Jak 64 = 65?

To słynna układanka fizyczna, którą można powiązać z seria fibonacciego .

Aby odpowiedzieć na zadane pytanie, problem polega na tym, że dwa zbocza są różne ( $ \ frac25 $ w porównaniu z $ \ frac38 $ ). Zauważ, że wszystkie te liczby znajdują się w serii Fibonacciego ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Kolejne ułamki są bliższymi przybliżeniami do $ \ varphi $ , na przemian powyżej i poniżej. Diagramy takie jak ten można wygenerować, tworząc kwadrat o bokach równych liczbie z szeregu Fibonacciego (w tym pytaniu 8), a następnie dzieląc go na dwa prostokąty o szerokości dwóch liczb Fibonacciego, które tworzą pierwszą wybraną (3 i 5).

Obetnij mniejszą po przekątnej, a większą pośrodku po przekątnej, tak aby szerokość przekątnej była następną najmniejszą liczbą (w tym przypadku 2). Zwróć uwagę, że pozostawi to trapez, którego mały rozmiar równoległy pasuje do mniejszego boku oryginalnego małego prostokąta (w tym przypadku 3) i którego większy rozmiar równoległy pasuje do mniejszego boku oryginalnego większego prostokąta (w tym przypadku 5).

Ponieważ $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ i na podstawie powyższych konstrukcji, elementy można uporządkować w prostokąt (jak pokazano), którego obszar zawsze będzie oddalony od pierwotnego kwadratu, ale będzie wyglądał mniej więcej poprawnie, ponieważ nachylenia prawie się pokrywają.

Edycja: Ponieważ ta odpowiedź otrzymała tak wiele pozytywnych głosów (dziękuję!), przypuśćmy, że ludzie są nim bardzo zainteresowani, więc pomyślałem, że narysowałbym kilka obrazów!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1, 2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (przykład OP)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: 21 $ \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Komentarz od @EricJ . wywołało dyskusję, która może być warta podjęcia tutaj:

Nie twierdzę, że wszystkie takie łamigłówki są oparte na serii Fibonacciego. Tylko, że wszystkie liczby Fibonacciego mogą generować te diagramy. Istnieje kilka cech charakterystycznych Fibonacciego liczby, które sprawiają, że to działa.

1. Po pierwsze, kwadrat liczby Fibonacciego zmienia się o jeden więcej i jeden mniej niż iloczyn liczb po obu stronach.
2. Jest rzecz, o której już wspomniałem, co oznacza, że nasza konstrukcja da nam dwa nachylenia, które są w przybliżeniu równe.
3. Istnieje argument, że ogólną konstrukcję można przeprowadzić w oparciu o każdą liczbę będącą sumą dwóch poprzednich.

Ostatnie dwa punkty najlepiej zrozumiałe poprzez szczegółowe zbadanie konstrukcji. Pierwszy punkt można udowodnić za pomocą indukcji:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ dla $ k \ geq1 $

Indeksujemy, aby $ f_0 = 0 $ i $ f_1 = 1 $ .

Krok 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ można zweryfikować przez podstawienie.

Krok 2 : Załóżmy, że to prawda dla $ k $ . Więc $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (używam $ \ mp1 $ ponieważ „spodziewam się, że będzie się zmieniać, więc w kroku 3” udowodnię to dla $ \ pm1 $ )

Krok 3 : Musimy pokazać, że $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Oto więc:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Dwukrotnie użyłem definicji szeregu Fibonacciego ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ i $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) oraz założenie kroku 2.

Oznacza to, że gdy wykonasz powyższą konstrukcję, obszary będą zawsze różnić się tylko o 1 (za każdym razem naprzemiennie powyżej i poniżej).

Komentarze

• Exc dobra odpowiedź! ' Znam te łamigłówki, ale nigdy nie słyszałem o połączeniu Fibonacciego. W rzeczywistości nie ' nawet nie zdawałem sobie sprawy, że istnieje algorytm generowania takich kształtów.
• Dlatego nigdy nie ufam ” dowód w postaci demonstracji ” zdjęcia na math.stackexchange.com .
• Po zobaczeniu tego pytania zdałem sobie sprawę, dlaczego moje Ferrari 488 podróżujące w czasie szybciej niż światło nie ' nie całkiem działa (mam na myśli, że ' d cofnąć się w czasie szybciej niż światło Just Fine – ale wracał jako Ford Fiesta!) I ' d PO PROSTU gotowe naprawiając go i uruchamiając test, kiedy przeczytałem tę głupią odpowiedź! A WTEDY Ferrari wróciło – ale tym razem wróciło jako rower z jadącym na nim dinozaurem! Więc, OK, uderzyłem dinozaura (jego imię ' s Fred, przy okazji – miły facet. Zabawny ol ' rzecz, życie .. .) na patelni, a teraz ' m ponownie naprawiam silnik FTL. Więc t ' anks fer nuttin ' !! 🙂
• Myślę, że on ' mówi tylko, że robił coś niemożliwego i teraz może ' t już, ponieważ okazało się, że jest to ' niemożliwe. ' nie dostaję, to dlaczego tak dużo głosów pozytywnych? To znaczy myślałem, że jestem sprytny, ale nie tak sprytny!
• O tak? DOBRZE! Po prostu zagłosowałem za twoją odpowiedź, żeby była równa 100! WIĘC TAM !!!! 🙂 (A na marginesie @ghosts_in_the_code – nie ' naprawdę nie mówiłem, że ta odpowiedź jest głupia – nazwałem ją jako ” głupi ” w ironicznym sensie, który oznacza ” Odpowiedź pokazała, że się mylę! Co za głupia odpowiedź! ” – tj. Ja ' jestem tutaj prawdziwym atrapą. Mamy nadzieję, że ' wszystko jest już w porządku …) . Mój komentarz jest właściwie hołdem dla trzech filmów: Back To The Future, ET i Caddyshack. Oraz przewodnik Autostopowicza ' po trylogii Galaktyki – wszystkie pięć książek. 🙂

