W zwykłym pentagramie (pięcioramienna gwiazda) kąt w każdym punkcie wynosi 36 stopni, więc kąty we wszystkich pięciu punktach suma do 180 stopni:
A co z nieregularnym pentagramem, takim jak poniższy?
Teraz kąty mogą się różnić od siebie; sytuacja jest dużo bardziej skomplikowana. Czy możesz udowodnić, że kąty we wszystkich pięciu punktach nadal sumują się do 180 stopni?
Ograniczenia (aby wyjaśnić, że nie jest to ani problem matematyczny, [w przeciwieństwie do układanki matematycznej], ani ćwiczenie z obliczeń lub zaawansowanej geometrii euklidesowej):
- niedozwolone są operacje arytmetyczne (dodawanie, mnożenie, …)
- możesz narysować jeden nowy odcinek linii na gwieździe, ale nie więcej
Komentarze
- Przepraszam rand, ale myślę, że to tylko kolejny problem matematyczny … (” udowodnij „, ” kąty „, ” suma „, ” 180 stopni „)
- @MarkN Zgodnie z kanoniczny meta post na tym, znak matematycznej układanki w przeciwieństwie do problemu jest ea sprytne lub eleganckie rozwiązanie, często ” aha ” moment , nieoczekiwane stwierdzenie problemu lub nieoczekiwany lub sprzeczny z intuicją wynik . Rozwiązanie, które mam na myśli, z pewnością ma pierwszą z tych funkcji, a IMO również dwie ostatnie.
- To nie jest ' zagadka matematyczna – to ' to zagadka logiczna. Zwykle uczysz się tej logiki od kogoś, kto również uczy matematyki.
Odpowiedź
$ \ hskip 1,5 cala $ 
czy to marzenie?
To jest obraz strzałki przesuwającej się po każdym z kolejnych kątów w gwiazda. Zauważ, że po prześledzeniu wszystkich 5 $ kątów, jego orientacja jest odwrócona – co oznacza, że obrócił się o 180 $ ^ {\ circ} $ i że musi to być suma kątów. Możemy zrobić to samo z gwiazdą na twojej figurze, ergo, jej kąty też sumują się do 180 $ ^ {\ circ} $.
Uogólnienie:
Możemy zrobić to samo z taką liczbą, której suma kątów wynosi 180 $ ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1,5 w $ 
Możemy to również zrobić z trójkątem. Ważna właściwość jest taka:
Nie może być żadnych wierzchołków gwiazdy wnętrza do stożka omiecionego przez promień pod określonym kątem.
Spełnienie tego warunku – który zasadniczo mówi, że nigdy nie musimy „ignorować” wierzchołków, ale zamiast tego po prostu obróć strzałkę i zobacz, co to trafienia – okazuje się, że możemy uporządkować wierzchołki w sposób „zgodny z ruchem wskazówek zegara”, tak aby pod każdym kątem albo główka, albo koniec strzałki przechodziły do następnego wierzchołka w kolejności (i naprzemiennie które). Oczywiście zarówno głowa, jak i ogon wykonają pełny obrót, gdy prześledzonych zostanie dwa razy więcej kątów niż wierzchołków, dając pożądany rezultat.
(Można również wyrazić mój warunek jako „przypisanie wierzchołkom liczb $ 1 $ do $ 2n + 1 $ w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara, patrząc z centralnego punktu, musi być tak, że $ 1 $ łączy się z $ n $ i $ n + 1 $, a wszystkie inne punkty są połączone analogicznie „)
Komentarze
- (Poza tym, co jest warte ', bardzo podobała mi się ta łamigłówka, nawet jeśli moja odpowiedź nie jest zamierzony – miałem dobry, ” Cóż, ' s oczywiste ” moment, po którym nastąpiło kilka godzin intensywnego drapania się po głowie, próbując zrozumieć, dlaczego było to oczywiste, a następnie ” Aha! To było oczywiste! „)
- Rozumiem, że Twój komentarz jest odniesieniem do tego żartu ? =)
- Zaakceptowano, ponieważ ' jest nawet ładniejszy niż odpowiedź, której również szukałem, a także obejmuje uogólnienie.
