Jeśli kula do kręgli porusza się z pewną początkową prędkością podczas poślizgu, jak daleko się przesunie, zanim zacznie się toczyć po wystąpieniu statycznego ruchu tarcie?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
Jest też moment obrotowy pochodzący z tarcia kinetycznego na kuli (R = promień kuli )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implies \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
Warunkiem toczenia się bez poślizgu jest $ v = R \ omega $ i od momentu zetknięcia kulki z podłożem, prędkość poprzeczna maleje, a prędkość kątowa rośnie do a punkt, w którym są równe. Nie jestem pewien, co powinienem teraz zrobić, ponieważ wszystko, co próbuję, wydaje się nie działać.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ implies v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Nie bardzo wiem, co zrobić z tym równaniem różniczkowym, które wygrało „t uwzględnij $ \ theta $, abym mógł go użyć w liniowym równaniu ruchu. Próbowałem użyć czasu, ale nie wiem, jak to by pomogło, a sam kąt jest bezużyteczny.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Nie mogę powiedzieć $ x = R \ theta $ z powodu poślizgu
Komentarze
- (Pomijając ciekawe): Gdy zacznie się toczyć bez poślizgu, nigdy się nie zatrzymuje! (chyba że uwzględnimy opór powietrza i / lub odkształcenie materiału )
Odpowiedź
Powiedzmy, że kiedy piłka po raz pierwszy dotknie ziemi, ma prędkość początkową $ v_0 $ i początkowa prędkość kątowa $ \ omega_0 = 0 $.
Masz stały moment obrotowy przykładany do kuli, więc twoja różnica Równanie bieżące jest bardzo łatwe do zintegrowania:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
W przypadku przemieszczenia idź bezpośrednio do prawa Newtona, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, które również ma stałą siłę i można je łatwo zintegrować raz, aby uzyskać
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
Stąd powinieneś być w stanie wykorzystać stan $ v = \ omega R $, aby dowiedzieć się, jak długo zajmie piłce zacznij toczyć bez poślizgu, a kiedy będziesz mieć ten czas, zintegruj przemieszczenie jeszcze raz, aby uzyskać
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
który poda przebytą odległość, wpisując wcześniej obliczony czas.
Komentarze
- Dziękuję bardzo. To ma sens, kiedy to mówisz