Jakie jest fizyczne znaczenie funkcji podziału w fizyce statystycznej?

Funkcja podziału jest miarą objętości zajmowanej przez system w przestrzeni fazowej. Zasadniczo mówi ci, ile mikropaństw jest dostępnych dla twojego systemu w danym zespole. Można to łatwo zauważyć, zaczynając od zespołu mikrokanonicznego .

W zespole mikrokanonicznym, gdzie każdy mikrokanonik ma energię od $ E $ do $ E + \ Delta E $ jest równie prawdopodobne, funkcja podziału to

$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$

gdzie całka jest po prostu hiperobjętością obszaru przestrzeni fazowej, w której energia (hamiltonowska) $ \ mathcal H $ systemu jest pomiędzy $ E $ a $ E + \ Delta E $, znormalizowane przez $ h ^ {3N} $, aby uczynić go bezwymiarowym. Współczynnik $ N! ^ {- 1} $ bierze pod uwagę fakt, że poprzez wymianę „etykiety” na dwóch cząstkach, mikropaństwo się nie zmienia.

Równanie Boltzmanna

$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$

mówi, że entropia jest proporcjonalna do logarytm całkowitej liczby mikropaństw odpowiadających makrostanowi twojego systemu, a ta liczba to tylko $ Z_ {mc} $.

W zespołach kanonicznych i kanonicznych znaczenie funkcji partycji pozostaje to samo, ale ponieważ energia nie jest już ustalona, wyrażenie ulegnie zmianie.

Funkcja podziału kanonicznego to

$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$

W tym przypadku całkujemy po całej przestrzeni fazowej, ale każdemu punktowi przypisujemy $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a waga $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, gdzie $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, tak aby stany o energii znacznie większej niż $ k_B T $ są mniej prawdopodobne. W tym przypadku połączenie z termodynamiką jest podane przez

$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$

gdzie $ F $ jest darmową energią Helmholtza .

Funkcja wielkiego podziału kanonicznego to

$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$

gdzie tym razem sumujemy również wszystkie możliwe wartości liczby cząstek $ N $, ważąc każdy składnik przez $ \ exp (\ beta \ mu N) $, gdzie $ \ mu $ to potencjał chemiczny .

Związek z termodynamiką jest określony wzorem

$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$

To jest $ e ^ {- F / T} $, gdzie $ F / T $ jest darmową energią znormalizowaną przez odpowiednią termodynamiczną skalę energii, temperaturę. Wykładniczy jest tylko monotoniczną reparametryzacją, więc mówiąc moralnie, funkcja podziału jest po prostu darmową energią, która jest dostępna dla wykonać pożyteczną pracę.

Inna interpretacja: jeśli normalizujesz to tak, że $ E = 0 $ jest stanem podstawowym, a następnie z grubsza mówiąc, jest to „odwrotność” części systemu, która „jest w stanie podstawowym”. Niezwykle heurystycznie, niech $ g $ będzie całkowitą kwotą systemu, który jest w stanie podstawowym, $ e $ będzie całkowitą ilością systemu, który jest w stanie wyjścia, a $ s = g + e $ będzie całkowita kwota systemu. Wtedy $ g / s $ jest ułamkiem układu, który jest w stanie podstawowym, a jego odwrotność to $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Waga Boltzmanna daje, że względna waga (lub „ilość”) każdego stanu wzbudzonego $ i $ z energią $ E_i $ w stosunku do ciężaru stanu podstawowego wynosi $ e ^ {- \ beta E_i} $.Podsumowując wszystkie wzbudzone stany $ i $, otrzymujemy funkcję podziału $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.

Fizyczne znaczenie funkcji partycji jest następujące: Wyraża liczbę termicznie dostępnych stanów, które system zapewnia nośnikom (np. elektronom).