Odpowiedź
Umieść ołówek w linii 1.
Obróć ołówek tak, aby wyrównał się z linią 2. Właśnie obróciłeś go przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o kąt u góry pentagramu.
Teraz obróć go ponownie w lewo do linii 3. Następnie znowu w linii 4, potem 5 i na końcu z powrotem do 1. Właśnie obróciłeś ołówek po kolei przez wszystkie pięć kątów pentagramu.
A co się stało? Ołówek leży teraz na tej samej linii, na której zaczynał, wskazując w przeciwnym kierunku.Jeśli prześledzisz kierunek, w którym ołówek wskazuje na każdym kroku, możesz zobaczyć, że w sumie obróciłeś go w lewo o pół obrotu. Skąd, 180 $ ^ \ circ $.
Komentarze
- Będzie to piękny dowód, jeśli dostosujesz go, aby wykluczyć możliwość, że obróciłeś ołówkiem przez inną nieparzystą wielokrotność $ 180 ^ \ circ $. W przypadku tego heptagramu ołówek również jest skierowany w przeciwną stronę, ale obrócił się o 540 $ ^ \ circ $
- Występuje ciągłe odkształcenie od pentagram odniesienia do dowolnego zdeformowanego pentagramu. Dlatego obrót nie może przeskoczyć z jednej wielokrotności 180∘ do drugiej.
- Zasadniczo każdy $ \ {m: n \} $ – gram, gdzie $ n < \ frac m 2 $ obraca $ 360 \ times (\ frac m 2 – n) $ stopnie.
- Ładne wyjaśnienie Lopsy … proste, czyste 🙂 Chciałem powiedzieć, weź 4 kąty i wizualnie zacznij zmniejszać je do 0 .. zastanów się, jak wygląda gwiazda, gdy to się dzieje … piąty kąt rośnie, aby się dostosować … aż 4 kąty wynoszą 0, a piąty to 180 (czyli linia prosta) ..: ) Ale bardziej podoba mi się wyjaśnienie Lopsy ' ..;)
- Piękno tej odpowiedzi polega na tym, że nie ' t czyta się jak dowód matematyczny. Każdy może to zrozumieć.
Odpowiedź
Oto kolejny dowód.
Etykieta punkty, jak pokazano, i narysuj CD segmentu linii. Użyj A, B itd., aby oznaczyć kąty, o które jesteśmy proszeni, aby znaleźć sumę.
Teraz
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (kąty w trójkącie)
Więc wystarczy to udowodnić
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Teraz
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ i $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
A więc wystarczy udowodnić, że
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
co jest oczywiście prawdą, ponieważ
LHS jest uzupełnieniem $ \ angle DFC $ , a RHS jest uzupełnieniem $ \ angle EFB $ , gdzie $ \ angle DFC $ i $ \ angle EFB $ są równe, ponieważ przeciwne pionowo .
Komentarze
- To jest odpowiedź, której szukałem.
- Tak więc w zasadzie można wyodrębnić to rozwiązanie do 2 reguł: kąty w trójkątach = 180 i przeciwne kąty 2 przecinających się linii są równe.
- @randal ' thor To rozwiązanie wymaga również dodawania, więc nie byłoby zgodne z twoimi ograniczeniami, lub powinieneś zmienić swoje ograniczenia.
- Tak, miałem zamiar powiedzieć, że to jest jak nie -the-, ale jedno z najbardziej matematycznych odpowiedzi tutaj. Brak arytmetyki nie oznacza, że nie jest to ' t matematyka …
Odpowiedź
Suma kątów wewnętrznych pięciokąta wynosi zawsze 540 °.
