Próbka procesu losowego jest podana jako:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
gdzie $ w (t) $ jest procesem białego szumu ze średnią 0 $ i gęstością widmową mocy $ \ frac {N_0} {2 } $ i $ f_0 $, $ A $ i $ B $ są stałymi. Znajdź funkcję autokorelacji.
Oto moja próba rozwiązania:
Niech $ a = 2 \ pi f_0t $ i $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorelacja} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {\ left (A \ cos (a) + Bw (t) \ right) \ left (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Wyrażenia oczekiwane z szumem w nich wszystkich są równe 0 $ (ostatnia to po prostu autokorelacja białego szumu … stąd uproszczenie powyżej. Korzystanie z tożsamości trygonometrycznych: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
mamy:
\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ left \ {\ left (A ^ 2 \ right) \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ right] \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ left [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Mamy do czynienia ze stałymi wyrazami, więc składnik oczekiwania znika i podbicie w naszych warunkach początkowych otrzymujemy: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ lewo [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Z jakiegoś powodu nie mogę pomóc, ale czuję, że zrobiłem coś niepoprawnie obliczając tę autokorelację … to powinna być funkcja $ \ tau $, ale ma a $ t $ tam jest … Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać mi właściwy kierunek lub wyjaśnić, co schrzaniłem. Nie wiem, czy to ma znaczenie, ale w tej klasie mamy do czynienia tylko z procesami stacjonarnymi o szerokim znaczeniu.
Komentarze
- Chyba że mając pewność, że proces losowy $ x (t) $ jest WSS, nie należy oczekiwać, że jego ACF będzie funkcją samego $ \ tau $. Dlatego wydaje się właściwe uwzględnienie tutaj terminów $ t $. Ale myślę, że cosinus wewnątrz $ x (t) $ może zawierać albo przypadkową amplitudę, albo losową fazę, o której zapomnisz wpisać, wtedy możesz mieć szansę na pozbycie się elementu czasu $ t $, jeśli chcesz tak bardzo więc …
- Proces $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ jest procesem cyklostacjonarnym (spełnia wymagania stacjonarności dla tych przesunięć czasowych, są wielokrotnościami $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) i wcale nie są procesem WSS. Zauważ na przykład, że nawet funkcja średniej $ E [x (t)] $ nie jest stałą, jak powinna być w przypadku procesu WSS. Jak mówi @ Fat32 (+1), mogłeś zapomnieć o włączeniu losowej fazy $ \ Theta $ w swojej definicji $ x (t) $ (potrzebna właściwość dla stacjonarności WS jest taka, że $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, co oznacza $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ lub $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ za $ n = 0,1,2,3 $).
Odpowiedź
Myślę, że ty „Zrobiłem prawie wszystko dobrze, ale mam problem z obliczeniem wartości oczekiwanej dotyczącej $ t $. Powinieneś obliczyć wartość oczekiwaną funkcji cosinus. Niestety, nie znika ona po prostu tak, jak pisałeś.
Zajrzyj na stronę Wikipedii . Możesz tam znaleźć inny, bardziej przejrzysty wzór na funkcję autokorelacji funkcji $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Zauważ, że w porównaniu ze stroną Wikipedii, pozwoliłem sobie na użycie zmiennej $ t $ w integracji zamiast $ u $, whi ch byłaby matematycznie dokładniejszą wersją.)
Jak widać z tego równania, „całkujesz” zależność od t, i rzeczywiście powinieneś otrzymać funkcję, która jest niezależna od $ t $.
Zwróć uwagę, że istnieje również wersja, która nie ma nieskończonych czasów, ale jest ograniczona do okresu $ T $. Może ta wersja jest bardziej odpowiednia w twoim przypadku.Jednak to samo dotyczy tej wersji: $ t $ jest zintegrowane i nie powinno być zmienną w otrzymanej formule.
Komentarze
- Ty mieszają się dwa różne pojęcia, kiedy piszesz ” Jak widać z tego równania, ” integrujesz ” zależność od $ t $ i rzeczywiście powinieneś pozostawić funkcję niezależną od $ t $ ”
- Możesz weź również wzór ze strony Wikipedii bez $ t $ i napisz $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. Ważne jest tutaj to, że w obu przypadkach argument funkcji $ f $ jest t i jest całkowany – stąd nie masz już $ t $ w wyniku końcowym, a jedynie $ \ tau $.
- @Dilip Możesz też zajrzeć tutaj ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – to w zasadzie pierwszy wynik po prostym wyszukiwaniu w Google. Tam, na stronie 22-2 (strona 3 w pliku PDF), jest przykład funkcji autokorelacji, która została obliczona według tego wzoru i jest niezależna od $ t $. Możesz również znaleźć niezbyt rozsądną matematycznie notację na poprzedniej stronie.
- Daleko mi do kwestionowania ważności formuły, o której twierdzisz, że można ją znaleźć w Wikipedii lub jest nauczany na kursie online MIT, ale wydaje mi się, że w \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} ta druga całka w drugiej linii (której całka jest stałą względem $ t $) różni się, chyba że $ \ tau $ ma taką wartość, że $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Masz rację, ta całka jest rozbieżna. Nawet pierwsza całka nie ma znaczenia, ponieważ nie jest zbieżna. Z tego powodu moja odpowiedź zawiera ostatni akapit.