Jak możemy wyjaśnić, że beryl ma dodatnie nośniki ładunku jako metal (z Feynman Lectures)?

Interesująca może być Loucks and Cutler, Phys Rev , która przedstawia obliczoną powierzchnię Be Fermi, pokazaną tutaj:

Zwróć uwagę, że to nie wygląda jak wolny elektron – podobna do struktury zespołu, którą większość z nas zakłada dla metalu. Wyróżniają się dwie rzeczy: po pierwsze, powierzchnia Fermiego nie jest kulą, a po drugie istnieje bardzo duża anizotropia między strukturą elektronową w planie i poza płaszczyzną dla kryształu hcp Be.

To połączenie tej struktury z efektem Halla jest omówione w Shiozaki, J. Phys. F . Współczynniki Halla w płaszczyźnie i poza płaszczyzną mają różne znaki, ponieważ widzą bardzo różne ścieżki transportowe. Rysunek poniżej, pokazuje równoległe i prostopadłe współczynniki Halla zmierzone dla monokryształu Be.

Cytat z streszczenie,

Okazuje się, że duże wartości bezwzględne R $ _ {Hparallel} $ i R $ _ {Hperp} $ są spowodowane odpowiednio przez lekkie elektrony i lekkie dziury.

W szczególności patrząc na FIg. 3 w artykule widać, że „korona” ma przewodnictwo dziurkowe, a „cygaro” przewodzi elektrony. Te dwie bardzo różne powierzchnie Fermiego prowadzą następnie do dwóch bardzo różnych zachowań Halla.

Jest też pewna dyskusja w Ashcroft i Mermin w rozdziale 15, gdzie jest krótka sekcja na temat „Hexagonal Divalent Metals”.

Powinno to służyć jako przypomnienie, że bardzo uproszczone obrazy „struktury pasmowej”, które trzymamy w naszych głowach, często mają niewiele wspólnego ze złożoną rzeczywistością kryształów. Od czasu do czasu warto natknąć się na rzeczy takie jak Be (jak tutaj) lub Fe ( https://chemistry.stackexchange.com/a/80673/5677 ).

Komentarze

• To jest bardzo dobry kandydat na właściwą, pełną odpowiedź. Sprawdzę artykuły, do których się odwoływałeś, w nadziei, że lepiej zrozumiem, dlaczego powierzchnia Fermi wygląda tak – o ile mogę powiedzieć, jedyne brakujące ogniwo do pełnego wyjaśnienia. Jednak może potrzebować kilku dni, aby to wszystko przetrawić i przetrawić, ponieważ ' nie jestem ekspertem w tej dziedzinie.
• @fruchti – I dodał ostatni fragment, ponieważ, lepiej lub gorzej, większość kursów z fizyki ciała stałego koncentruje się na strukturach pasmowych najbliższych ' swobodnym elektronom '. Następnie trzymamy te proste obrazy w naszych głowach, ignorując wszystkie dziwactwa, które są w rzeczywistości. W fizyce półprzewodników ludzie ulegają poważnym ukąszeniom, gdy z podobnych powodów przechodzą do heterostruktur lub struktur wykorzystujących przerwę energetyczną – rzeczywistość jest bardziej złożona niż nasze wstępne modele mentalne.

Różnica między metalem a półprzewodnikiem polega na tym, że metal ma górne pasmo energii częściowo wypełnione elektronami, podczas gdy w półprzewodniku wyróżniamy pasmo walencyjne, wypełnione do góry, i pasmo przewodnictwa, które jest puste (w temperaturze zerowej). Częściowo wypełnione pasmo w metalu jest zwykle nazywane pasmem przewodnictwa , jednak analogia z pasmem przewodnictwa półprzewodnika jest poprawna tylko wtedy, gdy wypełniona jest mniej niż połowa tego pasma. Z drugiej strony, jeśli wypełniona jest więcej niż połowa tego pasma, elektrony będą się poruszać w części pasma o ujemnej krzywizny, tj. Ich zachowanie będzie bardziej zbliżone do dziur w paśmie walencyjnym półprzewodnika. . Nie wiem, czy tak jest w przypadku Berillium, ale uważam, że odpowiedź udzielona przez @Agnius Vasiliauskas jest tego dowodem.

