Mam pytanie dotyczące modelu Black Model z 1976 roku i modelu Bacheliera.
Wiem, że geometryczny ruch Browna w takcie P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ za cenę akcji $ S_ {t} $ prowadzi (po zmianie miary) do Black- Wzór Scholesa na wezwanie:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Gdzie $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ i $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Właściwie nie wiem, jak można uzyskać słynną czarną formułę kontrakt terminowy:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
gdzie teraz $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ i $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Czy powinienem po prostu wstawić $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ w pierwszym BS formuła, aby otrzymać drugą?
Pytam o to, ponieważ próbowałem wyprowadzić wzór BS za pomocą arytmetycznego ruchu Browna, takiego jak $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a i otrzymam:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
gdzie $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ i $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ i pamiętając, że $ N (d) $ i $ n (d) $ to CDF i PDF.
ale poprzednie podstawienie $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ nie „t wydaje się prowadzić do znanego wyniku $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
gdzie teraz $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Myślę, że mógłbym dojść do równań na przód zarówno w geometrycznym ruchy Browna i arytmetyczne ruchy Browna przy użyciu równań
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ i $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $, ale ja nie ” wiem, jak uzasadnić ich użycie.
Komentarze
- @Macro Witamy w Quant. S.E.! Czy chcesz wycenić tylko kontrakt forward lub opcję kontraktu forward?
- Cześć Neeraj, dziękuję za odpowiedź. ' Chciałbym wycenić opcję kontraktu terminowego!
- Po prostu zastąp $ S_0 $ $ F e ^ {- rT} $ w oryginalnej formule BS lub możesz zastosować podejście neutralne pod względem ryzyka. Obie prowadzą do tej samej formuły wyceny.
- OK, dziękuję. Ale czy mogę zrobić to samo dla ABM? Ponieważ nie mogę ' uzyskać wyniku, gdy dokonam tej zamiany.
Odpowiedź
Opcja europejska w przyszłości
Aby wycenić opcję europejską w przyszłości, wystarczy zamienić $ S_0 $ na $ Fe ^ {- rT} $ w oryginalnej formule BS lub możesz zastosować podejście neutralne pod względem ryzyka. Obie prowadzą do tej samej formuły wyceny.
Opcja amerykańska na przyszłość
Powyższa procedura nie może być stosowana do wyceny opcji amerykańskiej na przyszłość. W artykule Wycena opcji na kontrakty terminowe autorstwa Ramaswamy stwierdził, że
Nie jest znane analityczne rozwiązanie wyceny opcji amerykańskiej na kontrakt terminowy.
Autorzy zastosowali metodę ukrytych różnic skończonych do wyceny opcji amerykańskiej na kontrakcie przyszłym.
Edycja: Wyprowadzenie ceny opcji europejskiej dla kontraktu terminowego
W ramach środka neutralnego pod względem ryzyka, przyszła cena, F_t $ spełniają następujące SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ gdzie, $ W_t $ jest procesem Wienera. Można łatwo wykazać, że: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Cena opcji na przyszłą umowę $ (C_t) $ poniżej miarą neutralności ryzyka jest: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Możesz łatwo rozwiązać powyższe wyrażenie, aby otrzymać cenę opcji zapisaną na przyszłość. Dystrybucja $ F_T $ jest bardzo podobna do $ S_T $ (zobacz tę odpowiedź) . Jeśli zastąpisz $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , otrzymasz ten sam rozkład $ S_T $ jako środek neutralności ryzyka. To jest powód, aby uzyskać cenę opcji na przyszłość, zamieniamy $ S_t $ na $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ w modelu BS ceny opcji kupna w Europie.
Komentarze
- Cześć Neeraj, właściwie ja ' chciałbym wycenić opcję europejską zaczynając od ABM.
- @Marco sprawdź odpowiedź edycji.
Odpowiedź
Oto prosty sposób na uzyskanie ceny połączenia na podstawie ceny forward przy użyciu wyceny neutralnej pod względem ryzyka.
Załóżmy, że mamy połączenie europejskie, które jest opłacalne pod adresem $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , gdzie $ T ^ * \ geq T $ . Dalej załóżmy, że stopy procentowe są stałe i są reprezentowane przez „ $ r $ ”. Niech $ c ^ {For} (t, s) $ będzie ceną połączenia, gdzie $ S (t) = s $ .
Następnie, jeśli akcje nie przynoszą dywidend:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , przez replikację można to pokazać, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ i
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)}) – K) ^ + | S (t) = s] $
Powinieneś od razu zauważyć, że stopy procentowe są stałe, a więc deterministyczne, możemy wyciągnąć matematykę „ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” nieoczekiwany termin:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Zatem jest to teraz proporcjonalne do ceny wywołania Czarnego Scholesa z uderzeniem $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , gdzie $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
także:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
To jest „słynna czarna formuła kontraktu forward”. Mam nadzieję, że to pomoże!
Należy pamiętać, że cena terminowa i cena kontraktu terminowego to nie to samo. Cena kontraktu forward w czasie 0 wynosi 0, ale może ulec zmianie, cena terminowa to cena, którą zgadzasz się zapłacić przy dostawie.
Jeśli jesteś ciekawy, co by to było, gdyby było to wezwanie cena futures zamiast wezwania na cenę terminową, twierdzę, że jeśli cena aktywów nie jest skorelowana ze stopą procentową, to są one takie same, w przeciwnym razie doszłoby do arbitrażu (przy założeniu braku ryzyka kontrahenta itp.). Zachęcam was do spróbowania i pokazania tego.
(PS Wobec odpowiedzi poprzednich komentatorów na temat braku formuły dla opcji amerykańskiej na cenę terminową, to nie powstrzymuje nas przed użyciem Monte Carlo!)