Mój profesor powiedział mi ostatnio, że obszar jest wektorem. Wyszukiwarka Google dała mi następującą definicję wektora:
Rzeczownik: Wielkość mająca zarówno kierunek, jak i wielkość, zwł. jako określenie położenia jednego punktu w przestrzeni względem drugiego.
Moje pytanie brzmi – jaki jest kierunek pola? Mogę odnieść się do faktu, że prędkość jest wektorem. Na przykład prędkość poruszającego się motocykla ma określony kierunek, a także określoną wielkość, przy założeniu, że rower porusza się po linii prostej & nie przyspiesza.
Mój przyjaciel dał mi to wyjaśnienie kierunku wektora obszaru. Rozważmy prostokątną płaszczyznę w przestrzeni. Twierdził, że orientację płaszczyzny w przestrzeni można opisać jedynie rozważając obszar jako wektor &, a nie skalar.
Nadal nie byłem przekonany. Załóżmy, że płaszczyzna została umieszczona w taki sposób, że jej ściany są prostopadłe do kierunków, na przykład północ & południe. Teraz orientacja samolotu jest taka sama niezależnie , czy tak zwany wektor wskazuje na północ czy na południe. Dalej, jaki jest kierunek obszaru kuli?
Czy uznanie obszaru za wektor ma jakieś realne znaczenie? Proszę wyjaśnić.
Z góry dziękuję.
Komentarze
- Skoro to pytanie ma charakter matematyczny, czy byłoby właściwe do migracji do witryny matematycznej? Myślę, że większość pytań, które zasługują na tag ” matematyka ” (nie mylić z tagiem ” mathematical-physics „) są prawdopodobnie lepsze na matematyce.SE.
- @David Szczerze mówiąc, nie mogę wymyślić lepszego przykładu wyraźnego nakładania się fizyki i matematyka. Chociaż nie ' nie wątpię, że matematyka nie ' nie miała problemu z wektoryzacją obszaru, wydaje się, że chodzi o to, aby może być używany w jakimś fizycznym sensie. Zależy to również od tego, czy ' mówisz o powierzchniach różnicowych do integracji (tak jak myślę), to tak, ' d zgadzam się to ' to temat matematyczny. Ale co powiesz na użycie wektora obszaru dla pętli prądowej do obliczenia pola magnetycznego? To ' prawie na pewno jest materiałem fizycznym.
- Powiązane pytanie na Math.SE .
- wszystko, co wymaga więcej niż jednego skalara do pełnego opisania, jest podobne do wektora. Pytanie brzmi, w jakiej ramce znajduje się ten opis.
Odpowiedź
To może być bardziej matematyczne pytanie . To osobliwa rzecz w trójwymiarowej przestrzeni. Zauważ, że w trzech wymiarach obszar taki jak płaszczyzna jest dwuwymiarową podprzestrzenią. Na kartce papieru potrzebujesz tylko dwóch liczb, aby jednoznacznie oznaczyć punkt.
Teraz wyobraź sobie, że stoisz na kartce papieru, a kierunek, w który wskazuje twoja głowa, zawsze będzie sposobem na sprawdzenie, jak ta płaszczyzna jest zorientowana w kosmosie. Nazywa się to wektorem „normalnym” do tej płaszczyzny, jest on ustawiony pod kątem prostym do płaszczyzny.
Jeśli teraz wybierzesz konwencję, aby długość tego wektora normalnego była równa powierzchni tej powierzchni otrzymasz pełny opis płaszczyzny dwuwymiarowej, jej orientację w przestrzeni trójwymiarowej (część wektorową) i wielkość tej płaszczyzny (długość tego wektora).
Matematycznie możesz to wyrazić przez „iloczyn krzyżowy” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$, którego wielkość jest zdefiniowana jako $ | c | = | a || b | sin \ theta $ co jest równe powierzchni równoległoboku rozpiętości wektorów (które naprawdę definiują płaszczyznę). Aby ukraść to zdjęcie z artykułu Wikipedii na temat produktu krzyżowego:
Jak powiedziałem na początku jest to bardzo szczególna rzecz dla trzech wymiarów, w wyższych wymiarach nie działa tak dobrze z różnych powodów. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na ten temat, słowem kluczowym byłoby „algebra zewnętrzna”
Aktualizacja:
Jeśli chodzi o fizyczne znaczenie tej koncepcji, wybitnymi przykładami są pola wektorowe przepływające przez powierzchnie. Weź okrągły drut. Ten okrąg można zorientować na różne sposoby w 3D. Jeśli masz zewnętrzne pole magnetyczne, możesz wiedzieć, że może ono indukować prąd elektryczny, proporcjonalny do szybkości zmiany ilości przepływającej przez okrąg (pomyśl o tym, jak bardzo strzałki przebijają ten obszar). Jeśli wektory pola magnetycznego są równoległe do koła (a więc prostopadłe do jego wektora normalnego), to w ogóle nie „perforują” tego obszaru, więc przepływ przez ten obszar wynosi zero.Z drugiej strony, jeśli wektory pola są prostopadłe do płaszczyzny (tj. Równoległe do normalnej), obszar ten jest maksymalnie „perforowany”, a przepływ jest maksymalny.
jeśli zmienisz orientację między nimi dwa stany, w których można uzyskać prąd elektryczny.
Komentarze
- +1 za wzmiankę o polach magnetycznych. Nie wszystkie wektory powierzchni używane w fizyce są różnicowe.
