Jak daleko mogą latać papugi bez konieczności lądowania?

Ptaki latające były oryginalną inspiracją do zaprojektowania maszyny, która mogłaby latać i unosić w górę człowieka, dlatego nie jest zaskakujące, że aerodynamika lotu ptaków i samolotu ma wiele wspólnego. W szczególności oba zużywają masę jako źródło energii potrzebnej do utrzymania lotu; paliwo do silników odrzutowych lub benzynę w przypadku samolotów, a zgromadzony tłuszcz u ptaków i oba mają skrzydła , które zapewniają aerodynamiczną siłę nośną, gdy powietrze przesuwa się nad nimi podczas lotu. Ponadto oba mają inną cechę lotu, zdolność szybowania , kontynuować lot bez dostarczania własnej energii do utrzymania lotu. Energia ta jest dostarczana przez samą atmosferę w postaci rosnących prądów powietrza spowodowanych różnicą temperatur w lokalnej „kieszeni” powietrza; kieszeń powietrza, która jest cieplejsza niż powietrze otaczające, uniesie się, ponieważ ma mniejszą gęstość, czyli Prawo Archimedesa w działaniu. Podobny proces zachodzi, gdy paczkę wilgotnego powietrza otacza suche powietrze o tej samej temperaturze co powietrze wilgotne, a zatem mniej gęste niż powietrze suche. Trzecie źródło wznoszenia się powietrza wynika z lokalnej topografii; powietrze po nawietrznej stronie grzbietu lub góry jest wypychane w górę i jest często wykorzystywane przez ptaki jako źródło siły nośnej.

Jakakolwiek dyskusja o lotach szybowcowych będzie nieuchronnie obejmować pewne aspekty fizyki atmosfery (czyli pogodę), nie ma tu inaczej. Jak wspomniano powyżej, paczka wilgotnego powietrza otoczona suchym (lepszym) powietrzem w ta sama temperatura wzrośnie. Tak długo, jak temperatura będzie wyższa od temperatury nasycenia (punktu rosy) tej części powietrza, woda pozostanie w postaci pary. Wszyscy wiemy, że wraz ze wzrostem atmosfery temperatura spada; na szczycie góry jest chłodniej niż u jej podstawy. Dlatego, gdy nasza paczka wilgotnego powietrza rośnie, jej temperatura spada, a ostatecznie ta temperatura jest taka sama, jak punkt rosy tej działki, co prowadzi do kondensacji tej wilgoci, tj. Tworzy się chmura. Ponieważ powierzchnia atmosfery o stałej temperaturze jest prawie równą powierzchnią, na niebie widzimy chmury, których podstawy znajdują się na tym samym poziomie, na którym zaczyna się kondensacja. A teraz trochę o termodynamice; kiedy gotujemy wodę, dodając do niej ciepło (czyli energię), zamieniamy ciekłą wodę w parę (parę).Oto rzecz, kiedy schłodzimy tę parę do punktu rosy, skropli się ona z powrotem do ciekłej wody, a robiąc to, odzyskamy ciepło (które zostało wprowadzone do wrzenia) z powrotem ! To odzyskane ciepło objawia się jako wzrost temperatury powietrza, które właśnie oddało parę wodną. Ten wzrost temperatury powoduje, że powietrze nadal rośnie, teraz z powodu różnicy temperatur z otaczającego powietrza, a nie różnicy ciśnień pary wodnej ; chmura nadal rośnie w górę. To jest źródło chmur cumulonimbus, które widzimy na niebie, które mogą ostatecznie tworzyć burze. Ta dyskusja oświetla kluczowy fakt dotyczący pogody, który odnosi się bezpośrednio do naszej dyskusji o lotach szybowcowych; jeśli nie ma prądów wznoszących, nie ma chmur. To prawda, aby chmura powstała, muszą występować prądy wznoszące zawierające wilgotne powietrze . Brak chmur oznacza brak prądów wstępujących. Jeśli nie ma prądów wstępujących, nie ma lotu szybowcowego. Jednak zauważamy, że naprawdę suche powietrze jest bardzo trudne do znalezienia; nadal mogą występować termiki, ale mało prawdopodobne, i te niezbyt silne. Wnioski z tej dyskusji są następujące: jeśli chcemy uwzględnić wzrost maksymalnego zasięgu wynikający z lotu szybowcowego, musimy umieć przewidzieć pogodę (która jeszcze się nie wydarzyła, a mówię to jako osoba, która spędziła lata jako student studiów licencjackich i magisterskich zajmujących się badaniami atmosferycznymi). Dlatego też loty szybowcowe na duże odległości nie będą tu dalej omawiane.

