Znajomy pokazał mi slajd PowerPoint na temat edukacji matematycznej, a na jednym z jego slajdów omówiono „siedem wartości odniesienia”. Powiedział, że:
Siedem wzorcowych liczb do opracowania „pełnego” sensu liczb to: 0 $, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ i 100 $. Liczby te stanowią podstawę programu nauczania matematyki w szkołach podstawowych i średnich.
Niestety pod naciskiem mój przyjaciel nie był w stanie wyjaśnić, dlaczego liczby były „wzorcami”. Czy ktoś wie, do czego on może się odnosić, lub jeszcze lepiej, czy ktoś wie, skąd bierze te informacje?
Komentarze
- Dlaczego nie ' czy pytasz go o źródło? Dziwne, on ' prezentuje materiał, który ' nie wyjaśnia.
- Mnie (i inne ) liczba benchmarku jest przydatna do oparcia szacunków. Np. 1/2 jest dobrym punktem odniesienia i pomaga nam zrozumieć, gdzie 3/8 jest na osi liczbowej w stosunku do 1/2. Jednak ' nie jestem pewien, co tam 12 robi. Ta konkretna lista wydaje się arbitralna.
- Większość z nich jest dość prosta do odgadnięcia motywacji, ale z pewnością same liczby nie wystarczą do opracowania jakiegokolwiek rodzaju " pełne " wyczucie liczb. @ncr Ta jedna pozornie dowolna liczba, 12, prawdopodobnie wynika z niemetrycznego systemu, w którym np. ma się tuzin (12) lub – nie tak dawno – brutto (144). Plus 12 cali na stopę, 12 godzin w każdej połowie dnia, a wielu uczniów w Stanach Zjednoczonych uczy się tabliczki mnożenia 12 na 12. Nie mogę ' powiedzieć nic więcej o tej liście " numerów wzorcowych, " poza tym, że nigdy nie widziałem tej kolekcji omawianej formalnie.
- Nie był w stanie podać mi źródła (co sprawiło, że byłem tym bardziej zainteresowany)
- Wydaje mi się to bardzo arbitralne. Jako matematyk nie przywiązywałbym szczególnego znaczenia do tych liczb. Zwłaszcza 12 $ nie byłoby ważne w wielu częściach świata, w których stosuje się system metryczny. Podanie 100 $, ale nie powiedzmy 1000 $, jest nieco arbitralne. Poza tym, po co uwzględniać 1/2 $, ale nie 2 $?
Odpowiedź
Przyzwoity tom z podstaw matematyki to Matematyka dla nauczycieli szkół podstawowych (Beckmann, 2010). Książka ma pomóc nauczycielom wzmocnić wiedzę o matematyce stojącej za ideami zawartymi w podstawowych programach nauczania (myślę, że zwłaszcza w programach nauczania). W związku z tym często jest to dobre miejsce, aby sprawdzić takie rzeczy.
Testy porównawcze (zwane także „punktami orientacyjnymi”) są wprowadzane w kontekście porównywania ułamków. Kiedy uczniowie próbują określić, który ułamek jest większa, $ \ frac {4} {9} $ lub $ \ frac {3} {5} $, jedna sugerowana strategia polega na tym, aby uczniowie zastanawiali się nad swoim stosunkiem do innej liczby, takiej jak ułamek $ \ frac {1} { 2} $:
Kiedy porównaliśmy $ \ frac {4} {9} $ i $ \ frac {3} {5} $, porównując oba ułamki z $ \ frac {1} {2} $, użyliśmy $ \ frac {1} {2} $ jako punktu odniesienia (lub punktu orientacyjnego) . Ułamki $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ i 1 $ są dobre do wykorzystania jako punkty odniesienia. (s. 73)
Z tego tekstu jasno wynika, że liczby są nieco arbitralne ; nie ma być ostatecznej listy wartości wzorcowych. Uczniowie wybraliby ułamek wartości odniesienia, który pomoże im porównać.
Nie mogę powiedzieć, czy inni używają testów w ten sam sposób (krótkie spojrzenie na niektóre inne książki, które mam w zasięgu ręki, nie pokazują tego terminu). Jednak użycie tutaj jest jasne: wzorzec liczba to liczba przydatna w rozumowaniu problemu. W tym przypadku punkt odniesienia jest używany jako punkt odniesienia do porównywania ułamków.
Celem jest zachęcenie do rozumowania, a nie procedury. Istnieją algorytmy uczą się używać do porównywania ułamków, co pozwala im zastąpić rozumowanie matematyczne kilkoma zapamiętanymi krokami i pewną arytmetyką. Ale rozumowanie pozwala im ćwiczyć domysły, pracować nad wymyślaniem uzasadnienia ich odpowiedzi i ostatecznie znaleźć sposób na bronić swojej odpowiedzi innej niż „tak powstała procedura”.
Powinienem tusz każdą przydatną liczbę użytą w rozumowaniu można nazwać punktem odniesienia. Na przykład, w mojej odpowiedzi na inne pytanie (widoczne tutaj) , napisałem o rozumowaniu uczniów, które przekształca subtrahend w liczbę 2000 $. W takim przypadku przyda się 2000 $.
Innym typem rozumowania matematycznego, które może skorzystać na benchmarku, jest szacowanie. Liczby można zastąpić pobliskimi wzorcami, które przyspieszają obliczenia, jeśli celem jest po prostu przedstawienie odpowiedzi (często bardzo przydatna strategia w wielu rzeczywistych zastosowaniach).