Kąt każdego punktu zewnętrznego jest zawsze sumą dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych – 180 °. Możemy to powiedzieć, ponieważ biorąc pod uwagę kąty wewnętrzne A i B, kąty trójkąta wynoszą 180 – A, 180 – B, X. Z definicji kątów trójkąta, X jest równe 180 zł – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Każdy kąt wewnętrzny pięciokąta jest używany dwukrotnie i jest 5 punktów, więc $ (2 \ times 540) – (5 \ times 180) = 180 ° $
Komentarze
- Myślę, że to jest geometria klasy 9, która osiąga szczyt …
- To jest bardziej skomplikowane niż dowód, o którym myślałem. Mogę zmodyfikować pytanie, aby nieco bardziej ograniczyć możliwe dowody, ale ' nadal dam Ci +1. Czy mógłbyś uzasadnić swoje drugie zdanie? Nie ' nie rozumiem, o czym mówi trzecie zdanie.
- Jeśli pozwolimy, aby A i B były dwoma sąsiednimi kątami wewnętrznymi pięciokąta, wówczas kąt punkt w trójkącie to 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Niezły dowód, ale byłoby fajnie, gdybyś mógł użyć zdjęcia lub 2, lub nawet gif!
- Myślę, że ' można uogólnić ten dowód, aby pokazać, że kąty w punktach dowolnych n -gram sum do 180 $ ^ \ circ $ pod warunkiem, że kształt łączy każdy punkt z dwoma sąsiednimi punktami na n -gonie.(Zwróć uwagę, że heksagram Unicursal nie ' nie spełnia kryterium połączenia; ani heksagram utworzony z dwóch trójkątów; i tylko jeden z dwóch heptagramów Unicursal go spełnia).
Odpowiedź
Oto kolejny zgrabny dowód, tym razem indukowany. Możemy stworzyć pentagram zaczynając od zwykłego i przesuwając kolejno cztery punkty. Wystarczy więc udowodnić, że
przesunięcie punktu w pentagramie nie zmienia sumy kątów w punkty
Niech „s
przenieś punkt A do A” i zawołaj zarówno kąt przy A, jak i kąt przy A „górny kąt
Otrzymujemy to:
Wystarczy to udowodnić
zmiana kąta górnego i zmiany kąta es w C i D sumują się do zera.
Na tym nowym diagramie
pokazujemy
zmiana w górnym kącie jako $ xw $, a zmiany w D i C jako $ -y $ i $ z $,
i musimy udowodnić, że
$ xw-y + z = 0 $, czyli innymi słowy, że $ x + z = w + y $,
co jest oczywiste, jak poprzednio, ponieważ
LHS i RHS to dopełnienia pionowo przeciwnych kątów w punkcie G.
Odpowiedź
Inne podejście:
Zaczynając od zwykłej gwiazdy, wiemy, że $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Teraz narysujmy odcinek linii, jak pokazano na diagramie.
Zwróć uwagę, że $ B, D, E $ pozostaje niezmieniony! Z naszych obserwacji widzimy, że $ Y = C – X $ i $ Z = A + X $.
Zatem suma punktów naszej nowej gwiazdy $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Więc możemy dalej rysować segmenty i tworzyć nowe gwiazdy (i przeskalować je), aż osiągniemy pożądany kształt.
Komentarze
- Fajnie, ale czy możesz dodać coś, co uczyniłoby to bardziej intuicyjnym? ogólny nieregularny pentagram przez sekwencję ruchów jednego punktu wzdłuż jednej z linii przechodzących przez ten punkt i przeskalowanie.
- Mogłabym spróbować, gdyby tylko geometria ' nie bolała mój mózg tak bardzo D:
Odpowiedź
Jest nieuniknione, że niektórzy trzeba wykonać arytmetykę – w końcu zamierzony wniosek jest ilościowy – więc wyzwanie nie powinno być t o ukryć arytmetykę, ani nazywać jej inną nazwą, ale uczynić ją oczywistą i śmiertelnie prostą. Poniższy argument sprowadza arytmetykę do stwierdzenia, że pięć to o jeden więcej niż cztery (a całość to dwa razy połowa, fakt używany mimochodem).
