Patrzę na wielowymiarowy model GARCH BEKK.
W standardowym modelu GARCH generalnie oczekujemy,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Współczynnik alfa ( $ \ alpha $ ) powinien być znacznie mniejszy niż współczynnik beta ( $ \ beta $ ), zobacz na przykład „Przewodnik po nowoczesnej ekonometrii w GARCH” Verbeeks, z około 0,1 alfa i 0,8 beta.
Przechodzę teraz do ustawienia wielowymiarowego, do BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
ie MV-ARCH (1),
Czy ktoś znałby odpowiednie parametry dla macierzy $ A_ {ij} $ , wraz z odniesieniem? A także BEKK (1,1) z terminem GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Potrzebuję odpowiednich wartości parametrów (tak jak byśmy się spodziewali) dla A i B . Rozumiem, że to się znacznie zmieni między zbiorami danych itp. Ale ogólnie są jakieś wartości, których możemy się spodziewać?
Odpowiedź
Niestety, są brak bezpośredniej kontroli $ a_ {ij} $ „s i $ b_ {ij} $ ” współczynniki s w przypadku BEKK, takie jak $ \ alpha + \ beta < 1 $ zapewniają stacjonarność i słabą zależność czasową w GARCH (1,1) etui. Warunki są nieco bardziej zawiłe w przypadku BEKK.
Proces jest stacjonarny i słabo zależny od czasu (w tym sensie, że jest to „geometrycznie ergodyczny powtarzający się łańcuch Markowa Harrisa), jeśli wszystkie wartości własne $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ to mniej niż 1 i $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ jest dodatnio określone, ale zawsze tak będzie w przypadku $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , ponieważ jest określony przez konstrukcję. $ \ otimes $ oznacza produkt Kroneckera .
Twierdzenie 2 w Comte i Lieberman (2003) twierdzą, że warunek ten zapewnia spójność estymatora maksymalnego prawdopodobieństwa, a jeśli dalej przyjmiemy, że proces ma skończony moment szóstego rzędu, to to $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , a następnie Theorem 3 in Hafner i Preminger (2009) ustalają asymptotyczną normalność MLE.
O ile mi wiadomo, literatura nie podaje bezpośrednich ograniczeń parametrów, co zapewnia skończone momenty szóstego rzędu procesu BEKK. Twierdzenie C.1 w dodatku Pedersen i Rahbek (2014) zapewnia wystarczające warunki dla wersji ARCH procesu Gaussa BEKK ( $ B_ {11} = 0 $ ), aby mieć $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Zgodnie z tymi warunkami wszystkie wartości własne $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ powinny być mniejsze niż 15 $ ^ {- 1/3} \ około 0,4055 $ .
- F. Comte i O. Lieberman. Asymptotyczna teoria wielowymiarowych procesów GARCH. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61–84, 2003.
- C. M. Hafner i A. Preminger. O teorii asymptotycznej dla wielowymiarowych modeli GARCH. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044-2054, 2009.
- R. S. Pedersen i A. Rahbek. Wielowymiarowe kierowanie na wariancję w modelu bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Komentarze
- Nie mam pewności, czy dotyczy to omawianej tutaj konkretnej formy BEKK, ale McAleer " Czego ci nie powiedzieli o algebraicznej (nie) egzystencji, matematycznej (nie) regularności i (nie) asymptotycznych właściwościach pełnego warunku dynamicznego BEKK Model kowariancji " (2019) pokazuje, że BEKK może nawet nie istnieć, chyba że w restrykcyjnych warunkach, wyciągając dywan spod 4500+ prac powołujących się na BEKK.
- @Duffau to świetna odpowiedź, ale czy masz jakieś pomysły na temat tego, jaka powinna być różnica między A i B?
- Dzięki @FrancisOrigi! Pamiętaj więc, że A i B to macierze, więc nie ma jasnego pojęcia o " luce ". W systemach dynamicznych, w których proces jest definiowany przez macierze, często jakiś rodzaj wartości własnej decyduje o stabilności systemu. Podobnie jak w przypadku BEKK stabilność (stacjonarność i słaba zależność) jest regulowana przez wartości własne transformowanych macierzy, które opisałem powyżej. Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, przyjrzałbym się liniowej autoregresji wektorowej, są to najprostsze typy z dynamiką wielowymiarową. Są odpowiednikiem modeli AR w świecie jednowymiarowym.