Różnica między liczbami całkowitymi a liczbami dziesiętnymi

„Liczenie” (prowadzące do liczenia liczb) to szczególny przypadek (z niejednoznacznością) „pomiaru”, w którym rola „miary / jednostki” jest bardziej widoczna. Oczywiście (myślę), że naturalną jednostką implikowaną w sytuacjach „liczenia” jest jakaś istotna jednostka atomowa (taka jak „całość, operacyjna osoba”, a nie mniej funkcjonalna mniejsza część osoby).

Oznacza to, że niejawne liczenie miar z jednostką jest najmniejszą / atomową wykonalną / operacyjną miarą (często tak powszechnie niejawną, że jest poza dyskusją).

Bardziej wyszukany analog powstaje, gdy bardziej zaawansowani studenci są pomysł, że nieskończone sumy (zwane również „seriami”) mieszczą się pod parasolem „całek”, ale z „miarą zliczania”… i że zbiory dyskretne mają co najmniej jedną naturalną regularną, dodatnią miarę borela, mianowicie miarę zliczania. / p>

Komentarze

• 1. To jest to, o czym wspomniałem w pierwszym zdaniu, więc oczywiście zgadzam się i podoba mi się ten szczególny odcień, jaki mu nadajesz. 2. Ale jak odpowiesz początkującym studentom, którzy pytają ” Dlaczego ' t my powiedzieć 0,04 DekaPeople, skoro możemy powiedzieć 0,04 kiloPeople? W jakiś sposób, że 0,04 DekaPeople = 0,4 osoby i 0,04 kiloPeople = 40 osób nie pomaga: ich pogląd jest taki, że skoro działamy w systemie dziesiętno-metrycznym, nie powinno się uciekać do dodatkowych rozważań i nie powinno to zależeć od tego, czy ” mianownik ” to Ludzie lub litry mleka .
• @schremmer, ' d twierdzę, że bez ” uciekania się do nieistotnych rozważań ” arytmetyka nadal ma sens, jasne, ale trafność / zastosowanie może czasem ucierpieć. Kontekst ma znaczenie.
• Oczywiście kontekst jest istotny, jak to zwykle bywa. Są to jednak tak zwani studenci rozwojowi i bardzo trudno jest wziąć pod uwagę logikę.Ale potem, kiedy już zaczną, naturalnie, zaczynają się rozłączać z takimi rzeczami. Próbuję im powiedzieć, że zawsze będą w stanie rozpoznać po ” mianowniku „, na który się zgadzają, ale nadal nalegają że ” powinna istnieć reguła ” niezależnie od tego, czy mówimy Ludziom o litrach mleka. Tego właśnie nie ' nie wiem, jak odpowiedzieć.
• @schremmer, możesz im powiedzieć, że nie wszystko (nawet w matematyce) można sprowadzić do lista jednoznacznych reguł. Zdaję sobie sprawę, że istnieją różne sytuacje rozwojowe, ale wciąż staram się zapewnić uczniów na wszystkich poziomach, że nie powinni nie zawieszać własnego krytycznego osądu … ale / i że ponoszą odpowiedzialność za używając go, zamiast po prostu używać magicznego myślenia lub przywoływać niewytłumaczalne ” reguły „.
• Moja odpowiedź na pytanie takie jak ” Dlaczego ' t mówimy 0,04 DekaPeople [0,4 osoby] ” jest takie, że z pewnością możemy powiedzieć coś takiego. Na przykład. Pytanie: Jaka jest gęstość zaludnienia na Falklandach na kilometr kwadratowy? Odpowiedź: 0,26 osoby. link

Dlaczego nie możemy powiedzieć ” 0,04 Ludzie „, skoro możemy powiedzieć ” 0,04 KiloPeople „?

Niektóre ilości (np. Ludzie) są ilości dyskretne, a niektóre (np. metry, dolary) są ilościami ciągłymi.

Poniższe omówienie pochodzi z tutaj . (Podkreśliłem słowa ” liczba naturalna ” i ” dziesiętne. „)

Klasyfikacja ilości

Ilość jest albo dyskretna , albo ciągła . Wielkość dyskretna to wielkość policzalnego zbioru (takiego, którego elementy są „wzajemnie oddzielone i indywidualnie odrębne”). Jego wartość liczbowa to liczba naturalna („nie można brać pod uwagę podziału na ilość mniejszą niż jednostka”), a jej jednostka to jasne na początku. Przykładem dyskretnej wielkości jest „trzech chłopców”.

Ilość ciągła to wielkość „kontinuum” („ciągłej jednostki, którą można podzielić na dowolną liczbę mniejszych części”, tak że „dowolna dwa takie podmioty można połączyć w jeden większy ”). Jego wartość liczbowa (a dziesiętna lub ułamek) i jej jednostka „nie zostały określone a priori . ” Przykładem ilości ciągłej są „trzy dolary”.

Ilość ciągła jest albo rozległa , albo intensywna . Pierwsza wyraża szerokość lub wielkość (np. Powierzchnię lub wagę); ta ostatnia wyraża jakość lub intensywność (np. gęstość lub prędkość). Rozległa ilość ma addytywność: atrybut zjednoczenia dwóch ciał jest równy sumie atrybutów dwóch ciał. Intensywna ilość nie działa addytywnie. Na przykład waga dwóch ciał jest koniecznie sumą ich ciężarów, ale prędkość dwóch ciał niekoniecznie jest sumą ich prędkości.