Diagram jest mylący , ponieważ ukrywa lukę w środku drugiej konfiguracji.

To właśnie otrzymamy, jeśli zmienimy układ kształtów, o których mowa. Zwróć uwagę, że ukośne „łuki” lekko się wyginają, pozostawiając dodatkową przestrzeń między kształtami – w tym miejscu wkrada się dodatkowa jednostka powierzchni.

Ale nie powinieneś ufać mi bardziej niż osobie, która narysowała oryginalne zdjęcie!

Jak widzimy tutaj, zdjęcia mogą wprowadzać w błąd – więc mój diagram nie jest dowodem, że oryginalny schemat był nieprawidłowy. Daje to po prostu intuicyjne poczucie, skąd pochodzi dodatkowa przestrzeń.

Aby uzyskać odpowiedni dowód, rozważ gradienty:

• Gradient niebieskiego trapezu wynosi 5/2 = 2,5 $
• Gradient czerwony trójkąt to 8 $ / 3 = 2,666 … $

Ponieważ gradienty nie pasują, nie możemy ich ułożyć obok siebie tak, aby nie było między nimi spacji . Ale ponieważ są blisko, oko można oszukać, myśląc, że tworzą pojedynczą ciągłą linię i nie zauważa, że nachylenie trójkąta zmienia się w połowie drogi w dół.

Komentarze

• Uwielbiam te łamigłówki – ' jest dobry filozoficzny morał nieakceptowania rzeczy takimi, jakimi są ' do Ciebie.

Obraz po prawej kody : fragmenty właściwie nie pasują do siebie idealnie, pomiędzy nimi jest luka. Aby to udowodnić, możemy obliczyć rozmiar odstępu, obliczając rozmiar trójkąta utworzonego przez:

• najdłuższy bok żółtego trójkąta: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• nachylona strona trapezu: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• przekątna prostokąta na po prawej: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Pole tego trójkąta można obliczyć ze wzoru Herona:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

gdzie

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Podstawienie wartości do wzoru daje dokładnie 0,5 $ A $. Są dwa takie trójkąty, więc „sa total 1 = oczekiwana rozbieżność.

To jest mylący diagram. W rzeczywistości kąty nie pasują do siebie – większy kąt wewnętrzny pomarańczowego trójkąta wynosi około 69,5 stopnia, podczas gdy to 68,2 dla szarego czworoboku. (Popraw mnie, jeśli się mylę – odkurzam mój tryg tutaj.) Na diagramie z obszarem 65 pomarańczowe obszary są w rzeczywistości czworokątami. Jeśli przyjrzysz się uważnie, zobaczysz, że mają lekkie przegięcie w miejscu, w którym spotykają się z innym pomarańczowym aby ten dodatkowy obszar wynikał z ich niewielkiego rozszerzenia.

Trójkąty nie mają takiego samego nachylenia ; widać, że duża przekątna linia przechodząca przez „większy” prostokąt wygina się. Jest zakryta grubymi liniami wokół trójkątów, ale jest tam bardzo cienka dziura o łącznej powierzchni jednego kwadratu – ten sam kwadrat, który rzekomo „pojawił się znikąd”.

Po prostu powiększ obraz i „ll patrz odpowiedź.

Prosta odpowiedź :

Te kształty (na pomarańczowo) po prawej stronie obrazu wcale nie są trójkątami! są to dwa czworoboki. w ten sposób mają obszar większy niż oczekiwano wizualnie. więc nie ma tutaj równości. Są różne i dlatego mają różną powierzchnię całkowitą.

Obraz dolnego prostokąta jest mylący, ponieważ oszukuje ludzi w błędne założenie, że szerokość trójkątów wynosi dokładnie 3 jednostki.

Rzeczywistą szerokość można łatwo obliczyć – jest to ułamek całkowitej szerokości, określony przez wysokość punktu na przekątnej, lub dokładnie 8/13 z 5, tj. 3,076923077 (a nie 3), pyt.

Komentarze

• Zgodnie z oświadczeniem układanki, trójkąty w oba diagramy są identyczne, a kształt trójkątów jest zdefiniowany w konfiguracji 8×8 jako dokładnie trzy jednostki na osiem jednostek. Błąd jest dobrze zilustrowany w alexwlchan ' i wyjaśnione matematycznie w kilku innych: Elementy nie ' nie pasują do siebie w konfiguracji 5×13. ' to cienka trapezowa szczelina między nimi, który jest ukryty za grubą, czarną i niezupełnie prostą ukośną linią narysowaną na oryginalnej ilustracji 5×13.