Rozpoczynamy naszą analizę lotu z napędem od rozważenia konkretny samolot, powiedzmy odrzutowiec pasażerski Boeing 787. Aby znaleźć maksymalny zasięg, samolot byłby całkowicie zatankowany, startował i latał na poziomej ścieżce lotu ze stałą prędkością, ponieważ wszelkie przyspieszenia (poprzez zmianę wysokości lub przyspieszenie) ograniczałyby paliwo. Kiedy zbiornik paliwa wysycha, osiągnąłeś maksymalny zasięg lotu z napędem (zakładając oczywiście bez wiatru czołowego ani tylnego).

Z analitycznego punktu widzenia, paliwo przewożone przez 787 jest źródłem energii $ E_s $ , która zasila jego silniki. Silniki te wytwarzają siłę ciągu $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ skierowaną poziomo, równolegle do osi podłużnej 787 ” i do toru lotu, który przeciwdziała efektowi siły oporu atmosferycznego, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ , który przeciwstawia się ruch 787 po torze lotu. W ustalonych warunkach lotu (stała prędkość i wysokość), poziome siły netto na 787 wynoszą zero, więc $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ lub $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Biorąc pod uwagę wielkość obu stron tego wyrażenia, okazuje się, że $ D = T $ , więc $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Stwierdzamy, że ciąg generowany przez silniki ma taką samą wielkość jak opór atmosferyczny, ale jest skierowany przeciwnie.

W tych samych warunkach lotu znajdujemy podobną zależność dla pionowych składników siły działających na 787, jego waga, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ jest równoważona przez windę $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ wygenerowane przez skrzydła, tak że $ F_w = m_p g = L $ i $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ gdzie $ m_p $ to chwilowa masa (= masa startowa samolotu, $ m_ {p_0} $ , pomniejszona o masę wydanego paliwa, czyli daleki ciąg) 787, a $ g = 9,8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ jest standardowym przyspieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Ziemi. Zwracamy uwagę, że w tych warunkach lotu zarówno $ \ mathbf {L} $ , jak i $ \ mathbf {F} _w $ są prostopadłe do $ \ mathbf {T} $ i $ \ mathbf {D} $ .

Jeśli ciąg zostanie usunięty w taki sposób, że $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , siła oporu nie będzie dłużej będzie się przeciwstawiał i spowolni samolot, zmniejszając prędkość powietrza przepływającego nad skrzydłem, co z kolei spowoduje, że skrzydło będzie generować mniejszą siłę nośną, inicjując w ten sposób opadanie samolotu (jego ciężar jest większy niż siła nośna wytwarzana przez skrzydła). Jeśli samolot zostanie następnie „skierowany w dół” pod kątem $ \ alpha $ od poziomu, rzut wektora ciężaru samolotu, $ \ mathbf {F} _w $ na płaszczyźnie „oś podłużna samolotu nie będzie już wynosić zero, a zamiast tego będzie $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ skierowane do przodu, przeciwstawiając się sile oporu.Jeśli $ \ alpha $ zostanie wybrany tak, że suma tego odwzorowania i wektora przeciągania wynosi zero, to płaszczyzna będzie opadać ze stałą szybkością i wielkością oporu jest określana przez $ D = F_w \ sin \ alpha $ . Rzut wektora ciężaru na oś prostopadłą do osi podłużnej płaszczyzny, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , jest równoważony przez równe magnitude, ale odwrotnie skierowany wektor siły nośnej, którego wielkość wynosi teraz $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Jeśli utworzymy stosunek $ D / L $ znajdujemy \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {equation} Odwrotność tego współczynnika, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , jest znany w aerodynamice jako współczynnik siły nośnej do oporu , natomiast kąt $ \ alpha $ nazywane jest kątem nachylenia schodzenia . Te dwa parametry są ważne w ogólnej charakterystyce aerodynamiki ramy powietrznej. Znając ten współczynnik, można go użyć do oszacowania przeciągnij w locie poziomym. Ale w locie poziomym wysokość podnoszenia jest równa masie samolotu, $ L = F_w = m_p g $ . Podstawiając to wyrażenie do równania ~ $ \ eqref {1} $ i rozwiązując przeciąganie \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {equation}

