Twierdzenie o superpozycji
„ Twierdzenie o superpozycji dla obwodów elektrycznych stwierdza, że dla układu liniowego odpowiedź (napięcie lub prąd) w dowolnej gałęzi dwustronnego obwodu liniowego mającego więcej niż jedno niezależne źródło jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi wywołanych przez każde niezależne źródło działające samodzielnie, gdzie wszystkie inne niezależne źródła są zastąpione ich wewnętrznymi impedancjami . „

Jakie rodzaje obwodów można rozwiązać przez superpozycję?

Obwody złożone z któregokolwiek z poniższych elementów można rozwiązać za pomocą twierdzenia o superpozycji

• Niezależne źródła
• Liniowe elementy pasywne – rezystor, kondensator i cewka
• Transformator
• Liniowe źródła zależne

Jakie kroki należy wykonać, aby rozwiązać obwód za pomocą twierdzenia o superpozycji?

Postępuj zgodnie z algorytmem:

1. Odpowiedź = 0;
2. Wybierz pierwsze niezależne źródło.
3. Zastąp wszystkie niezależne źródła w oryginalnym obwodzie z wyjątkiem wybranego źródła jego wewnętrzną impedancją.
4. Oblicz wielkość (napięcie lub prąd ) i dodaj do odpowiedzi.
5. Zakończ, jeśli było to ostatnie niezależne źródło. W przeciwnym razie Przejdź do kroku 3 z wyborem następnego źródła.

Wewnętrzna impedancja źródła napięcia wynosi zero, a źródła prądu – nieskończoność. Więc zamień źródło napięcia na zwarcie, a źródło prądu na obwód otwarty podczas wykonywania kroku 3 powyższego algorytmu.

Jak traktowane są różne rodzaje źródeł, gdy rozwiązywać przez superpozycję?

Niezależne źródła należy traktować tak, jak wyjaśniono powyżej.

W przypadku źródeł zależnych nie dotykaj ich.

Nałożenie ma zastosowanie tylko wtedy, gdy mają system czysto liniowy, tj .:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

W kontekście analizy obwodu obwód musi składać się z liniowych elementy (kondensatory, cewki indukcyjne, transformatory liniowe i rezystory) z niezależnymi źródłami N, a to, co rozwiązujesz, musi być albo napięciem, albo prądem. Pamiętaj, że możesz zastosować narzucone rozwiązanie dotyczące napięcia / prądu, aby znaleźć inne wielkości, nie są liniowe (np. moc rozpraszana w rezystorze), ale nie można nałożyć (dodać) nieliniowych wielkości, aby znaleźć rozwiązanie dla większego systemu.

Na przykład weźmy pojedynczy rezystor i spójrz na prawo Ohma (używam U i J odpowiednio dla napięcia / prądu, bez szczególnego powodu) i zobacz, jaki wpływ ma prąd ze źródła \ $ i \ $ wpływa na napięcie:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Więc mogę znaleźć napięcie na rezystorze przez zsumowanie obecnego wkładu z każdego źródła niezależnie od jakiegokolwiek innego źródła . Podobnie, aby znaleźć prąd przepływający przez rezystor:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Jednak jeśli zacznę patrząc na moc, superpozycja już nie obowiązuje:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Ogólny proces rozwiązywania obwód wykorzystujący superpozycję to:

1. Dla każdego źródła \ $ i \ $, zamień wszystkie inne źródła na ich równoważne źródło zerowe, tj. źródła napięcia stają się 0V (zwarcia), a źródła prądowe stają się 0A ( obwody otwarte). Znajdź rozwiązanie \ $ F_i \ $, dla wszelkich niewiadomych, którymi jesteś zainteresowany.
2. Ostateczne rozwiązanie to suma wszystkich rozwiązań \ $ F_i \ $.

Przykład 1

Weź ten obwód z dwóch źródeł:

^{symuluj ten obwód – Schemat utworzony za pomocą CircuitLab}

Chcę znaleźć bieżące J przepływające przez R1.

Wybierz V1 jako źródło 1 i I1 jako źródło 2.

Rozwiązując \ $ J_1 \ $, obwód staje się:

^{zasymuluj ten obwód}

Więc wiemy, że \ $ J_1 = 0 \ $.

Teraz rozwiązując dla \ $ J_2 \ $ obwód staje się:

^{zasymuluj ten obwód}

Więc możemy znaleźć, że \ $ J_2 = I_1 \ $.

Stosując superpozycję, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Przykład 2

^{symuluj th to obwód}

Teraz interesuje mnie prąd płynący przez R4 \ $ J \ $. Postępując zgodnie z ogólnym procesem opisanym wcześniej, jeśli oznaczę V1 jako źródło 1, V2 jako źródło 2 i I1 jako źródło 3, znajdę:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Zatem ostateczne rozwiązanie to: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Siła superpozycji polega na zadaniu pytania „co jeśli chcę dodać / usunąć źródło?” Powiedzmy, chcę dodać bieżące źródło I2:

^{zasymuluj ten obwód}

Zamiast zaczynać od początku, jedyne, co muszę teraz zrobić, to znaleźć rozwiązanie dla mojego nowego źródła I2 i dodać je do moje stare rozwiązanie: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Komentarze

• Mam kilka komentarzy, które mam nadzieję będą przydatne: 1. Uważam, że używam U i J są nieco zagmatwane, V i ja jesteśmy lepsi; 2. Pierwsze równanie dla U nie powinno być sumowaniem, ponieważ jest ' s dla i ' samego źródła; 3. Uważam, że pozostałe sumowania należy wziąć od i = 1 do N, a nie od i do N; 4. Superpozycja w teorii obwodów jest używana tylko dla prądu i napięcia, więc omówienie mocy przeniósłbym w dalszej części tekstu; 5. W przykładzie następującym po prostym z I1 i R1, czy nie ' t J3 = -I1 (…), ponieważ I1 działa w kierunku przeciwnym do J3?
• 1. Zdecydowałem się użyć U i J, ponieważ oznaczyłem moje źródła etykietami V i I, a nie ' nie chciałem zamieszania spowodowanego przez \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Wyraźnie określam, kim są U i J w nadziei na ograniczenie nieporozumień. 2. Tak, sprecyzowałem, czym jest zmienna sumująca i indeks początkowy. 4. Moim pomysłem było umieszczenie wszystkich podstawowych informacji na temat teorii superpozycji przed przykładami. Wyjaśniłem sekcje z przykładami, aby oddzielić te dwa elementy. 5. Tak, to był mój błąd.