Tekst jest przeznaczony dla nauczycieli matematyki, ale można go przeformułować, aby był łatwiejszy do zrozumienia dla początkujących.)

Moja oryginalna odpowiedź (dołączona tutaj dla kontekstu), na którą wskazał PO nie odpowiada na zamierzone pytanie:

Niektóre ilości, na przykład 1/3 $ litra, mają reprezentacje dziesiętne ( 0 $ \ overline {3} $ litrów), ale bez reprezentacji liczb całkowitych.

Komentarze

• Co to ma wspólnego z moim pytaniem?
• Twoje pytanie brzmiało ” Gdzie rysujesz granicę między całe i dziesiętne oraz jak wyjaśnić to początkującym studentom , którzy chcą zrozumieć ? ” I Proponuję narysować linię, gdy reprezentacja dziesiętna się nie kończy i że ten przykład powinien być zrozumiały dla ” bardzo surowego początku ” uczniów .
• @ Bardzo surowi początkujący, z którymi mam do czynienia, nie mają pojęcia, co może przedstawiać liczba dziesiętna, nie mówiąc już o reprezentacji dziesiętnej, która się nie kończy. Poza tym 1/3 litra mleka to 1 , co jest liczbą całkowitą, która liczy rzeczy _ denominowane_ przez w tym potrzeba 3, aby uzyskać litr mleka , więc oto twoja reprezentacja w postaci liczby całkowitej.W każdym razie ma to niewiele wspólnego z pierwotnym pytaniem.
• A co z $ \ sqrt {2} $ metrów, długością przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równoramiennego o długości każdej nogi $ 1 $ metr? Czy zgodzisz się, że ma reprezentację dziesiętną, ale nie liczbę całkowitą?
• Oczywiście, ale co to ma wspólnego z pierwotnym pytaniem? Nadal odpowiadasz na pytanie nigdy nie zadałem . Pytanie, które zadałem, zmienia się: dlaczego ' t mówimy ” 0,04 Ludzie ” ponieważ możemy powiedzieć ” 0,04 KiloPeople „?

Myślę, że zamieszanie jest w dużej mierze konsekwencją tego, że wiele osób znajduje przedrostki systemu metrycznego ( kilo- , centi- itp.), a ułamki dziesiętne (nawet te kończące) są mniej intuicyjne niż reprezentowane przez nie „wulgarne ułamki”.

Gdyby ktoś zapytał mnie: „W jaki sposób 0,004 kilometra, liczba dziesiętna, to samo co 4 metry, liczba całkowita „? (jak OP wspomina w komentarzach pod swoim pytaniem), odpowiedziałbym mniej więcej tak:

Czy przeszkadza Ci również fakt, że 1 $ / 2 $ tuzin jaj, ułamek, to tyle samo, co 6 jaj, liczba całkowita?

Co będzie dalej, zależy od odpowiedzi pytającego . Ale załóżmy, że odpowiedzą czymś w rodzaju: „OK, chyba rozumiem. Ale dlaczego mogę powiedzieć„ 0,04 kilo ludzi ”, ale nie mogę powiedzieć„ 0,04 osoby ”?” W takim przypadku odpowiedziałbym :

Czy przeszkadza Ci również to, że możesz ugotować pół tuzina jajek, ale nie możesz ugotować pół jajka?

Celem tych odpowiedzi, żeby było jasne, nie jest kończenie rozmowy zingerem, ale raczej wydobycie na powierzchnię podstawowych problemów: ” 1 kilo osób ”oznacza to samo, co„ 1000 osób ”. Możesz mieć pół tysiąca osób w taki sam sposób, jak możesz mieć pół tuzina jajka. Z drugiej strony nie możesz mieć 1/7 $ tysiąca ludzi, dokładnie tak samo, jak nie możesz mieć 1/7 $ z tuzina jajek.

Komentarze

• Mój problem z pytaniem typu ” Dlaczego mogę ' t mówimy ' 0,04 Osoby ' „, czy to wydaje mi się, że z pewnością możemy to powiedzieć. Na przykład może to być gęstość zaludnienia na kilometr kwadratowy w określonym regionie. W rzeczywistości: 0,04 osoby faktycznie to dokładnie gęstość zaludnienia (na km ^ 2) na wyspach Svalbard i Jan Mayen w Norwegii. link .
• @mweiss Studenci w fazie rozwojowej, którzy zaczynają zadawać pytania, nie lubią, gdy na nie odpowiada. Odrzuciliby Twojego ” Czy Ty też się przejmujesz … ” jako ” nauczyciela sztuczka „. Później, w trakcie dyskusji, oczywiście nie mieliby nic przeciwko twojemu rozumowaniu i faktycznie by się z nim zgodzili. Jednak myślę, że tak naprawdę ich pytanie dotyczy, jak skomentowałem do Paula Garretta: ” kiedy już będziemy działać w systemie dziesiętno-metrycznym, nie powinno być uciekania się do dodatkowych rozważań i rzeczy nie powinny zależeć od tego, czy ” mianownik ” to Ludzie czy litry mleka. ”