Dotarliśmy do punktu w nasze analizy, że musimy zająć się budżetem masy / energii lotu samolotu. Przydatne będzie rozdzielenie masy samolotu na jego pustą (bez paliwa) masę, $ m_ {p_e} $ , a masa dostępnego paliwa $ m_f $ , przy czym początkowa masa startowa paliwa podana jest przez $ m_ {f_0} $ . Po zdefiniowaniu tych ilości początkowa masa startowa samolotu jest określona przez $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ , podczas gdy chwilowa masa jest podana przez $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Podczas lotu masa dostępne paliwo, $ m_f $ , różni się tak, że $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ podczas gdy masa samolotu, $ m_p $ , zmienia się jako $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Istnieją dwie dodatkowe stałe wymagane do określenia efektywnej energii netto dostępnej do przeciwdziałania sile oporu podczas zużywania (różnicowej) ilości $ \ delta m_f $ paliwa podczas lotu na (różnicowym) dystansie $ \ delta \ mathbf {r} $ . Pierwszy z nich, $ \ kappa $ , określa całkowitą (różnicową) energię, $ \ delta E $ , dostępne ze spalania ilości $ \ delta m_f $ paliwa \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} W przypadku amerykańskiego samolotu, takiego jak 787, $ \ kappa $ będzie zawierał jednostki mniej więcej BTU na funt wydanego paliwa. Drugi, $ \ eta $ , określa wydajność zamiany dostępnej energii na rzeczywistą pracę, $ \ delta W $ , generując ciąg, który przeciwdziała przeciąganiu \ begin {equation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {equation} , gdzie $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ to wektor przemieszczenia różnicowego wzdłuż toru lotu przy stałej prędkości, ruchu poziomym i minus znak oznacza, że zapasy energii samolotu są zużywane, ponieważ energia ta jest wykorzystywana do przeciwdziałania opórowi (procesowi zasadniczo rozpraszającemu).

Pozwalając $ \ delta $ „s stają się pochodnymi, dzieląc przez $ m_p $ i używając $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ i zastępując zmienne zintegrowane wartościami pierwotnymi,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ można przepisać w postaci całkowej \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm „} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr „\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} z limitami integracji obliczanymi przy starcie i aktualną pozycją w dół odległość $ r $ od startu.

Wykonując integracje wskazane w równaniu ~ $ \ eqref {5} $ i upraszczając, otrzymujemy wynik \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} Stwierdzamy, że masa samolotu $ m_p $ jest wykładniczo malejącą funkcją przebytej odległości, $ r $ . Niech $ r = r_m $ będzie maksymalnym zasięgiem samolotu, na który zostało zużyte całe paliwo (gdy $ m_f = 0 $ tak, aby $ m_p = m_ {p_e} $ ), równ. ~ $ \ eqref {6} $ staje się \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {equation} Zauważamy podobieństwo tego wyrażenia do równania rakiety Ciołkowskiego .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ można rozwiązać dla maksymalnego zakresu $ r_m $ \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {equation} , niesamowicie prosty wynik, biorąc wszystko pod uwagę! Wynik ten pozostaje ważny dla każdego systemu aerodynamicznego, który uzyskuje siłę nośną poprzez ruch do przodu w powietrzu dostarczanym przez układ napędowy, który zużywa masę do wytworzenia ciągu. Mógłby być zastosowany do Cessny 172, a nawet do modelu 172 sterowanego radiowo (RC) zasilanego nitro. Nie można go zastosować do modelu 172 zasilanego elektrycznie (bateryjnie), ponieważ jest brak utraty masy z akumulatora lub do dowolnego typu szybowca (brak ciągu lub utraty masy). Można go jednak zastosować u każdego ptaka latającego, w tym naszej papugi!

Dla papugi źródłem energii jest tłuszcz zmagazynowany w jej ciele. Ta masa jest konsumowana w procesach metabolicznych, które przekształcają ją w $ \ text {CO} _2 $ i parę wodną wydalaną podczas oddychania oraz pot i mocz jak papuga muchy (jakby to był „wydech” papugi!). Zawartość energii w tkance tłuszczowej ( $ \ kappa $ zgodnie z definicją w równaniu ~ $ \ eqref {3} $ ) to 9 (żywność) kalorii na gram. Jedna żywność Kaloria równa się jednej kilokalorii, co z kolei odpowiada 4184 dżulom w jednostkach SI, patrz Wikipedia artykuł Energia pożywienia .