Podsumowując, Nie sądzę, aby istniała obsługa ostatecznej listy testów porównawczych . te, które podaje dr Beckmann, to sugestie („dobre w użyciu”), ale prawdziwym sprawdzianem jest to, czy są one przydatne dla myśliciela w trakcie jego matematycznego rozumowania.
Cytowane prace:
Beckmann, S. (2010). Matematyka dla nauczycieli szkół podstawowych. Nowy Jork: Pearson Addison-Wesley.
Komentarze
- może to ' to po prostu ja jestem leniwy, ale jako dziecko myślę, że po prostu obliczałbym rozwinięcie dziesiętne, aby porównać dwa ułamki. I ' czytaliśmy trochę historii fizyki, która odzwierciedla ten pogląd … że system liczb dziesiętnych był niezwykle ważny w aspekcie aproksymacji myślenia Newtona ' … ale ja ' nie jestem ekspertem.
- @ JamesS.Cook It ' nie jest leniwy, aby używać reprezentacji, pasuje do Twoich umiejętności i aplikacji. Oczywiście praca w klasie ma dodatkowy cel uczenia się. W tym przypadku przejdźmy do rozumowania porównania (w tym przypadku różni się to od innych metod " "). Z ciekawości, kiedy jako dziecko porównywałeś ułamki zwykłe z ułamkami dziesiętnymi, jakie rozumowanie łączyło reprezentacje ułamkowe i dziesiętne? Innymi słowy, w jaki sposób nieformalnie udowodniliście sobie, że reprezentacja dziesiętna jest naprawdę tą samą liczbą?
- Jeśli sobie przypomnę, a to jest dyskusyjne, uważam, że było to standardowe znaczenie. Na przykład 1/4 $ = 0,2 + 0,05 $, więc ułamki dziesiętne budujemy, dodając całkowite wielokrotności 10,1,1 / 10, 1/100 $ … razem. Potrzeba serii została doceniona dopiero znacznie później, przybliżenia wystarczały do moich celów jako dziecko. Nie ' nie przypominam sobie rozważania konwergencji na placu zabaw.
- @JamesS .Cook Więc rodzaj " atomowej " wiedzy jest taki, że $ \ frac {1} {10} = 0,1 $ (i tak dla innych ułamków o potęgach dziesięciu). Ale musisz też uzasadnić, że $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. Na pierwszy rzut oka wygląda to na bardziej wyrafinowane niż porównywanie dwóch ułamków na podstawie testu porównawczego (tj. ' nie potrzebujesz na tym etapie takiej strategii). Twoje ułamki według potęgi dziesięciu mianowników są oczywiście istotną częścią zrozumienia, w jaki sposób wartość miejsca stosuje się do wartości ułamkowych.
Odpowiedź
Nie mogę tego poprzeć, ale oto myśl matematyka i ojca dzieci w wieku szkolnym (w celu ustalenia punktów odniesienia):
1: Przedstawia cały pomysł czym jest liczba. Gdy zdobędziesz 1, musisz po prostu zapamiętać 2, 3, …, 9.
0: Oznacza zrozumienie, że nic nie jest również ilością / liczbą.
10: Na początku „10” to tylko kolejny symbol liczby, takiej jak „7”. Ale jeśli naprawdę zrozumiesz, że to „1” i „0”, wtedy symbole 11, …, 99 stają się natychmiast zrozumiałe.
100: Zrozumienie „dziesięć” to jedno. Następnym krokiem jest zrozumienie że musi istnieć nowa nazwa dla dziesięciu dziesiątek. Gdy zdobędziesz „sto”, „tysiąc”, „dziesięć tysięcy”, „milion” itd. zostaną zapamiętane.
1/2: Umiejętność prawdziwe zrozumienie 1/2 oznacza, że rozumiesz, czym są ułamki. Wiem, że uczniowie naprawdę mają problemy z ułamkami, ale wszystko zaczyna się od 1/2.
1/10: Kiedy już otrzymasz ułamki, kwestia ułamków dziesiętnych reprezentacja jest naturalna. Więc domyślam się, że 1/10 powinno naprawdę oznaczać zrozumienie 0.1.
12: Trochę dziwna piłka na liście. Domyślam się, że jest jedna z dwóch możliwości: Jest to ważne, ponieważ większość uczniów zapamiętuje tabliczki mnożenia do 12×12, lub ponieważ po angielsku „dwanaście” to ostatnia liczba, której nazwa nie mówi nic o jej dziesiętnej reprezentacji, np. nazywa się „seconteen”.
Komentarze
- Jeśli przyjrzysz się uważnie, " dwanaście " zawiera przynajmniej formę " dwa. " Zobacz także etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Dwanaście to pierwsza liczba występująca w liczbie, która jest również kluczem do modelu zegara używanego przez niektórych nauczycieli do oznaczania ułamków. Nie ' nie wiem, czy to dlatego ' znajduje się na liście, ale z pewnością ma sens, dlaczego może znajdować się na lista ważnych liczb w czwartej i piątej klasie.
- Cała liczba " 1 " to uniwersalna tożsamość multiplikatywna .Chociaż " 2 " nie jest ' nie jest potrzebne jako podstawa dla liczb całkowitych, weź pod uwagę fakt, że pomnożenie czegokolwiek przez liczbę całkowitą dwa jest tym samym, co dodanie tego do siebie jest bardzo ważne. Uważam, że " 4 " jest ważne, ponieważ pomnożenie czegoś przez cztery jest tym samym, co dodanie czegoś do siebie i dodanie wyniku do siebie , podczas gdy " 3 " jest ważne, ponieważ pomnożenie przez trzy wymaga dodania czegoś do siebie, a następnie dodania wyniku do oryginalnej rzeczy .