Pytanie, które otrzymałem, brzmi:
Atomy srebra w metalicznej sieci zajmują tylko 88 $ \, \% $ przestrzeni (12 $ \, \% $ jest puste). Gęstość srebra wynosi 10,5 $ \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Zakładając, że atomy srebra są twardymi kulami ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, gdy $ r $ jest promieniem atomowym), jaki jest promień atomu srebra? Podaj odpowiedź w jednostkach 10 $ ^ {- 12} $ metrów.
Masa atomowa $ \ ce {Ag} $ wynosi 107,8682.
Moje rozwiązanie:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5,158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Następnie przełączyłem się na 10 $ ^ {12} $ metry, wynik to 4,953 $ \ times10 ^ {17 } $ i nie jest poprawne. Co robię źle?
Komentarze
- ' dodałem informacje o masie atomowej $ \ ce {Ag} $ w celu wyjaśnienia Tobie i innym, jakich informacji ' będziesz potrzebować, aby rozwiązać problem.
- właściwie Ag krystalizuje się w FCC, a sfery wypełniają się $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ około 0,74048 $$
Odpowiedź
Gdybyś uwzględnił jednostki w swoich obliczeniach, zauważyłbyś, dlaczego twoje równanie jest nieprawidłowe.
Masa molowa $ M $ jest zdefiniowane jako $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ , gdzie $ m $ to masa, a $ n $ to ilość substancji.
Ponieważ stała Avogadro $ N_ \ mathrm A $ to $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ , gdzie $ N $ to liczba cząstek, masa $ m $ jednego atomu $ (N = 1) $ jest $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Gęstość $ \ rho $ jest zdefiniowane jako $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ , gdzie $ V $ to objętość.
Zatem objętość próbki wynosi $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ przy użyciu równania $ \ text {(3)} $ , objętość $ V $ można obliczyć dla pojedynczego atomu: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Zakładając, że ułamek klasy 88 $ \, \% $ objętości $ V $ jest wypełnione twardą kulą, objętość $ V_ \ text {sphere} $ sfery to $$ \ begin {align} V_ \ text {sfera} & = 0,88 \ times V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Ponieważ objętość kuli wynosi $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ , gdzie $ r $ to promień kuli, promień $ r $ to $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sfera}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107,86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10,5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1,53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$