Jaka jest definicja rozkładu symetrycznego? Ktoś powiedział mi, że zmienna losowa $ X $ pochodzi z rozkładu symetrycznego wtedy i tylko wtedy, gdy $ X $ i $ -X $ ma ten sam rozkład, ale myślę, że ta definicja jest częściowo prawdziwa, ponieważ mogę przedstawić kontrprzykład $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ i $ \ mu \ neq0 $. Oczywiście ma rozkład symetryczny, ale $ X $ i $ -X $ mają inny rozkład! Czy mam rację? Czy kiedykolwiek zastanawialiście się nad tym pytaniem? Jaka jest dokładna definicja dystrybucji symetrycznej?
Komentarze
- Kiedy mówisz, " dystrybucja jest symetryczna ", musisz określić, w jakim punkcie jest symetryczny. W przypadku przedstawionego przez ciebie rozkładu normalnego symetria jest podana około $ \ mu $. W tym przypadku $ X- \ mu $ i $ – (X- \ mu) $ mają ten sam rozkład. Jeśli chodzi o gęstość, można to wyrazić jako: $ f $ jest symetryczne około $ \ mu $, jeśli $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. Przy okazji, dobrze jest przyjmować odpowiedzi, gdy jesteś zadowolony z jednej z nich.
- Tak, pomyśleliśmy o tym pytaniu. Symetryczny ogólnie oznacza symetryczny około 0 $ i, aby uniknąć dalszych kontrprzykładów, twierdzenie, że dystrybucje są symetryczne , nie jest prawdą o skumulowanej funkcji rozkładu prawdopodobieństwa . Twój " countererexample " ma symetrię dotyczącą punktu $ \ mu \ neq 0 $, a nie punktu $ 0 $.
- @Dilip Gdy definicja zależy od jednego ze sposobów opisania czegoś, ale można wykazać, że jest ona wewnętrzną właściwością tego czegoś, wówczas nie ma sensu stosować definicji do innego forma opisu. W tym przypadku symetria jest właściwością dystrybucji , ale nie oznacza to, że wszystkie opisy tej dystrybucji (w tym PDF i CDF) muszą mieć format " symetryczny " w ten sam sposób. Stosując symetrię pliku PDF do CDF, Twój komentarz wprowadza zamieszanie w pytaniu, zamiast go wyjaśniać.
- shijing, @Procrastinator zauważył, że zadałeś wiele pytań, nie przyjmując żadnych odpowiedzi. To sugeruje, że możesz nie wiedzieć, jak działa ta witryna. Aby wyjaśnić wszelkie nieporozumienia, prosimy o przeczytanie odpowiedniej części naszych często zadawanych pytań do końca ? Zajmie to tylko kilka minut, a stosowanie się do jego wskazówek zwiększy wartość naszej witryny dla Ciebie.
- @whuber CDF jest jednym z niewielu opisów, w których słowo dystrybucja faktycznie występuje w nazwie, a ja próbowałem wyjaśnić, że właściwość symetrii nie zachowała się w przypadku CDF.
Odpowiedź
Pokrótce: $ X $ jest symetryczne, gdy $ X $ i $ 2aX $ mają ten sam rozkład dla pewnej liczby rzeczywistej $ a $. Ale dojście do tego w pełni uzasadniony sposób wymaga pewnych dygresji i uogólnień, ponieważ rodzi wiele ukrytych pytań: po co ta definicja” symetrii „? Czy mogą istnieć inne rodzaje symetrii? Jaki jest związek między rozkładem a jego symetriami i odwrotnie, jaki jest związek między „symetrią” a dystrybucjami, które mogą mieć tę symetrię?
Symetrie, o których mowa, są odzwierciedleniem prawdziwa linia. Wszystkie mają postać
$$ x \ do 2a-x $$
dla jakiejś stałej $ a $.
Załóżmy, że $ X $ ma ta symetria dla co najmniej jednego $ a $. Wtedy symetria implikuje
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
pokazujące, że $ a $ to mediana z $ X $. Podobnie, jeśli $ X $ ma oczekiwanie, to natychmiast wynika, że $ a = E [X] $. W ten sposób zwykle możemy łatwo ustalić $ a $. Nawet jeśli nie, $ a $ (a tym samym sama symetria) jest nadal jednoznacznie określana (jeśli w ogóle istnieje).
Aby to zobaczyć, niech $ b $ będzie dowolnym środkiem symetrii. Następnie stosując obie symetrie widzimy, że $ X $ jest niezmienne pod tłumaczeniem $ x \ do x + 2 (b-a) $. Jeśli $ b-a \ ne 0 $, rozkład $ X $ musi mieć okres $ b-a $, co jest niemożliwe, ponieważ całkowite prawdopodobieństwo rozkładu okresowego wynosi 0 $ lub jest nieskończone. Zatem $ ba = 0 $, pokazując, że $ a $ jest unikalne.
Mówiąc bardziej ogólnie, kiedy $ G $ to grupa działająca wiernie na rzeczywistej linii (a co za tym idzie na wszystkich jej podzbiorach borelowskich), możemy powiedzieć, że rozkład $ X $ jest „symetryczny” (w odniesieniu do $ G $), gdy
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
dla wszystkich mierzalnych zbiorów $ E $ i elementów $ g \ in G $, gdzie $ E ^ g $ oznacza obraz $ E $ pod działaniem $ g $.