Oszacowano, że efektywność przekształcania energii zgromadzonej w ludzkim ciele w pracę mechaniczną wynosi 18 $ \% $ – 26 $ \% $ (patrz strona Wikipedii Mięśnie ). Podobnych liczb można by się spodziewać w przypadku innych ciepłokrwistych kręgowców, więc do jednej znaczącej liczby bierzemy $ \ eta = 20 \% = 0,2 $ (ilość bezwymiarowa).

Wydaje się, że zakres procentowej masy ciała stanowiącej tłuszcz jest bardzo szeroki. Niektóre ptaki wędrowne mają do 70 $ \% $ (patrz otyłych super-sportowców: migracja ptaków i nietoperzy) , jednak papuga nie jest generalnie uważana za ptaka wędrownego. Strona internetowa Porównanie przebiegu lotu różnych gatunków dzikich papug podaje odległość migracji 320 km dla papug grubodziobych. Dlatego liczba 70 $ \% $ jest prawdopodobnie o wiele za duża. Z drugiej strony mielona wołowina jest uważana za chudą, jeśli zawiera 10 $ \% $ fat, ale bardziej ogólnie jest bliżej 20 $ \% $ . Wybierzemy wartość nieco poniżej mediany tych skrajności, powiedzmy 35 $ \% $ .

Typowa masa papugi to kolejna trudna do ustalenia liczba, ponieważ to bardzo duża różnica w masie ciała różnych członków rodziny papug. Na przykład strona internetowa Średnia waga ptaków pospolitych gatunków papug zawiera dane dotyczące 52 gatunków papug z linkami do czterech innych gatunków, z których każdy zawiera kilka wpisów. Wahają się one od 10 gramów dla zięby zebry do 1530 gramów dla ara zielonoskrzydła, obejmującej zakres mas ponad dwa rzędy wielkości! Koniec: nie ma czegoś takiego jak „typowa” papuga! Wybierzemy papugę grubodziobą, ponieważ mamy pewne dane z dużych odległości, z którymi możemy porównać nasz wynik. Strona Wikipedii papuga grubodzioba podaje zakres masy jako 315-370 gramów, użyjemy 370 gramów, więc $ m_ {p_0} = 0,37 \, \ text {kg} $ , 35 $ \% $ z czego należy uznać za paliwo, aby $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ pozostawiając papugę „s” pustą masę „w $ m_ {p_e} = 0,24 \, \ text {kg} $ .

Mamy jeszcze jeden parametr do oszacowania, mianowicie kąt nachylenia schodzenia, $ \ alpha $ , użyty do znalezienia wysokości podnoszenia współczynnik oporu powyżej. Rozważ szacunki rzędu wielkości $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ około 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0,1 \, \ text {radian} \ około 6 ^ o $ lub $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ około 0,6 ^ o $ . Najwyraźniej $ 60 ^ o $ to zdecydowanie za dużo strome i $ 0,6 ^ o $ jest zbyt płytkie, pozostawiając $ 6 ^ o $ jako jedyną akceptowalną kolejność wybór wielkości, dlatego ustawiamy $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radian, liczbę ważną dla większości ptaków latających.

Powtarzanie Równ. ~ $ \ eqref {8} $ powyżej, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ i podstawiając wartości papugi z góry (w tym współczynniki konwersji jednostek)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right ] \ left (0,2 \ right)} {\ left (\ frac {9,8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0,1 \ right) \ right)} \ ln \ left (\ frac {0,37 \, \ text {kg}} {0,24 \, \ text {kg}} \ right) \ około 370 \ text {km} $$

znajdujemy odpowiedź na pytanie „Jak daleko może polecieć papuga [pod mocą] w jeden dzień?” być

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a liczbę, która jest w ścisłej zgodności z dostępnymi (ograniczonymi) danymi, które dały rzeczywisty (w porównaniu z maksymalny ) dzienny zasięg migracji wynoszący 320 km.

To Warto zauważyć, że ten maksymalny zasięg lotu z napędem może być postrzegany jako minimalny zasięg, gdy uwzględni się lot szybowcem . W idealnych warunkach pogodowych , rzeczywisty maksymalny zasięg można by znacznie zwiększyć, gdyby papuga wykorzystywała wszelkie dostępne termiki, jakie napotkała podczas lotu.