Uwaga na temat energia pasma
W przypadku swobodnych elektronów energia jest podawana przez $$ \ epsilon (k) = \ frac {\ hbar ^ 2k ^ 2} {2m}, $$ , ale w przypadku elektronów pasmowych tak nie jest, ponieważ energia pasma jest ograniczona od dołu i od góry. Dobrym sposobem na wizualizację jest jednowymiarowy ciasny model wiązania, gdzie $$ \ epsilon (k) = – \ Delta \ cos (ka), $$ gdzie $ 2 \ Delta $ to szerokość pasma, a $ a $ to stała sieciowa. Gdy stężenie elektronów jest niskie, uzasadnione jest rozszerzenie tej energii w pobliżu jego minimim, $ k = 0 $ : $$ \ epsilon (k) \ approx – \ Delta + \ frac {\ Delta k ^ 2 a ^ 2} {2}. $$ Możemy wtedy zdefiniować t masa efektywna $ m ^ * = \ hbar ^ 2 / (\ Delta a ^ 2) $ ( efektywne przybliżenie masy ) i potraktuj elektrony, jakby były gazem z swobodnymi elektronami.

Jednakże, jeśli pasmo jest prawie wypełnione, bardziej uzasadnione jest rozszerzenie energii pasma w pobliżu jego najwyższego punktu, $ k = \ pi + q / a $ , z wynikiem $$ \ epsilon (k) \ ok \ Delta – \ frac {\ Delta q ^ 2a ^ 2} {2}. $$ W tym przypadku mówi się o ujemnej masie efektywnej , która prowadzi do zachowania właściwości przewodnictwa podobnego do całości.

Inny można na to spojrzeć, zauważając, że prędkość elektronów, która wchodzi do wyrażenia dla prądu, jest zdefiniowana jako prędkość grupowa fal prawdopodobieństwa: $$ v (k) = \ frac { 1} {\ hbar} \ frac {d \ epsilon (k)} {dk}, $$ , co daje nam znajomy pęd nad masą dla wolnych elektronów $ v (k ) = \ hbar k / m $ , ale wygląda całkiem inaczej czynsz dla elektronów w paśmie, gdzie może przyjmować wartości ujemne (tj. zachowują się jak dziury): $ v (k) = \ Delta a \ sin (ka) / \ hbar $ .

Komentarze

• Czy mógłbyś wyjaśnić, dlaczego zespół w metalu jest zakrzywiony w pierwszej kolejności? Wydaje mi się, że można to opisać na dwa sposoby: za pomocą gazu elektronowego opisanego przez @Agnius Vasiliauskas oraz struktury pasmowej. Nie ' nie widzę, jak się pokrywają
• @fruchti Dodałem więcej materiału. To naprawdę zbyt krótkie wprowadzenie do teorii pasm, ale mam nadzieję, że pomoże.

Jako nośniki ładunku dodatniego mogą być dziury i jony. Jeśli spojrzysz na pierwsze energie jonizacji metali:

Zobaczysz, że najmniejsza pierwsza energia jonizacji $ \ leq 5 \, \ text {eV} $ ma grupę metali alkalicznych :
lit (Li), sód (Na), potas (K), rubid (Rb), cez (Cs), frans (Fr).
Grupa metali ziem alkalicznych ma pierwszą energię jonizacji między $ (10 \, \ text {eV} \ geq E _ {\ text {jonizacja}} \ geq 5 \, \ text {eV}) $ . Do tej grupy należą:
beryl (Be) , magnez (Mg), wapń (Ca), stront (Sr ), bar (Ba), rad (Ra).
Niskie progi jonizacji metali alkalicznych i alkalicznych mogą być postrzegane jako dobre wsparcie dla większego stężenia wolnych elektronów w takich metalach, co oznacza większe stężenie ładunków dodatnich – dziury & jony w nich też, bo gdy atom jest zjonizowany – luźno sprzężony elektron zostaje z niego usunięty i staje się wolnym elektronem, a tym samym atom staje się jonem naładowanym dodatnio, lub inaczej – w miejscu, gdzie wcześniej był elektron, teraz jest dziura span class = „math-container”> $ 𝑒 ^ + _ Ø $ opłata.

