W porządku, więc mam rzeczywiste problemy z rozróżnieniem koncepcji stanu ustalonego od zrównoważonej ścieżki wzrostu w tym modelu :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Poproszono mnie o wyprowadzenie wartości kapitału w stanie ustalonym na efektywnego pracownika :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Jak również stosunek kapitału do produkcji w stanie ustalonym (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Oba te grzywny znalazłem, ale poproszono mnie również o określenie „ustalonej wartości produktu krańcowego kapitału, dY / dK „. Oto co zrobiłem:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Podstawiając K w stanie ustalonym (obliczone podczas obliczania stanu ustalonego dla stosunku K / Y powyżej):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ left [AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Po pierwsze muszę wiedzieć, czy to obliczenie wartości MPK w stanie ustalonym jest dobrze?
Po drugie, poproszono mnie o naszkicowanie ścieżek czasowych wskaźnika kapitału do produkcji i produktu krańcowego kapitału dla gospodarki, która zbiega się do ścieżki zrównoważonego wzrostu „od dołu”.
Mam problemy ze zrozumieniem, czym dokładnie jest ścieżka zrównoważonego wzrostu, w przeciwieństwie do stanu ustalonego, i jak wykorzystać moje obliczenia, aby dowiedzieć się, jak powinny wyglądać te wykresy.
Przepraszamy za mamuta poczta, każda pomoc jest bardzo mile widziana! Z góry dziękuję.
Odpowiedź
To wtedy, gdy próba dokładności powoduje zamieszanie i nieporozumienia.
W tamtych czasach modele wzrostu nie uwzględniały postępu technologicznego i prowadziły do długoterminowej równowagi charakteryzującej się stałą wielkością na mieszkańca. Werbalnie do opisania takiej sytuacji wydaje się właściwe określenie „stan ustalony”.
Potem pojawiły się modele Romera i endogenicznego wzrostu, które również skłoniły starsze modele do włączenia jako rutynowej funkcji egzogenicznych czynników wzrostu (oprócz populacji). I „nagle” warunki na mieszkańca nie były stałe w długookresowej równowadze, ale rosły w stałym tempie . Początkowo w literaturze taką sytuację opisywano jako „stan równowagi dynamiki wzrostu”.
Wtedy wydaje się, że profesja pomyślała coś w rodzaju „użycie słowa„ stały ”jest niedokładne, ponieważ wielkości na mieszkańca rosną. Dzieje się tak, że wszystkie wielkości rosną w zrównoważony kurs (tj. w tym samym tempie, więc ich wskaźniki pozostają stałe). A ponieważ rosną, podążają ścieżką … „Eureka !: termin” zrównoważona ścieżka wzrostu ”.
… Ku frustracji uczniów (przynajmniej), którzy muszą teraz pamiętać, że na przykład „ścieżka siodła” jest rzeczywiście ścieżką na diagramie fazowym, ale „ścieżka zrównoważonego wzrostu” to tylko punkt! (ponieważ aby faktycznie narysować diagram fazowy i uzyskać dobrą, starą długookresową równowagę, wyrażamy wielkości na efektywnego pracownika, a te wielkości mają tradycyjny stan ustalony. Ale nadal nazywamy to „zrównoważoną ścieżką wzrostu”, ponieważ wielkości per capita, co nas interesuje, w naszym indywidualistycznym podejściu) nadal rośnie).
Zatem „ścieżka zrównoważonego wzrostu” = „stan ustalony wielkości na jednostkę wydajności pracy”, i myślę, że resztę znajdziesz na diagramie faz.
Odpowiedź
Po rozmowie z użytkownikiem @denesp na komentarz do mojej poprzedniej odpowiedzi, muszę wyjaśnić, co następuje: zwykłe urządzenie graficzne, którego używamy, związane z podstawowym modelem wzrostu Solowa (patrz na przykład tutaj , rysunek 2 ) nie jest diagramem fazowym, ponieważ rozsądnie nazywamy „diagramami fazowymi” te, które zawierają loci o zerowej zmianie, identyfikujemy ich punkty przecięcia jako stałe punkty dynamiki l i zbadać ich stabilność. I to nie jest to, co robimy dla modelu Solowa. Więc to było nieostrożne użycie terminologii z mojej strony.
Niemniej jednak możemy narysować „diagram półfazowy” dla modelu wzrostu Solowa w przestrzeni $ (y, k) $. Rozumiejąc symbole jako „na jednostkę wydajności pracy”, mamy układ równań różniczkowych (gdzie $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f „_k (k) \ cdot \ dot k $$ Zapisując równanie o zerowej zmianie jako słabą nierówność, aby pokazać również tendencje dynamiczne, mamy
$$ \ dot k \ geq 0 \ implikuje y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ implikuje \ dot k \ geq 0 $$
Więc ten system daje pojedynczy punkt zerowej zmiany, linię prostą. Brak punktów przecięcia w celu zidentyfikowania stałego punktu Co możemy zrobić?Narysuj również funkcję produkcji na diagramie, ponieważ w rzeczywistości przestrzeń $ (y, k) $ jest jednowymiarowa, a nie jest polem, ale linią. Następnie otrzymujemy
pionowe / poziome strzałki wskazujące dynamiczne tendencje pochodzą właściwie ze słabych nierówności powyżej (zarówno $ y $, jak i $ k $ mają tendencję do wzrostu, gdy są powyżej miejsca zmiany zerowej). Następnie, ponieważ $ y $ i $ k $ są ograniczone do poruszania się po linii przerywanej (która jest funkcją produkcji), wynika z tego, że poruszają się w kierunku swojego stałego punktu, niezależnie od tego, gdzie zaczynamy. Tutaj wykres funkcji produkcji przedstawia zasadniczo ścieżkę do długoterminowej równowagi, ponieważ konwergencja jest monotoniczna.