Na przykład niech $ G $ nadal będzie grupą zamówienia $ 2 $, ale teraz niech jego działaniem będzie odwrotność liczby rzeczywistej (i niech naprawi 0 $). Standardowy rozkład lognormalny jest symetryczny względem tej grupy. Ten przykład można rozumieć jako przykład symetrii odbicia, w którym nastąpiło nieliniowe ponowne wyrażenie współrzędnych. Sugeruje to skupienie się na transformacjach, które szanują „strukturę” rzeczywistej linii. Struktura istotna dla prawdopodobieństwa musi być powiązana ze zbiorami Borela i miarą Lebesguea, z których oba można zdefiniować za pomocą (euklidesowej) odległości między dwoma punktami.
mapa jest z definicji izometrią . Jest dobrze znane (i łatwe, choć trochę skomplikowane, do zademonstrowania), że wszystkie izometrie linii rzeczywistej są generowane przez odbicia. Stąd, kiedy zrozumie się, że „symetryczny” oznacza symetryczny w odniesieniu do jakiejś grupy izometrii , grupa musi być wygenerowana przez co najwyżej jedno odbicie i widzieliśmy, że odbicie jest jednoznacznie określone przez dowolny rozkład symetryczny względem niego. W tym sensie powyższa analiza jest wyczerpująca i uzasadnia zwykłą terminologię dystrybucji „symetrycznych”.
Nawiasem mówiąc, wiele przykładów wielowymiarowych rozkładów niezmiennych w grupach izometrii uzyskuje się, biorąc pod uwagę rozkłady „sferyczne”. Są one niezmienne we wszystkich obrotach (względem pewnego stałego środka). Uogólniają one przypadek jednowymiarowy: „obroty” rzeczywistej linii to tylko odbicia.
Na koniec warto zwrócić uwagę, że standardowa konstrukcja – uśrednianie nad grupą – ustępuje do tworzenia ładunków o rozkładach symetrycznych. W przypadku prostej rzeczywistej niech $ G $ zostanie wygenerowane przez odbicie na punkcie $ a $, tak aby składało się z elementu tożsamości $ e $ i tego odbicia $ g $. Niech $ X $ będzie dowolną dystrybucją. Zdefiniuj rozkład $ Y $, ustawiając
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
dla wszystkich zestawów borelowskich $ E $. Jest to ewidentnie symetryczne i łatwo jest sprawdzić, czy pozostaje rozkładem (wszystkie prawdopodobieństwa pozostają nieujemne, a całkowite prawdopodobieństwo wynosi 1 $).
Ilustrując proces uśredniania grupowego, plik PDF z symetryzowanym rozkładem Gamma (wyśrodkowanym przy $ a = 2 $) jest przedstawiony na złoto. Oryginalna wartość Gamma jest na niebiesko, a jej odbicie na czerwono.
Komentarze
- (+1) Chciałbym dodać, że w ustawieniu wielowymiarowym definicja symetrii nie jest unikalna. W tej książce jest 8 możliwych definicji symetrycznych dystrybucji wielowymiarowych.
- @Procrastinator I ' Ciekawi mnie, co masz na myśli, mówiąc " nieuniknione. " AFAIK, cokolwiek uzasadniającego nazwę " symetria " ostatecznie odnosi się do działania grupowego w przestrzeni. Byłoby interesujące aby zobaczyć, jakie rodzaje działań uznali statystycy za przydatne. Ponieważ ta książka została wyczerpana i niedostępna w Internecie, czy możesz podać krótki przykład dwóch naprawdę różnych rodzajów symetrii rozważanych w tej książce?
- Twoja intuicja jest poprawna, jest to związane z funkcjami statystycznymi : Centralna symetria $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Symetria sferyczna $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ dla wszystkich macierzy ortogonalnych $ {\ bf O} $. Reszty nie pamiętam, ale w te dni spróbuję pożyczyć książkę. W tym linku możesz znaleźć niektóre z nich.
- @Procrastinator Thanks. Zauważ, że dwa przykłady, które oferujesz, są przypadkami specjalnymi z ogólnej definicji, którą podałem: centralna symetria generuje dwuelementową grupę izometrii, a symetrie sferyczne są również podgrupą wszystkich izometrii. " symetria eliptyczna " w łączu to symetria sferyczna po transformacji afinicznej, a więc stanowi przykład zjawiska, na które wskazałem, z wartością lognormal przykład. " symetrie kątowe " ponownie tworzą grupę izometrii. " symetria półprzestrzeni " [sic] nie jest symetrią, ale pozwala na dyskretne odejścia od niej: ' s nowy.
Odpowiedź
Odpowiedź będzie zależeć od tego, co rozumiesz przez symetria. W fizyce pojęcie symetrii ma fundamentalne znaczenie i stało się bardzo ogólne. Symetria to każda operacja, która pozostawia system niezmieniony.W przypadku rozkładu prawdopodobieństwa można to przełożyć na dowolną operację $ X \ do X „$, która zwraca to samo prawdopodobieństwo $ P (X) = P (X”) $.
W prostym przypadku pierwszego przykładu masz na myśli symetrię odbić dotyczącą maksimum. Gdyby rozkład był sinusoidalny, mógłby istnieć warunek $ X \ do X + \ lambda $, gdzie $ \ lambda $ jest długością fali lub okresem. Wtedy $ P (X) = P (X + \ lambda) $ i nadal pasowałoby do bardziej ogólnej definicji symetrii.