Jaki jest potencjał?

Potencjał elektryczny i energia potencjalna to dwa różne pojęcia, ale są one ze sobą ściśle powiązane. Rozważmy ładunek elektryczny $ q_1 $ w pewnym momencie $ P $ bliski ładunku $ q_2 $ (załóżmy, że ładunki mają przeciwne znaki).
Teraz, jeśli uwolnimy ładunek $ q_1 $ przy $ P $, zacznie on zmierzać w kierunku ładuje q_2 $, a więc ma energię kinetyczną. Energia nie może pojawić się za pomocą magii (nie ma darmowego obiadu), więc skąd ona pochodzi? Pochodzi z potencjalnej energii elektrycznej $ U $ związanej z atrakcyjną „konserwatywną” siłą elektryczną między dwoma pęknięciami. Aby uwzględnić energię potencjalną $ U $, definiujemy potencjał elektryczny $ V_2 $, który jest ustawiony w punkcie $ P $ przez opłatę $ q_2 $.

Potencjał elektryczny istnieje niezależnie od tego, czy $ q_1 $ jest w punkcie $ P $. Jeśli zdecydujemy się umieścić tam ładunek $ q_1 $, energia potencjalna tych dwóch ładunków będzie wtedy ładować się $ q_1 $, a istniejący wcześniej potencjał elektryczny $ V_2 $ tak, że:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Możesz użyć tego samego argumentu, jeśli weźmiesz pod uwagę zmianę $ q_2 $, w takim przypadku energia potencjalna jest taka sama i jest podane przez: $$ U = q_2V_1 $$

W języku rachunku wektorowego:

Słowo potencjał jest zwykle używane do oznaczenia funkcji, która po zróżnicowaniu w specjalny sposób daje pole wektorowe. Te pola wektorowe, które powstają z potencjałów, nazywane są konserwatywnymi . Biorąc pod uwagę pole wektorowe $ \ vec F $, następujące warunki są równoważne:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ za każdą zamkniętą pętlę $ C $ (stąd nazwa „konserwatywny”)

Funkcja $ \ phi $ występująca w $ (2) $ nazywana jest potencjałem $ \ vec F. $ Więc każde irrotacyjne pole wektorowe można zapisać jako gradient potencjalnej funkcji.

Szczególnie w elektromagnetyzmie, prawo Faradaya mówi nam, że $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ części \ vec B} {\ częściowe t} $. Dla pól magnetycznych, które nie zmieniają się w czasie (elektrostatyka) otrzymujemy, że $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $, a zatem $ \ vec E = – \ nabla V $ gdzie $ V $ jest potencjałem $ \ vec E $. To jest dokładnie to, co nazywamy potencjałem elektrycznym lub „napięciem”, jeśli nie jesteś fizykiem. W przypadku elektrodynamiki, gdzie $ \ frac {\ part \ vec B} {\ part t} \ neq 0 $ pojęcie potencjału elektrycznego nadal istnieje, ponieważ możemy rozbić pole elektryczne na sumę pola irrotacyjnego i solenoidalnego (nazywa się to twierdzeniem Helmholtza). Następnie możemy użyć równań Maxwella, aby otrzymać to $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ Partial \ vec A} {\ Partial t} $ gdzie $ V $ to ten sam potencjał elektryczny i $ \ vec A $ jest polem wektorowym, które nazywamy potencjałem wektorowym .

Przypadek grawitacji jest analogiczny. Jeśli $ \ vec g $ jest nierotacyjnym polem grawitacyjnym (co zawsze ma miejsce grawitacji Newtona), a następnie $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ gdzie $ \ phi $ jest potencjałem grawitacyjnym. Jest to ściśle związane z energią potencjalną grawitacji, ponieważ masa $ m $ umieszczona w polu grawitacyjnym $ \ vec g $ będzie miał energię potencjalną $ U = m \ phi $.

Komentarze

• +1 dla szczegółowej odpowiedzi. Jednak warunki 1. i 3 . nie są generalnie równoważne. Możliwe jest posiadanie takiego pola wektorowego, że $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ i $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Zobacz instancja Dlaczego to pole wektorowe jest wolne od zawijania? .
• @Diracology Dobra uwaga. Musimy wymagać, aby $ \ vec F $ robi n nie rozchodzą się w jakimś obszarze ograniczonym przez $ C $. Ogólnie zakładając, że 1. jest prawdą, mamy, że $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ gdzie $ S $ to jakaś powierzchnia z granicą $ C $, a pierwsza równość pochodzi od Stoke ' twierdzenie s. Oczywiście, jeśli $ \ vec F $ różni się od $ S $, napotkamy pewne problemy z tymi równościami.