EDYTUJ

Jeśli chodzi o to, dlaczego w tym przypadku głównym nośnikiem ładunku są ładunki dodatnie, – nie znam dokładnej przyczyny, ale moja fizyczna intuicja podpowiada to. Zgodnie z kinetyczną teorią gazów, oznacza wolny ścieżka cząstki jest zdefiniowana jako: $$ \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2 } p}} $$ Dla $ \ pi d ^ {2} $ możesz zacząć Pole przekroju poprzecznego zderzenia swobodnego elektronu z atomem. A ponieważ wolne elektrony tworzą gaz Fermiego, dla ciśnienia można przyjąć ciśnienie degeneracji elektronów, które wynosi: $$ p = {\ frac {(3 \ pi ^ {2}) ^ { 2/3} \, n ^ {5/3} \, \ hbar ^ {2}} {5m}} $$

gdzie $ n $ to gęstość liczby swobodnych elektronów.

Więc gdy gęstość liczbowa wzrasta (jak to się dzieje w tych łatwo jonizowalnych materiałach), wtedy wzrasta również ciśnienie zdegenerowanego gazu elektronowego. Wraz ze wzrostem ciśnienia gazu Fermiego średnia swobodna droga elektronów – maleje, co oznacza, że przy większych stężeniach elektronów znacznie trudniej jest im swobodnie się poruszać. Tak więc, ponieważ dziury są związane z atomem i nie są przedmiotem efektów rozpraszania atomów – bardziej równomiernie reagują na efekt Halla. Zgaduję, że to moje 2 centy.

Komentarze

• Czy możesz bardziej szczegółowo wyjaśnić, w jaki sposób większa koncentracja wolnych elektronów prowadzi do większej koncentracji dziur i jonów? Jeśli mamy ich dużo, dlaczego dziury transportują ładunki, a nie elektrony?
• ' zmodyfikowałem odpowiedź .
• Jeśli dobrze rozumiem twoje argumenty, przewidziałbyś dodatni współczynnik Halla dla metali alkalicznych? Ale to nie jest to, co zaobserwowano. Jestem również zdumiony, gdy czytam, że dziury są związane z atomem. Czy mógłbyś dokładniej wyjaśnić, co masz na myśli?
• Chodzi mi o to, że dziury nie są jak wolne elektrony. Wolne elektrony nie są związane z jakimś atomem, ale dziurami są , mogą poruszać się między atomami, ale nie mogą ' opuścić żadnego atomu, ponieważ z definicji dziura żyje w miejscu, w którym elektron był związany z atomem.
• Myślę, że to źle. A co z moim pierwszym komentarzem? Twoja odpowiedź implikuje dodatni współczynnik Halla dla metali alkalicznych?

Ziman oferuje rozwiązanie w „Elektronach w Metale: Krótki przewodnik po Fermi Surface ”, część III.

Krótka odpowiedź brzmi: „z powodu interakcji między elektronami a siatką”.

Oznacza to, że model swobodnych elektronów (prowadzący do sferycznej powierzchni Fermiego) nie jest w stanie wyjaśnić to zachowanie.

Nieco bardziej zawiła odpowiedź mogłaby brzmieć: Gdyby nie było interakcji między swobodnymi elektronami a siecią, powierzchnia Fermiego (określona przez $ E (\ vec k) $ ) byłaby idealną kulą, a prędkość elektronów przyczyniających się do przewodzenia byłaby równoległa do (kryształu) pędu $ \ vec k $ i jest zawsze normalny do powierzchni Fermiego.Jednak obecność sieci modyfikuje kształt powierzchni Fermiego (zniekształca ją) tak, że prędkość (quasi) elektronów, $ \ vec v (\ vec k) = \ frac {1} {\ hbar} \ nabla_ \ vec k E (\ vec k) $ , może ulec poważnym zmianom z powodu interakcji między elektronami a siatką, co powoduje, że mają one prędkość nierównoległą do kryształu pęd, ale wciąż prostopadły do powierzchni Fermiego.

Teraz, gdy pole elektryczne zostanie przyłożone prostopadle do pola magnetycznego (efekt Halla), elektrony będą pod działaniem siły Lorentza. Łącząc siłę Lorentza z powyższym wzorem na prędkość, można dojść do wniosku, że jest tak, jakby niektóre elektrony miały ujemną masę efektywną. Można je traktować jako „dziury”.

Argument ten można wykorzystać do wyjaśnienia, dlaczego Be, Zn, Cd, Sn i Pb wykazują dodatnie współczynniki Halla, mimo że są „metalami”.