Wiadomo, że standardowy wielowymiarowy most Browna $ y (\ mathbf u) $ jest wyśrodkowanym procesem Gaussa z funkcją kowariancji $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Nie jestem pewien, jak zbudować taki wielowymiarowy most Browna.
Moją pierwszą myślą było jakoś zacząć od jednowymiarowego mostka Browna. Znalazłem informacje na ten temat, a nawet pakiet w R, który może to zrobić, ale tylko dla jednowymiarowego mostka Browna.
Znalazłem to ale jak rozumiem to co tam zostało zrobione nie ma standardowego wielowymiarowego mostka Browna jak zdefiniowano powyżej czy np. w tym artykule .
Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki i wsparcie.
Komentarze
- Jak dowiedziałem się w artykule Deheuvels link , istnieje następująca zależność między Mostkiem Browna $ B_t $ a Arkuszem Browna (lub Arkuszem Wienera) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Więc myślę, że problem sprowadza się do symulacji arkusza Browna. Zadam pytania na ten temat w osobnym pytaniu.
- poprawka, zależność dla większej liczby wymiarów to $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Powiązane: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Odpowiedz
Jak już wskazałeś w komentarzach pytanie sprowadza się do symulacji arkusza Browna. Można to zrobić poprzez uogólnienie symulacji ruchów Browna w prosty sposób.
Aby zasymulować ruchy Browna, można przyjąć i.i.d. mean-0 variance-1 time series $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ i utwórz znormalizowany proces sumy częściowej $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Ponieważ $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ konwergencja słaba (w sens miar prawdopodobieństwa Borela w przestrzeni metrycznej) do standardowego $ B $ Browna w przestrzeni Skorohoda $ D [0 , 1] $ .
Iid ze skończonym przypadkiem w drugim momencie jest najprostszym sposobem symulacji. Wynik matematyczny (Funkcjonalne centralne twierdzenie graniczne / twierdzenie Donskera / zasada niezmienności) zachowuje znacznie większą ogólność.
Teraz, aby zasymulować (powiedzmy, dwuwymiarowy) arkusz Browna, przyjmuje iid średnią-0 wariancję -1 tablica $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ i utwórz znormalizowany proces sumy częściowej $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Jako $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ zbieżność słabo do standardowego arkusza Browna w przestrzeni Skorohoda $ D ([0,1] ^ 2) $ na kwadracie jednostkowym .
(Dowodem jest standardowy argument o słabej zbieżności:
-
Zbieżność skończonego rozkładu wymiarowego wynika z CLT Levyego-Lindeberga.
-
Szczelność na $ D ([0,1] ^ 2) $ wynika z warunku wystarczającego momentu, który zachodzi trywialnie w i.i.d. przypadek skończonej drugiej chwili — patrz np. Bickel i Wichura (1971). )
Następnie za pomocą twierdzenia o mapowaniu ciągłym $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ zbiegają się słabo do dwuwymiarowego mostka Browna.