Gwiazda owija się dwukrotnie wokół swojego środka i dlatego każdy, kto ją przemierzy, będzie musiał wykonać dwa pełne koła (cztery półokręgi). Wszystkie skręty mają miejsce tylko w wierzchołkach, gdzie maksymalna wielkość jest równa pełnej około powierzchni połowy koła. Dla pięciu wierzchołków byłoby to pięć półokręgów lub o jeden półkole więcej niż jest w rzeczywistości obrócone: 180 stopni. Niedobór między tym maksimum a faktycznie wykonanym obrotem jest dokładnie sumą kątów wewnętrznych, QED.
Podejście to jest stosowane we współczesnej matematyce (tj. Po XVIII wieku). Uogólnia na dowolne figury o dowolnych wymiarach narysowane w innych figurach, które same mogą być zakrzywione. Jest znane jako Twierdzenie Gaussa-Bonneta .
Odpowiedź
Istnieje twierdzenie oparte na okręgu, które stwierdza, że „miara kąta wpisanego jest połową miary łuku, który przecina”. Oznacza to, że dla kąta x łuk, który przecina, będzie 2x . 
Teraz, jeśli wpiszesz gwiazdę w okrąg, otrzymasz to:
Oznaczając poprzedni rysunek, otrzymujesz to;
Dzięki temu twierdzeniu wiemy, że kąt ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, i ∠ 5 = b / 2. Jeśli to rozłożymy, otrzymamy ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Ponadto, ponieważ miary wszystkich łuków na okręgu sumują się do 360, wiemy, że a + b + c + d + e = 360 . Na koniec, używając właściwości substitution, otrzymujemy ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 lub ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Zatem suma wszystkich kątów wynosi 180.
Komentarze
- Jest ' jeden błąd w Twoim argumencie: nie każdy pentagram można w niego wpisać okrąg.
- @ThomasKwa Czy możesz podać mi przykład?
- @ user1812 po prostu przesuń dowolny punkt na swoim przykładzie do lub z koła. Określenie okręgu wymaga tylko trzech punktów, a pentagram ma pięć.
Odpowiedź
Ten dowód w sens to nic innego jak liczenie stopni kątów.
Przypomnij sobie, że pięciokąt, zarówno regularny, jak i nieregularny, ma sumę kątów wewnętrznych równą 540. Ponadto, Kąty przecięcia 2 prostych dają sumę 360, przy czym przystają również kąty przeciwne.
Rozważmy 5 punktów środkowego pięciokąta, czyli punkty przecięcia dwóch prostych. Około tych 5 punktów to 360 x 5 = łącznie 1800 stopni i 5 x 4 = 20 kątów do policzenia.
Spośród 20 kątów 5 jest od pięciokąta, a 5 jest do nich przystających. Więc to odpowiada 540 + 540 = 1080 stopni. Pozostałości 1800 – 1080 = 720 stopni pochodzą z wnętrza 5 trójkątów.
5 trójkątów zawiera 5 x 180 = 900 stopni kątów wewnętrznych. 720 z tych stopni znajduje się na rogach pięciokąta / trójkąta / przecięcia.
To pozostawia na końcach gwiazdy 900 – 720 = 180 stopni.
Edycja: arytmetyka tutaj jest po prostu skrótem dla kąta dodawanie i odejmowanie, tak samo jak w przypadku innych odpowiedzi.
Odpowiedź
Centralny Pentagon jako A, B, C, D , E zawiera 540 STOPNI
Zsumuj 5 PAR dodatkowych kątów tj. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Te 720 stopni reprezentuje „podstawę” kąty 5 trójkątów, co daje w sumie 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (5 szukanych kątów.
Pięć trójkątów w punktach sumuje się 5 * 180 = 900
Komentarze
- Pytanie konkretnie prosi o udowodnienie go bez użycia operacji arytmetycznych.