- Dzięki. Tylko kilka wyjaśnień. Poprosiłeś mnie, abym wyobraził sobie osobę stojącą na papierze &, uważając kierunek jego głowy za reprezentujący wektor normalny. Ale przypuśćmy, że ta osoba stała dokładnie po przeciwnej stronie, a następnie wygrała ' czy orientacja papieru pozostanie taka sama? Ale teraz kierunek wektora jest w przeciwnym kierunku. Proszę wyjaśnić.
- Po drugie, powiedziałeś, że ta koncepcja ' nie działa tak dobrze w wyższych wymiarach. Czy to oznacza, że moje pytanie dotyczące kierunku obszaru ' kuli jest nieprawidłowe? Jeśli tak, to czy obszar jest skalarem w tym konkretnym przypadku, skoro traktowanie go jako wektora nie może określić jego orientacji w przestrzeni?
- co ' sprawia, że nie jesteś zadowolony ?
- To ' nie jest satysfakcjonujące, ponieważ chociaż axb jest wektorem, | axb |, czyli obszar, jest skalarem, więc nie jest przekonujące, że obszar jest wektor.
Odpowiedź
Głównym reżimem użycia jest sytuacja, w której obszar jest nieskończenie mały, tak jak używać w całce. W takim przypadku możemy łatwo zobaczyć, że jest płaski, a kształt tak naprawdę nie ma znaczenia. W takim przypadku możemy zakodować informacje jako wektor, którego wielkość reprezentuje obszar (skalarny); wybór (tak jak ty zauważone) wskazania dowolnej strony jest dokładnie tym – wyborem – ale takim, którego można dokonać konsekwentnie. Możemy rozszerzyć to na płaszczyzny niekończenie małe, ale nie działa to dobrze w przypadku zakrzywionych powierzchni.
Mówiąc dokładniej, to, czego naprawdę chcesz, to współwektor . To abstrakcyjny gadżet, który pobiera wektor i wypluwa skalar. W przypadku płaszczyzny chcesz, aby reprezentował on „wielkość” wektora, który przechodzi przez płaszczyznę – więc powinien być liniowy w wektorze (podwojenie wektora podwaja wynik) i powinien uwzględniać kąt, pod którym wektor go uderza (daje współczynnik $ \ cos $). Teraz możemy zadać pytanie, jak reprezentować ten abstrakcyjny współwektor i okazuje się, że wektor to dobry pomysł! W szczególności możemy przedstawić akcję jako iloczyn skalarny, który w naturalny sposób koduje liniowość i cosinus. Ogólnie rzecz biorąc, zdarza się, że ma taką samą liczbę wymiarów jak właściwy wektor, ale to koduje tylko obszar (powierzchnię 2D) w 3D – w 2D otrzymamy linię, w 4D objętość (tak! Czterowektor przecina objętość w jednym punkcie!).
Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej na ten temat, zechcesz zbadać geometrię różniczkową, gdzie wszystko jest konieczne, aby mieć jasność co do tego rodzaju rzeczy i nie mieszać wektorów i współwektorów (nazywanych formularze w tym polu). Dobrze czytelnym odniesieniem jest Pola miernika, węzły i grawitacja , które rozpoczyna się od podstawowego przeglądu matematyki i rozwija ją do użytku fizycznego.
Komentarze
- W kontekście teorii pola, na przykład elektromagnetyzmu, pojęcie ” ilości wektora (pola ) przechodzący przez segment płaszczyzny ” otrzymuje nazwę strumień . Możesz więc myśleć o obszarze jako charakteryzującym się funkcją, która odwzorowuje wektory (lub pole wektorowe) na strumień tego wektora (pola) przez obszar.
- @luksen książka, o której wspomniał, jest dobra na jakim poziomie wiedzy matematycznej i fizycznej? Mówiąc inaczej, jakie są warunki wstępne, aby zacząć efektywnie śledzić książkę? Czy jest to książka dla absolwentów czy studentów?
Odpowiedź
Pomyśl o Siła to Nacisk razy Pole ($ F = P \ cdot A $). Wiesz, że ciśnienie jest skalarem (nie ma z nim powiązanego kierunku), a siła jest wektorem (działa wzdłuż osi). Więc co to oznacza dla ciśnienia.
Weź mały obszar i zobacz, jak wpływa on na całkowitą siłę spowodowaną ciśnieniem
$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$
Kierunek siły jest normalny do powierzchni, a jej wielkość jest proporcjonalna do wielkości powierzchni. Dlatego nieskończenie mały obszar $ {\ rm d} A $ może być wektorem. Wygodne jest pomyśleć o (wektor) = (skalar) * (wektor).
Odpowiedź
Jest szczególnie malowniczy przykład Prawa Pitagorów w trzech wymiarach zastosowanego do obszarów simplexu. (Gdzie „simplex”, jak sądzę, mam na myśli fragment przestrzeni ograniczony trzema ortogonalnymi płaszczyzny i jedną dowolną płaszczyznę.) Suma kwadratów (pól) trzech małych ścianek jest równa kwadratowi powierzchni ukośnej ściany. Można to łatwo wytłumaczyć argumentami typu ciśnienie / przepływ przedstawione w innych zamieszczonych tutaj odpowiedziach, a także oczywistym stanem fizycznym, że niezakłócony płyn jest w równowadze ze sobą.