Ci jaka jest rzeczywista przestrzeń rozwiązań. To „trudne, nieliniowe pytanie.

Komentarze

• Myślę, że ' to fajna matematyczna odpowiedź dla fizyków, którzy jeszcze ' nie znają twierdzenia o indeksie. Ale nie widzę żadnego rzeczywistego przykładu fizycznego. Szkoda, jestem pewien, że Eric musi znać wiele z nich . Wiem, że ludzie używają go przez cały czas w teorii strun. Ale nie ' nie wiem wystarczająco, aby udzielić własnej odpowiedzi.
• Twierdzenie o indeksie jest takie bardzo ogólne i dotyczy wszystkich przytoczonych przeze mnie przykładów (instantony, solitony, równania Einsteina '). Na przykład przestrzeń modularna $ SU (2) $ instantonów na czterech -sphere $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ ze stałym zachowaniem w nieskończoności) z numerem instanton $ k $ równa się 8k $ – 3 $ według twierdzenia o indeksie.
• Cóż, powiedziałeś ” prawie wszystkie równania w fizyce „, co jest w bezpośredniej sprzeczności z moim codziennym obserwacja 🙂 Liczyłem na kilka konkretnych przykładów, takich jak te, które podał Steve. Lub coś w rodzaju Twojego przykładu instanton (myślę, że miałeś na myśli $ S ^ 3 $?). Chciałbym zobaczyć ich więcej, szczególnie w połączeniu z jakąś fizyczną interpretacją. Z góry dziękuję 🙂
• To jest prawdą, że prawie każde równanie w fizyce jest równaniem różniczkowym! Jednak nie wszystkie prowadzą do problemów z indeksowaniem. (Miałem na myśli S ^ 4. Chwile to zależne od czasu konfiguracje pola.) Przykład z teorii strun, której diagramy Feynmana są dwuwymiarowymi amplitudami QFT. Ta teoria pola 2d opisuje mapy od powierzchni do czasoprzestrzeni, a momenty tej teorii są mapami holomorficznymi. Wymiar przestrzeni takich map określa wzór indeksowy. W przypadku CY ten wymiar wynosi zero, co oznacza, że można liczyć rozwiązania (jest to związane z topologiczną teorią strun).
• +1 na miłej odpowiedzi i wzmiankę o instancjach. Ale czy rzeczywiście istnieje zastosowanie do równania Einsteina '? AFAIK, twierdzenie o indeksie ma zastosowanie do liniowych operatorów eliptycznych …

Eric i inni dali dobre odpowiedzi na pytanie, dlaczego oczekuje się, że twierdzenie o indeksie pojawi się w różnych układach fizycznych. Jednym z najwcześniejszych i najważniejszych zastosowań jest rozwiązanie problemu $ U (1) $ przez „t Hoofta”. Odnosi się to do braku dziewiątego bozonu pseudo-Goldstonea (jak piony i kaony) w QCD, którego można by się naiwnie spodziewać po złamaniu symetrii chiralnej. Rezolucja składa się z dwóch części. Pierwszym jest fakt, że chiralny $ U (1) $ jest anomalny. Drugim jest uświadomienie sobie, że istnieją konfiguracje działania skończonego (instantony), które przyczyniają się do funkcji korelacji obejmujących dywergencję prądu osiowego $ U (1) $. Analiza opiera się w dużej mierze na twierdzeniu o indeksie dla operatora Diraca w połączeniu z polem miernika $ SU (3) $ QCD. Pełniejsze wyjaśnienie można znaleźć w wykładach S. Colemana Ericea „Zastosowania instantonów.”Istnieją również ważne zastosowania do S-dualności $ N = 4 $ SYM, które obejmują twierdzenie o indeksie dla operatora Diraca na przestrzeniach modułów jednobiegunowych.

Komentarze

• Jeff, zostań na linii! Myślę, że Physics Stack Exchange może być pomocny dla społeczności fizyków, jeśli jest używany tak szeroko i mądrze jak Math Overflow – np. od ludzi takich jak ty!
• Dzięki Eric. Rozumiem, że to właśnie zostało uruchomione ponownie. Mam nadzieję, że zadziała. Musi przejść kilka sposobów, zanim osiągnie jakość MO.
• Rzeczywiście. Myślę, że ' jest teraz stroną w fazie rozwoju (Theoretical Physics Stack Exchange), która będzie bardziej przypominać Math Overflow, ale ta ma tę zaletę, że istnieje.

Najpierw wyjaśnię, do czego odnosi się indeks , którego dotyczy pytanie . Jeśli matematyka jest zbyt pełna żargonu, daj mi znać w komentarzach.

W fizyce często interesuje nas spektrum różnych operatorów na wybranych rozmaitościach, na których nam zależy. Np .: operator Diraca w czasoprzestrzeni 3 + 1. W szczególności fizyka niskoenergetyczna długich odległości jest zawarta w trybach zerowych (stanach podstawowych).

Teraz, co mierzy „indeks”, dla operatora Diraca $ D $ i danej rozmaitości $ M $, jest różnicą między liczbą leworęcznych trybów zerowych a liczbą praworęcznych trybów zerowych. Bardziej technicznie:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

gdzie $ D $ to dany operator; $ ker \, D $ jest jądrem $ D $ – zbioru stanów, które są anihilowane przez $ D $; a $ ker \, D ^ {+} $ jest jądrem swojego sprzężenia. Następnie, jak widać, $ ind \, D $ zlicza różnicę między wymiarami tych dwóch przestrzeni. Ta liczba zależy tylko od topologii $ M $.

Krótko mówiąc, twierdzenie ASI wiąże topologię rozmaitości $ M $ z trybami zerowymi lub stanami podstawowymi operatora różniczkowego $ D $ działającego na $ M $. Są to oczywiście informacje istotne dla fizyków.

Być może ktoś inny mógłby wyjaśnić więcej aspektów fizycznych.

Moim zdaniem najlepszym odniesieniem do tego i innych tematów fizyki matematycznej jest Nakahara .

W przypadku Operator Diraca, indeks jest (oznaczonym) wymiarem nadmiarowym przestrzeni modów próżniowych jednej chiralności w / r / t drugiej: tj. Liczba anomalnych stanów „duchów” w chiralnej teorii pola.

Anomalie powstają, gdy klasyczna / kwantowa zgodność symetrii załamuje się w wyniku renormalizacji (globalna anomalia może być odpowiedzialna za masę kwarków w QCD; rozwiązanie lokalnej anomalii chiralnej w SM uwzględnia kwarki i leptony; rozwiązanie tego w teorii superstrun ustala miernik grupa [do SO (32) lub E8 x E8], a rozdzielczość anomalii konformalnej ustala wymiar czasoprzestrzeni i zawartość fermionów). Próbując przekształcić teorię strun w rzeczywistą fizykę, zadaje się pytanie

• Czy można wyjaśnić trzy generacje chiralnych fermionów?
• Czy może wyjaśnić wyniki eksperymentalne rozpadu protonu?
• Czy może wyjaśnić niewielką masę elektronu?
• Czy może wyjaśnić [rzeczy dotyczące stałej kosmologicznej]?

, a AST pomaga odpowiedzieć na te pytania.